4.4 解直角三角形的应用
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 仰角、俯角
1.如图,从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A.∠BAD B.∠ACB
C.∠BAC D.∠DAC
2.如图,在水平地面上,由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°,点A到旗杆的距离AB=12米,则旗杆的高度为( )
A.6米 B.6米
C.12米 D.12米
3.(2023·岳阳中考)2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC为20米,且距地面高度AB为1.5米,则气球顶部离地面的高度EC约是 米(结果精确到0.1米,sin 21.8°≈0.371 4,cos 21.8°≈0.928 5,
tan 21.8°≈0.400 0).
知识点2 解决仰角、俯角的实际应用题
4.(2023·日照中考)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图所示,在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3 m,则灯塔的高度AD大约是( )
(结果精确到1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)
A.31 m B.36 m C.42 m D.53 m
5.如图,某无人机兴趣小组在操场上开展活动,此时无人机在离地面30米的D处,无人机测得操控者A的俯角为30°,测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米,则教学楼BC的高度为 .(点A,B,C,D都在同一平面上,结果保留根号)
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.(2023·衢州中考)如图,一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上,调节杆BC=a,AB=b,AB的最大仰角为α.当∠C=45°时,则点A到桌面的最大高度是( )
A.a+ B.a+
C.a+bcos α D.a+bsin α
7.如图,从点A看一山坡上的电线杆PQ,观测点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°,则该电线杆PQ的高度为( )
A.6+2 B.6-
C.10- D.8+
8.(2022·黔东南州中考)如图,校园内有一株枯死的大树AB,距树12米处有一栋教学楼CD,为了安全,学校决定砍伐该树,站在楼顶D处,测得点B的仰角为45°,点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论:①AB≈18.8米;②CD≈8.4米;③若直接从点A处砍伐,树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响;④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐,不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是 .(填写序号,参考数值:≈1.7,≈1.4)
9.(素养提升题)(2023·呼伦贝尔、兴安盟中考)某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α,无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处,测得河流右岸D处的俯角为30°,线段AM=24米为无人机距地面的铅直高度,点M,C,D在同一条直线上,其中tan α=2.求河流的宽度CD(结果精确到1米,参考数据:≈1.7).
易错点 对俯角、仰角的概念理解错误
【案例】如图,两座建筑物的水平距离BC=30 m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度.4.4 解直角三角形的应用
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 坡度
1.如图,某河堤迎水坡AB的坡比i=tan∠CAB=1∶,堤高BC=5 m,则坡面AB的长是( )
A.5 m B.10 m C.5 m D.8 m
2.(2023·深圳中考)爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1 m耗能(1.025-cos α) J,若某人爬了1 000 m,该坡角为30°,则他耗能
(参考数据:≈1.732,≈1.414)( )
A.58 J B.159 J
C.1 025 J D.1 732 J
3.(2024·毕节大方县质检)某市为改善交通状况,修建了大量的高架桥.一汽车在坡度为1∶的笔直高架桥起点A开始爬行,行驶了15米到达点B,则此时汽车离地面的高度为 米.
知识点2 方向角
4.(2023·广州中考)如图,海中有一小岛A,在B点测得小岛A在北偏东30°方向上,渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点,在C点测得小岛A恰好在正北方向上,此时渔船与小岛A的距离为 n mile( )
A. B. C.20 D.10
5.如图,某渔船在海面上朝正东方向匀速航行,在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上,且AM=100海里.那么该船继续航行 海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.
6.美丽的湘江河宛如一条玉带纵贯遵义市城中心,两岸风景优美,是市民散步的好地方.如图所示,周末吴老师由西往东在步道上散步,在A处观察到河对岸P处的广告牌在自己的南偏东60°方向上,又直线行走100米到达B处,观察到P处的广告牌在自己的东南方向上,请根据以上信息,求广告牌P到河岸AB的距离.(精准到0.1米,≈1.732)
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.已知一个坡的坡比为i,坡角为α,则下列等式成立的是( )
A.i=sin α B.i=cos α
C.i=tan α D.i=cot α
8.某水库大坝的横断面为梯形,坝顶宽6米,坝高24米,斜坡AB的坡角为45°,斜坡CD的坡度为1∶2,则坝底AD的长为( )
A.72米 B.68米 C.42米 D.78米
9.(易错警示题)某一楼梯高度为3 m,坡角为30°,要在这个楼梯上铺地毯,那么地毯的长度至少为 米.
10.(2023·眉山中考)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 海里.
11.(2024·铜仁石阡县质检)如图,防洪大堤(横断面为梯形ABCD)长150米,高7米,背水坡的坡角为45°.现准备加固大堤,沿背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3米,加固后背水坡EF的坡比为i=1∶,则完成这项工程需要土石
立方米.(结果保留根号)
12.(素养提升题)如图,小亮为了测量一栋楼房AB的高度,先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为36°,沿坡面DC向下走12 m到达坡脚C处,然后向楼房AB走
10 m到达E处,测得楼房顶部A的仰角为45°,已知斜坡CD的坡度i=∶1.
(1)求点D到地面的竖直高度;(结果保留根号)
(2)求楼房AB的高度.(结果精确到1 m)
(参考数据:≈1.7,sin 36°≈0.6,cos 36°≈0.8,tan 36°≈0.7)
模型一 背靠背型
如图,在Rt△ACD和Rt△BCD中,CD为公共边,AD+BD=AB.
模型二 母子型
如图,在Rt△ABC和Rt△DBC中,BC为公共边,AD+DC=AC.4.4 解直角三角形的应用
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 坡度
1.如图,某河堤迎水坡AB的坡比i=tan∠CAB=1∶,堤高BC=5 m,则坡面AB的长是(B)
A.5 m B.10 m C.5 m D.8 m
2.(2023·深圳中考)爬坡时坡面与水平面夹角为α,则每爬1 m耗能(1.025-cos α) J,若某人爬了1 000 m,该坡角为30°,则他耗能
(参考数据:≈1.732,≈1.414)(B)
A.58 J B.159 J
C.1 025 J D.1 732 J
3.(2024·毕节大方县质检)某市为改善交通状况,修建了大量的高架桥.一汽车在坡度为1∶的笔直高架桥起点A开始爬行,行驶了15米到达点B,则此时汽车离地面的高度为 7.5 米.
知识点2 方向角
4.(2023·广州中考)如图,海中有一小岛A,在B点测得小岛A在北偏东30°方向上,渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点,在C点测得小岛A恰好在正北方向上,此时渔船与小岛A的距离为 n mile(D)
A. B. C.20 D.10
5.如图,某渔船在海面上朝正东方向匀速航行,在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上,且AM=100海里.那么该船继续航行 50 海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置.
6.美丽的湘江河宛如一条玉带纵贯遵义市城中心,两岸风景优美,是市民散步的好地方.如图所示,周末吴老师由西往东在步道上散步,在A处观察到河对岸P处的广告牌在自己的南偏东60°方向上,又直线行走100米到达B处,观察到P处的广告牌在自己的东南方向上,请根据以上信息,求广告牌P到河岸AB的距离.(精准到0.1米,≈1.732)
【解析】如图,过P作PC⊥AB于C,
设PC=x米,
由题意得:∠PAC=90°-60°=30°,∠PBC=45°,∴△PBC是等腰直角三角形,
∴BC=PC=x米,
∴AC=AB+BC=(100+x)(米),
在Rt△APC中,tan∠PAC==tan 30°=,
∴AC=PC=x(米),
∴x=100+x,
解得:x=50+50≈136.6,即PC≈136.6米.
答:广告牌P到河岸AB的距离约为136.6米.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.已知一个坡的坡比为i,坡角为α,则下列等式成立的是(C)
A.i=sin α B.i=cos α
C.i=tan α D.i=cot α
8.某水库大坝的横断面为梯形,坝顶宽6米,坝高24米,斜坡AB的坡角为45°,斜坡CD的坡度为1∶2,则坝底AD的长为(D)
A.72米 B.68米 C.42米 D.78米
9.(易错警示题)某一楼梯高度为3 m,坡角为30°,要在这个楼梯上铺地毯,那么地毯的长度至少为 (3+3) 米.
10.(2023·眉山中考)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是 (6+6) 海里.
11.(2024·铜仁石阡县质检)如图,防洪大堤(横断面为梯形ABCD)长150米,高7米,背水坡的坡角为45°.现准备加固大堤,沿背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3米,加固后背水坡EF的坡比为i=1∶,则完成这项工程需要土石
(3 675-525) 立方米.(结果保留根号)
12.(素养提升题)如图,小亮为了测量一栋楼房AB的高度,先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为36°,沿坡面DC向下走12 m到达坡脚C处,然后向楼房AB走
10 m到达E处,测得楼房顶部A的仰角为45°,已知斜坡CD的坡度i=∶1.
(1)求点D到地面的竖直高度;(结果保留根号)
(2)求楼房AB的高度.(结果精确到1 m)
(参考数据:≈1.7,sin 36°≈0.6,cos 36°≈0.8,tan 36°≈0.7)
【解析】(1)过点D作DG⊥BF,垂足为G,
∵斜坡CD的坡度i=∶1,
∴=,∴∠DCG=60°,
在Rt△DCG中,DC=12 m,
∴DG=DC·sin 60°=12×=6(m),
∴点D到地面的竖直高度为6 m;
(2)见全解全析
模型一 背靠背型
如图,在Rt△ACD和Rt△BCD中,CD为公共边,AD+BD=AB.
模型二 母子型
如图,在Rt△ABC和Rt△DBC中,BC为公共边,AD+DC=AC.4.4 解直角三角形的应用
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 仰角、俯角
1.如图,从热气球A看一栋楼底部C的俯角是(D)
A.∠BAD B.∠ACB
C.∠BAC D.∠DAC
2.如图,在水平地面上,由点A测得旗杆BC顶点C的仰角为60°,点A到旗杆的距离AB=12米,则旗杆的高度为(C)
A.6米 B.6米
C.12米 D.12米
3.(2023·岳阳中考)2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事.如图,某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°,仪器与气球的水平距离BC为20米,且距地面高度AB为1.5米,则气球顶部离地面的高度EC约是 9.5 米(结果精确到0.1米,sin 21.8°≈0.371 4,cos 21.8°≈0.928 5,
tan 21.8°≈0.400 0).
知识点2 解决仰角、俯角的实际应用题
4.(2023·日照中考)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一,主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度,如图所示,在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3 m,则灯塔的高度AD大约是(B)
(结果精确到1 m,参考数据:≈1.41,≈1.73)
A.31 m B.36 m C.42 m D.53 m
5.如图,某无人机兴趣小组在操场上开展活动,此时无人机在离地面30米的D处,无人机测得操控者A的俯角为30°,测得点C处的俯角为45°.又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米,则教学楼BC的高度为 (30-27)米 .(点A,B,C,D都在同一平面上,结果保留根号)
综合能力练 巩固提升 迁移运用
6.(2023·衢州中考)如图,一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上,调节杆BC=a,AB=b,AB的最大仰角为α.当∠C=45°时,则点A到桌面的最大高度是(D)
A.a+ B.a+
C.a+bcos α D.a+bsin α
7.如图,从点A看一山坡上的电线杆PQ,观测点P的仰角是45°,向前走6 m到达B点,测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°,则该电线杆PQ的高度为(A)
A.6+2 B.6-
C.10- D.8+
8.(2022·黔东南州中考)如图,校园内有一株枯死的大树AB,距树12米处有一栋教学楼CD,为了安全,学校决定砍伐该树,站在楼顶D处,测得点B的仰角为45°,点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论:①AB≈18.8米;②CD≈8.4米;③若直接从点A处砍伐,树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响;④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐,不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是 ①③④ .(填写序号,参考数值:≈1.7,≈1.4)
9.(素养提升题)(2023·呼伦贝尔、兴安盟中考)某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD.如图所示,一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为α,无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处,测得河流右岸D处的俯角为30°,线段AM=24米为无人机距地面的铅直高度,点M,C,D在同一条直线上,其中tan α=2.求河流的宽度CD(结果精确到1米,参考数据:≈1.7).
【解析】过点B作BE⊥MD于点E,则四边形AMEB是矩形,
∴BE=AM=24 米,ME=AB=12米.
∵AF∥MD,∴∠ACM=α.
在Rt△AMC中,∠AMC=90°,
∴tan α==2,∴=2,∴MC=12 米.
在Rt△BDE中,∠BED=90°,∠DBE=90°-30°=60°,∴tan∠DBE=,
∴tan 60°==,∴DE=24 ×=72(米),
∴CD=DE-CE=DE-(MC-ME)=72-(12 -12)=84-12 ≈84-12×1.7
=84-20.4≈64(米).
答:河流的宽度CD约为64米.
易错点 对俯角、仰角的概念理解错误
【案例】如图,两座建筑物的水平距离BC=30 m,从A点测得D点的俯角α为30°,测得C点的俯角β为60°,求这两座建筑物的高度.
【解析】见全解全析
