阶段专项提分练二
一元二次方程的解法
配方法
【典例1】用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是( )
A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6
C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6
【变式1】(2024·黔西南州期中)用配方法解方程3x2-6x+1=0,则方程可变形为( )
A.(x-3)2= B.3(x-1)2=
C.(3x-1)2=1 D.(x-1)2=
【变式2】用配方法解方程:
(1)x2+2x=3.
(2)2x2-6x-7=0.
公式法
【典例2】用公式法解方程:4x2+4x-1=-10-8x.
思路点拨 先把方程化为一般式,再计算b2-4ac的值,然后利用求根公式解方程.
【变式1】用公式法求一元二次方程的根时,首先要确定a,b,c的值.对于方程-4x2+3=5x,下列叙述正确的是( )
A.a=-4,b=5,c=3
B.a=-4,b=-5,c=3
C.a=4,b=5,c=3
D.a=4,b=-5,c=-3
【变式2】若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2-4ac=0,则这个方程的两根为( )
A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1
C.x1=x2=-1 D.不确定
【变式3】用公式法解方程:
(1)x2+1=4x; (2)x(2x+3)=4.
因式分解法
【典例3】(2024·黔西南州安龙县质检)用因式分解法解方程:
(1)x2-5x-6=0;
(2)3x(x-1)=4x-4.
【变式1】一元二次方程x(x-2)=0的解是( )
A.x1=x2=0 B.x1=0,x2=2
C.x1=x2=2 D.x1=1,x2=2
【变式2】已知公式:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)可用来进行因式分解,其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,试分解因式:2x2-x-1= .
【变式3】因式分解法解方程:
(1)(2x+3)2-2x-3=0;
(2)2(x-3)2=x2-9.
选择适当的方法解一元二次方程
【典例4】(2024·毕节织金县期中)用适当的方法解方程:
(1)x2-4x+3=0;
(2)(x-2)(3x-5)=1.
思路点拨 (1)用因式分解法求解即可;
(2)先去括号,再用公式法求解即可.
【变式1】(2022·贵阳中考)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法,他们分别是配方法、公式法和因式分解法,请从下列一元二次方程中任选两个,并解这两个方程.
x2+2x-1=0;②x2-3x=0;③x2-4x=4;④x2-4=0.
【变式2】请用合适的方法解方程:
(1)(x+2)2-10(x+2)+25=0;
(2)4x2-8x+1=0;
(3)(x-2)(x-3)=12.阶段专项提分练二
一元二次方程的解法
配方法
【典例1】用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是(C)
A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6
C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6
【变式1】(2024·黔西南州期中)用配方法解方程3x2-6x+1=0,则方程可变形为(D)
A.(x-3)2= B.3(x-1)2=
C.(3x-1)2=1 D.(x-1)2=
【变式2】用配方法解方程:
(1)x2+2x=3.
(2)2x2-6x-7=0.
【解析】(1)x2+2x=3,x2+2x+1=3+1,(x+1)2=4,x+1=±2,∵x=-1±2,
所以x1=1,x2=-3.
(2)2x2-6x-7=0,x2-3x-=0,x2-3x=,
x2-3x+=, (x-)2=,
x-=±,x=±,
∴x1=,x2=.
公式法
【典例2】用公式法解方程:4x2+4x-1=-10-8x.
思路点拨 先把方程化为一般式,再计算b2-4ac的值,然后利用求根公式解方程.
【自主解答】将方程整理为一般式,得4x2+12x+9=0,∵a=4,b=12,c=9,
∴b2-4ac=122-4×4×9=0,
则x==-,即x1=x2=-.
【变式1】用公式法求一元二次方程的根时,首先要确定a,b,c的值.对于方程-4x2+3=5x,下列叙述正确的是(B)
A.a=-4,b=5,c=3
B.a=-4,b=-5,c=3
C.a=4,b=5,c=3
D.a=4,b=-5,c=-3
【变式2】若一元二次方程x2+2x+m=0中的b2-4ac=0,则这个方程的两根为(C)
A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1
C.x1=x2=-1 D.不确定
【变式3】用公式法解方程:
(1)x2+1=4x; (2)x(2x+3)=4.
【解析】(1)整理得,x2-4x+1=0,
∵a=1,b=-4,c=1,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0,
则x===2±,
即x1=2+,x2=2-;
(2)见全解全析
因式分解法
【典例3】(2024·黔西南州安龙县质检)用因式分解法解方程:
(1)x2-5x-6=0;
(2)3x(x-1)=4x-4.
【自主解答】(1)x2-5x-6=0,(x-6)(x+1)=0,
x-6=0或x+1=0,所以x1=6,x2=-1;
(2)3x(x-1)=4x-4,3x(x-1)-4(x-1)=0,
(x-1)(3x-4)=0,x-1=0或3x-4=0,
所以x1=1,x2=.
【变式1】一元二次方程x(x-2)=0的解是(B)
A.x1=x2=0 B.x1=0,x2=2
C.x1=x2=2 D.x1=1,x2=2
【变式2】已知公式:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)可用来进行因式分解,其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,试分解因式:2x2-x-1= 2(x+)(x-1) .
【变式3】因式分解法解方程:
(1)(2x+3)2-2x-3=0;
(2)2(x-3)2=x2-9.
【解析】(1)∵(2x+3)2-2x-3=0,
∴(2x+3)(2x+3-1)=0,
∴2x+3=0或2x+2=0,
∴x=-或x=-1;
(2)∵2(x-3)2=(x+3)(x-3),
∴(x-3)(x-9)=0,则x-3=0或x-9=0,解得x=3或x=9.
选择适当的方法解一元二次方程
【典例4】(2024·毕节织金县期中)用适当的方法解方程:
(1)x2-4x+3=0;
(2)(x-2)(3x-5)=1.
思路点拨 (1)用因式分解法求解即可;
(2)先去括号,再用公式法求解即可.
【自主解答】(1)(x-3)(x-1)=0,
x-3=0或x-1=0,
x1=1,x2=3;
(2)整理得,3x2-11x+9=0,
a=3,b=-11,c=9,
b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0,
∴x==,
∴x1=,x2=.
【变式1】(2022·贵阳中考)在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法,他们分别是配方法、公式法和因式分解法,请从下列一元二次方程中任选两个,并解这两个方程.
①x2+2x-1=0;②x2-3x=0;③x2-4x=4;④x2-4=0.
【解析】①利用公式法:x2+2x-1=0,
b2-4ac=22-4×1×(-1)=4+4=8>0,
∴x====-1±,∴x1=-1+,x2=-1-;
②利用因式分解法:∵x2-3x=0,
∴x(x-3)=0,∴x1=0,x2=3;
③利用配方法:x2-4x=4,
两边都加上4,得x2-4x+4=8,
∴(x-2)2=8,∴x-2=±2,
∴x1=2+2,x2=2-2;
④利用因式分解法:x2-4=0,
∴(x+2)(x-2)=0,
∴x1=-2,x2=2.
(任选两个解答即可)
【变式2】请用合适的方法解方程:
(1)(x+2)2-10(x+2)+25=0;
(2)4x2-8x+1=0;
(3)(x-2)(x-3)=12.
【解析】(1)设t=x+2,则由原方程得到(t-5)2=0,t-5=0,
∴t=5,∴x1=x2=3;
(2)4x2-8x+1=0,x2-2x=-,(x-1)2=,解得x1=1+,x2=1-;
(3)原方程整理为x2-5x-6=0,
∵(x-6)(x+1)=0,
∴x-6=0或x+1=0,
则x=6或x=-1.
