阶段专项提分练四
相似三角形的判定
平行线型
【典例1】如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC于点F,G.
(1)求证:BF=CF;
(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.
思路点拨 (1)证△EBF∽△EAD,再结合平行四边形性质,得结论.
(2)通过证明△ADG∽△CFG,可得=,即可求解.
【变式1】(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为( )
A.1 B. C.2 D.3
【变式2】(2023·无锡中考)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,AF与DE相交于点G,则DG∶EG= .
相交型
【典例2】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB于D.
(1)求证:△ACB∽△ADE;
(2)求AD的长度.
思路点拨 (1)求出∠EDA=∠C=90°,根据相似三角形的判定得出相似即可;
(2)根据相似三角形的性质得出比例式,代入求出AD的长度.
【变式】(2024·遵义赤水市期末)如图,在△ABC与△A'B'C'中,点D,D'分别在边BC,B'C'上,且△ACD∽△A'C'D',若 ,则△ABD∽△A'B'D'.请从①=;
②=中选择一个作为条件(写序号),并加以证明.
旋转型
【典例3】如图,已知∠BAE=∠CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.
求证:△ABC∽△AED.
思路点拨 通过等量代换找出对应角,再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明.
【变式】如图,已知∠1=∠2,欲证△ADE∽△ACB,可补充条件( )
A.∠B=∠C B.DE=AB
C.∠D=∠E D.∠D=∠C
一线三等角
【典例4】(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
思路点拨 (1)利用同角的余角相等得∠C=∠DBE,可证明结论;
(2)根据相似三角形的性质即可求出答案.
【变式】如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,求△ABC的边长.
双垂线型
【典例5】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BD=4,AD=9,求BC的长.
思路点拨 证明△ACB∽△CDB,根据相似三角形的性质列出比例式,代入已知数据计算,得到答案.
【变式】如图,点P1,P2,P3,P4均在坐标轴上,且P1P2⊥P2P3,P2P3⊥P3P4.若P1,P2的坐标分别为(0,-1),(-2,0),则点P4的坐标为 . 阶段专项提分练四
相似三角形的判定
平行线型
【典例1】如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC于点F,G.
(1)求证:BF=CF;
(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.
思路点拨 (1)证△EBF∽△EAD,再结合平行四边形性质,得结论.
(2)通过证明△ADG∽△CFG,可得=,即可求解.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴△EBF∽△EAD,∴=,
∵BE=AB,∴EA=2EB,∴=,
∴BF=AD=BC,∴BF=CF;
(2)见全解全析
【变式1】(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为(C)
A.1 B. C.2 D.3
【变式2】(2023·无锡中考)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,AF与DE相交于点G,则DG∶EG= 2∶3 .
相交型
【典例2】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB于D.
(1)求证:△ACB∽△ADE;
(2)求AD的长度.
思路点拨 (1)求出∠EDA=∠C=90°,根据相似三角形的判定得出相似即可;
(2)根据相似三角形的性质得出比例式,代入求出AD的长度.
【自主解答】(1)∵DE⊥AB,∠C=90°,
∴∠EDA=∠C=90°,∵∠A=∠A,
∴△ACB∽△ADE;
(2)∵△ACB∽△ADE,∴=,
∴=,∴AD=4.
【变式】(2024·遵义赤水市期末)如图,在△ABC与△A'B'C'中,点D,D'分别在边BC,B'C'上,且△ACD∽△A'C'D',若 ① ,则△ABD∽△A'B'D'.请从①=;
②=中选择一个作为条件(写序号),并加以证明.
【解析】若=,则△ABD∽△A'B'D',理由如下:∵△ACD∽△A'C'D',
∴∠ADC=∠A'D'C',=,
∴∠ADB=∠A'D'B',又=,
∴=,∴=,
∴△ABD∽△A'B'D'.
答案:①
旋转型
【典例3】如图,已知∠BAE=∠CAD,AB=18,AC=48,AE=15,AD=40.
求证:△ABC∽△AED.
思路点拨 通过等量代换找出对应角,再根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明.
【自主解答】∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,
即∠BAC=∠EAD,
∵AB=18,AC=48,AE=15,AD=40,
∴==,∴△ABC∽△AED.
【变式】如图,已知∠1=∠2,欲证△ADE∽△ACB,可补充条件(D)
A.∠B=∠C B.DE=AB
C.∠D=∠E D.∠D=∠C
一线三等角
【典例4】(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
思路点拨 (1)利用同角的余角相等得∠C=∠DBE,可证明结论;
(2)根据相似三角形的性质即可求出答案.
【自主解答】(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,∴∠A=∠CBE=∠D=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,
∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB;
(2)∵△ABC∽△DEB,∴=,
∴=,∴BD=3.
【变式】如图,在等边△ABC中,D为BC边上一点,且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,求△ABC的边长.
【解析】∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC,
∴CD=BC-BD=AB-3;
∴∠BAD+∠ADB=120°,∵∠ADE=60°,
∴∠ADB+∠EDC=120°,
∴∠DAB=∠EDC,又∵∠B=∠C=60°,
∴△ABD∽△DCE;
∴=,即=,解得AB=9.
双垂线型
【典例5】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BD=4,AD=9,求BC的长.
思路点拨 证明△ACB∽△CDB,根据相似三角形的性质列出比例式,代入已知数据计算,得到答案.
【自主解答】∵CD⊥AB,BD=4,AD=9,
∴∠CDB=90°,AB=13,
∴∠CDB=∠ACB=90°,
又∵∠B=∠B,∴△ACB∽△CDB,
∴=,即=,∴BC=2.
【变式】如图,点P1,P2,P3,P4均在坐标轴上,且P1P2⊥P2P3,P2P3⊥P3P4.若P1,P2的坐标分别为(0,-1),(-2,0),则点P4的坐标为 (8,0) .
