第4章 锐角三角函数单元复习整合练
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锐角三角函数
1.(2023·陕西中考)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.若点A,B,C都在格点上,则sin B的值为( )
A. B. C. D.
2.(2023·攀枝花中考)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,则cos∠A的值为( )
A. B. C. D.
3.(2022·荆州中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是( )
A. B. C. D.3
4.(2023·常州中考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D在边AB上,连接CD.若BD=
CD,=,则tan B= .
特殊角的三角函数
5.(2023·无锡中考)cos 60°的值为( )
A. B. C. D.
6.(2022·绥化中考)定义一种运算:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,
则sin 15°的值为 .
7.(2023·眉山中考)计算:(2 -π)0-|1-|+3tan 30°+(-)-2.
解直角三角形
8.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足为点E.若sin∠ADE=,AD=4,则AB的长为
.
9.(2023·武汉中考)将45°的∠AOB按如图的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm(结果精确到0.1 cm,参考数据sin 37°≈0.60,cos 37°≈
0.80,tan 37°≈0.75).
10.(2022·齐齐哈尔中考)在△ABC中,AB=3 ,AC=6,∠B=45°,则BC=
.
解直角三角形的应用
11.(2023·孝感中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为 米.(结果保留根号)
12.(2023·绍兴中考)图1是某款篮球架,图2是其示意图,立柱OA垂直地面OB,支架CD与OA交于点A,支架CG⊥CD交OA于点G,支架DE平行地面OB,篮筐EF与支架DE在同一直线上,OA=2.5米,AD=0.8米.∠AGC=32°.
(1)求∠GAC的度数;
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网,如果他站在凳子上,最高可以把篮网挂到离地面3米处,那么他能挂上篮网吗 请通过计算说明理由.(参考数据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85,tan 32°≈0.62)
13.(2023·株洲中考)如图所示,在某交叉路口,一货车在道路①上点A处等候“绿灯”,一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶.已知
∠POQ=30°,BC∥OQ,OC⊥OQ,AO⊥OP,线段AO的延长线交直线BC于点D.
(1)求∠COD的大小;
(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上,其中tan α=,OD=12米.问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车 (当该轿车行驶至点D处时,正好发现点A处的货车)
14.(2022·六盘水中考)“五一”节期间,许多露营爱好者在我市郊区露营,为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1 m);
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到
0.1 m).
(参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14,≈1.41)
教学总结与教学反思
1.作为本章授课教师,在课堂教学中快速成长,通过教学反思可以快速积累教学经验.本章内容从画含65°角的三角形引出第一个三角函数——正弦、余弦和正切的概念,是在正弦的基础上利用直角三角形,通过学生的说理得到的.
2.教学中,通过说理引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数的问题.对于一般包括锐角三角函数值的计算问题,需要借助计算器.教科书仔细介绍如何从角得值、从值得角的方法,并且提供了相应的训练和解决问题机会.
3.利用锐角三角函数解决实际问题,比如:除相似三角形的应用课时外,很多实际应用问题穿插于各节内容之中.直角三角形中边角之间的关系,是现实世界中应用最广泛的关系之一,锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用,如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般说来,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题.
4.通过本章锐角三角函数的教学,学生将进一步体会数学知识之间的联系,如比和比例,图形的相似、推理证明等.本章锐角三角函数的学习,也将为学习一般三角函数的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础.第4章 锐角三角函数单元复习整合练
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答案:① ;② ;③ ;④ 90° ;⑤ 1 ;
⑥ tan α(∠α为坡角) .
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锐角三角函数
1.(2023·陕西中考)如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1.若点A,B,C都在格点上,则sin B的值为(A)
A. B. C. D.
2.(2023·攀枝花中考)△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,c=10,则cos∠A的值为(C)
A. B. C. D.
3.(2022·荆州中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上,点C在OB上,OC∶BC=1∶2,连接AC,过点O作OP∥AB交AC的延长线于P.若P(1,1),则tan∠OAP的值是(C)
A. B. C. D.3
4.(2023·常州中考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D在边AB上,连接CD.若BD=
CD,=,则tan B= .
特殊角的三角函数
5.(2023·无锡中考)cos 60°的值为(B)
A. B. C. D.
6.(2022·绥化中考)定义一种运算:
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,
则sin 15°的值为 .
7.(2023·眉山中考)计算:(2 -π)0-|1-|+3tan 30°+(-)-2.
【解析】原式=1-(-1)+3×+4
=1-+1++4
=6.
解直角三角形
8.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足为点E.若sin∠ADE=,AD=4,则AB的长为
3 .
9.(2023·武汉中考)将45°的∠AOB按如图的方式放置在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm,若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 2.7 cm(结果精确到0.1 cm,参考数据sin 37°≈0.60,cos 37°≈
0.80,tan 37°≈0.75).
10.(2022·齐齐哈尔中考)在△ABC中,AB=3 ,AC=6,∠B=45°,则BC=
3 +3或3 -3 .
解直角三角形的应用
11.(2023·孝感中考)综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为 (30-5 ) 米.(结果保留根号)
12.(2023·绍兴中考)图1是某款篮球架,图2是其示意图,立柱OA垂直地面OB,支架CD与OA交于点A,支架CG⊥CD交OA于点G,支架DE平行地面OB,篮筐EF与支架DE在同一直线上,OA=2.5米,AD=0.8米.∠AGC=32°.
(1)求∠GAC的度数;
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网,如果他站在凳子上,最高可以把篮网挂到离地面3米处,那么他能挂上篮网吗 请通过计算说明理由.(参考数据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85,tan 32°≈0.62)
【解析】(1)∵CG⊥CD,∴∠ACG=90°,
∵∠AGC=32°,
∴∠GAC=90°-∠AGC=90°-32°=58°,
∴∠GAC的度数为58°;
(2)见全解全析
13.(2023·株洲中考)如图所示,在某交叉路口,一货车在道路①上点A处等候“绿灯”,一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶.已知
∠POQ=30°,BC∥OQ,OC⊥OQ,AO⊥OP,线段AO的延长线交直线BC于点D.
(1)求∠COD的大小;
(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上,其中tan α=,OD=12米.问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车 (当该轿车行驶至点D处时,正好发现点A处的货车)
【解析】(1)∵AO⊥OP,∴∠POD=90°,
∵∠POQ=30°,∴∠DOQ=∠POD-∠POQ=90°-30°=60°,
∵OC⊥OQ,∴∠COQ=90°,
∴∠COD=∠COQ-∠DOQ=90°-60°=30°,
即∠COD的大小为30°;
(2)∵BC∥OQ,
∴∠BCO=180°-∠COQ=90°,
在Rt△COD中,∠COD=30°,OD=12米,
∴CD=OD=6(米),
∴OC===6 (米),
∵tan α=tan∠OBC==,
∴BC==6 ÷=30(米),
∴BD=BC-CD=30-6=24(米),
即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车.
14.(2022·六盘水中考)“五一”节期间,许多露营爱好者在我市郊区露营,为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”,其截面示意图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处,使得A,D,E在一条直线上,通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD=2 m,BF=3 m.
(1)天晴时打开“天幕”,若∠α=65°,求遮阳宽度CD(结果精确到0.1 m);
(2)下雨时收拢“天幕”,∠α从65°减少到45°,求点E下降的高度(结果精确到
0.1 m).
(参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14,≈1.41)
【解析】(1)由对称知,CD=2OD,AD=AC=2 m,∠AOD=90°,
在Rt△AOD中,∠OAD=∠α=65°,
∴sin ∠α=,
∴OD=AD·sin ∠α=2×sin 65°≈2×0.91≈1.8 m,
∴CD=2OD=3.6 m,
答:遮阳宽度CD约为3.6 m.
(2)见全解全析
阶段测评 请做“单元测评挑战卷(四)”
教学总结与教学反思
1.作为本章授课教师,在课堂教学中快速成长,通过教学反思可以快速积累教学经验.本章内容从画含65°角的三角形引出第一个三角函数——正弦、余弦和正切的概念,是在正弦的基础上利用直角三角形,通过学生的说理得到的.
2.教学中,通过说理引入特殊角30°、45°、60°角的三角函数的问题.对于一般包括锐角三角函数值的计算问题,需要借助计算器.教科书仔细介绍如何从角得值、从值得角的方法,并且提供了相应的训练和解决问题机会.
3.利用锐角三角函数解决实际问题,比如:除相似三角形的应用课时外,很多实际应用问题穿插于各节内容之中.直角三角形中边角之间的关系,是现实世界中应用最广泛的关系之一,锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用,如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般说来,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系问题.
4.通过本章锐角三角函数的教学,学生将进一步体会数学知识之间的联系,如比和比例,图形的相似、推理证明等.本章锐角三角函数的学习,也将为学习一般三角函数的知识及进一步学习其他数学知识奠定基础.
