4.3 解直角三角形
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 解直角三角形
1.(2023·西宁中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,∠A=42°,则BC的长约为
8.0 .(结果精确到0.1.参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
2.(教材开发·P123第3题改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,AC=10,cos C=,那么CD= .
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解直角三角形.
(1)a=2,b=6;
(2)∠B=45°,c=10.
【解析】(1)∵a=2,b=6,
∴tanA===,∴∠A=30°,
∴∠B=90°-30°=60°,∴c=2a=4;
(2)∵∠B=45°,∴∠A=90°-45°=45°,
∴a=b=×10=5.
知识点2 构造直角三角形解决问题
4.如图,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有(A)
A.h1=h2 B.h1C.h1>h2 D.以上都有可能
5.如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C为网格交点,AD⊥BC,垂足为D,则
(1)AD= ;
(2)sin∠BAD= .
6.(2024·遵义余庆县质检)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,AB=8 ,BC=8+8 ,求AC及△ABC的面积.
【解析】如图:过A作AD⊥BC于D,
AD=ABsin 45°=8 ×=8,
AC==16,△ABC的面积为AD·BC=32(1+).
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=1,则cosA的值是(A)
A. B. C. D.
8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为(A)
A. B.-1 C.2- D.
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连接BD.若tan∠A=,
tan∠ABD=,则CD的长为(C)
A.2 B.3 C. D .2
10.如图,在△ABC中,若∠B=135°,AB=2,则tan 22.5°的值是 -1 .
11.(易错警示题)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则BC∶CA∶AB=
2∶∶(+1) .
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,若AC=6,tan B=,则CE= 3 .
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tanB=,点D在BC上,且BD=AD,求AC的长和cos∠ADC的值.
【解析】∵在Rt△ABC中,BC=8,tanB=,tanB=,∴AC=BC·tanB=4,
设AD=x,则BD=x,CD=8-x,
在Rt△ADC中,由勾股定理得,(8-x)2+42=x2,解得x=5,AD=5,CD=8-5=3,
∴cos∠ADC==.
14.(素养提升题)已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BE∶AB=3∶5,若CE=,cos∠ACD=.
(1)求cos∠ABC;
(2)AC的值.
【解析】(1)在Rt△ACD与Rt△ABC中,
∵∠ABC+∠CAD=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∴∠ABC=∠ACD,
∴cos∠ABC=cos∠ACD=;
(2)在Rt△ABC中,=,令BC=4k,AB=5k,则AC=3k,
由BE∶AB=3∶5,知BE=3k,
则CE=k,且CE=,则k=,AC=3.
易错点 忽略直角三角形的条件,没有分类讨论
【案例】在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°,则∠BAC的度数是 15°或105° . 4.3 解直角三角形
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 解直角三角形
1.(2023·西宁中考)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,∠A=42°,则BC的长约为
.(结果精确到0.1.参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
2.(教材开发·P123第3题改编)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D,AC=10,cos C=,那么CD= .
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解直角三角形.
(1)a=2,b=6;
(2)∠B=45°,c=10.
知识点2 构造直角三角形解决问题
4.如图,△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有( )
A.h1=h2 B.h1C.h1>h2 D.以上都有可能
5.如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C为网格交点,AD⊥BC,垂足为D,则
(1)AD= ;
(2)sin∠BAD= .
6.(2024·遵义余庆县质检)如图,在△ABC中,∠B=45°,∠C=30°,AB=8 ,BC=8+8 ,求AC及△ABC的面积.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=1,则cosA的值是( )
A. B. C. D.
8.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为( )
A. B.-1 C.2- D.
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,点D是AC上一点,连接BD.若tan∠A=,
tan∠ABD=,则CD的长为( )
A.2 B.3 C. D .2
10.如图,在△ABC中,若∠B=135°,AB=2,则tan 22.5°的值是 .
11.(易错警示题)在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则BC∶CA∶AB=
.
12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F,若AC=6,tan B=,则CE= .
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tanB=,点D在BC上,且BD=AD,求AC的长和cos∠ADC的值.
14.(素养提升题)已知:在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BE∶AB=3∶5,若CE=,cos∠ACD=.
(1)求cos∠ABC;
(2)AC的值.
易错点 忽略直角三角形的条件,没有分类讨论
【案例】在△ABC中,AB=2,AC=,∠B=30°,则∠BAC的度数是
