4.1 正弦和余弦
第3课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 余弦
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C对边,如果3a=4b,则cosB的值是( )
A. B. C. D.
2.(2024·黔东南州模拟)如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于( )
A. B. C. D.
3.(2024·贵阳白云区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AB=10,则AC的长为( )
A.3 B.4 C.6 D.8
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=,则cos A= .
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,求cosA,sinB,cosB.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC.
(1)求cosA;
(2)当AB=4时,求BC的长.
知识点2 特殊角的余弦与正弦
7.在平面直角坐标系中,点A(sin 30°,-cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是( )
A. (-,-) B. (,)
C. (,) D. (-,-)
8.(2024·安顺平坝区期末)计算cos 45°sin 45°的值为( )
A. B. C. D.
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=,则BC的长为 .
10.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sinA=,cosB=,则△ABC三个角的大小关系是 .(用“<”连接)
综合能力练 巩固提升 迁移运用
11.如果α是锐角,且sinα=,那么cos(90°-α)的值为( )
A. B. C. D.
12.若α,β都是锐角,下列说法正确的是( )
A.若sinα=cosβ,则α=β=45°
B.若sinα=cosβ,则α+β=90°
C.若sinα>cosβ,则α>β
D.若sinα13.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,设∠ABC=α,则下列结论错误的是( )
A.BC= B.CD=ACsinα
C.BD=ABcosα D.AC=ADcosα
14.按如图所示的运算程序,能使输出的y值为的是( )
A.α=60°,β=45° B.α=30°,β=45°
C.α=30°,β=30° D.α=45°,β=30°
15.(2023·内蒙古中考)如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,则cos α的值为( )
A. B. C. D.
16.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos C= .
17.(2024·毕节赫章县期末)在△ABC中,∠A与∠B都是锐角,且+|cos B-|
=0,则△ABC的形状是 .
18.(素养提升题)把(sin α)2记作sin2α,根据图1和图2完成下列各题.
(1)sin2A1+cos2A1= ,sin2A2+cos2A2= ,
sin2A3+cos2A3= .
(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A= .
(3)如图2,在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想.
(4)已知在△ABC中,∠A+∠B=90°,且sin A=,求cos A.
易错点 对应边没有确定导致漏解
【案例】在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C=. 4.1 正弦和余弦
第3课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 余弦
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C对边,如果3a=4b,则cosB的值是(D)
A. B. C. D.
2.(2024·黔东南州模拟)如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则cos∠ABC等于(B)
A. B. C. D.
3.(2024·贵阳白云区期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AB=10,则AC的长为(C)
A.3 B.4 C.6 D.8
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=,则cos A= .
5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,求cosA,sinB,cosB.
【解析】∵∠C=90°,sinA==,∴设a=12m,c=13m,
∴b===5m,∴cosA===,
∴sinB===,cosB===.
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC.
(1)求cosA;
(2)当AB=4时,求BC的长.
【解析】(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠B=45°,
∴AB==AC,∴cosA===;
(2)∵∠C=90°,AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形,∵AB=4,∴BC=AB=2.
知识点2 特殊角的余弦与正弦
7.在平面直角坐标系中,点A(sin 30°,-cos 60°)关于y轴对称的点的坐标是(D)
A. (-,-) B. (,)
C. (,) D. (-,-)
8.(2024·安顺平坝区期末)计算cos 45°sin 45°的值为(A)
A. B. C. D.
9.在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=,则BC的长为 1 .
10.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sinA=,cosB=,则△ABC三个角的大小关系是 ∠A<∠B<∠C .(用“<”连接)
综合能力练 巩固提升 迁移运用
11.如果α是锐角,且sinα=,那么cos(90°-α)的值为(B)
A. B. C. D.
12.若α,β都是锐角,下列说法正确的是(B)
A.若sinα=cosβ,则α=β=45°
B.若sinα=cosβ,则α+β=90°
C.若sinα>cosβ,则α>β
D.若sinα13.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,设∠ABC=α,则下列结论错误的是(D)
A.BC= B.CD=ACsinα
C.BD=ABcosα D.AC=ADcosα
14.按如图所示的运算程序,能使输出的y值为的是(C)
A.α=60°,β=45° B.α=30°,β=45°
C.α=30°,β=30° D.α=45°,β=30°
15.(2023·内蒙古中考)如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图,它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为α,则cos α的值为(D)
A. B. C. D.
16.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos C= .
17.(2024·毕节赫章县期末)在△ABC中,∠A与∠B都是锐角,且+|cos B-|
=0,则△ABC的形状是 等腰三角形 .
18.(素养提升题)把(sin α)2记作sin2α,根据图1和图2完成下列各题.
(1)sin2A1+cos2A1= ,sin2A2+cos2A2= ,
sin2A3+cos2A3= .
(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A= .
(3)如图2,在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想.
(4)已知在△ABC中,∠A+∠B=90°,且sin A=,求cos A.
【解析】(1)sin2A1+cos2A1=+=+=1,
sin2A2+cos2A2=+=+=1,sin2A3+cos2A3=+=+=1.
(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A=1.
(3)(4)见全解全析
易错点 对应边没有确定导致漏解
【案例】在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= 或 .
