阶段专项提分练六
解直角三角形的应用
仰角、俯角
【典例1】(2022·铜仁中考)为了测量高速公路某桥的桥墩高度,某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量,如图所示.在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°,在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°,测得C,D两点之间的距离为80 m,直线AB,CD在同一平面内,请你用以上数据,计算桥墩AB的高度.(结果保留整数,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,
≈1.73)
【变式1】如图,校园内有一棵枯死的大树AB,距树12米处有一栋教学楼CD,为了安全,学校决定砍伐该树,站在楼顶D处,测得点B的仰角为45°,点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论:①AB≈18.8米;②CD≈8.4米;③若直接从点A处砍伐,树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响;④若第一次在距点A 8米处的树干上砍伐,不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是 .(填写序号,参考数值:≈1.7,≈1.4)
【变式2】(2023·凉山州中考)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C,E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且A,D,B,F在同一直线上.点C,点E到AB的距离分别为CD,EF,且CD=EF=7 m,CE=895 m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45 s.
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1 m);
(2)若该隧道限速80 km/h,判断小型汽车从点A匀速行驶到点B是否超速,并通过计算说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
坡度
【典例2】(2023·泰州中考)如图,堤坝AB长为10 m,坡度i为1∶0.75,底端A在地面上,堤坝与对面的山之间有一深沟,山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE,他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上,又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35'.求堤坝高及山高DE.(sin 26°35'≈0.45,cos 26°35'≈0.89,
tan 26°35'≈0.50,小明身高忽略不计,结果精确到1 m)
【变式1】小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,山高为( )
A.(600-250 )米 B.(600 -250)米
C.(350+350 )米 D.500 米
【变式2】(2023·泸州中考)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20 m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).
方向角
【典例3】(2024·贵阳模拟)小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时,看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥,他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上,并测得AB=100米,当车前进200米到达D处时,测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上,求桥BC的长度(精确到0.1米,参考数据:
sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43,≈1.73).
思路点拨 过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,根据矩形的性质得到BE=CF,BC=EF,解直角三角形即可得到结论.
【变式1】
如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处,则t= 小时.
【变式2】
高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶,试问:消防车是否需要改道行驶 请说明理由.(≈1.732)阶段专项提分练六
解直角三角形的应用
仰角、俯角
【典例1】(2022·铜仁中考)为了测量高速公路某桥的桥墩高度,某数学兴趣小组在同一水平地面C,D两处实地测量,如图所示.在C处测得桥墩顶部A处的仰角为60°和桥墩底部B处的俯角为40°,在D处测得桥墩顶部A处的仰角为30°,测得C,D两点之间的距离为80 m,直线AB,CD在同一平面内,请你用以上数据,计算桥墩AB的高度.(结果保留整数,参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84,
≈1.73)
【自主解答】见全解全析
【变式1】如图,校园内有一棵枯死的大树AB,距树12米处有一栋教学楼CD,为了安全,学校决定砍伐该树,站在楼顶D处,测得点B的仰角为45°,点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论:①AB≈18.8米;②CD≈8.4米;③若直接从点A处砍伐,树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响;④若第一次在距点A 8米处的树干上砍伐,不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是 ①③④ .(填写序号,参考数值:≈1.7,≈1.4)
【变式2】(2023·凉山州中考)超速容易造成交通事故.高速公路管理部门在某隧道内的C,E两处安装了测速仪,该段隧道的截面示意图如图所示,图中所有点都在同一平面内,且A,D,B,F在同一直线上.点C,点E到AB的距离分别为CD,EF,且CD=EF=7 m,CE=895 m,在C处测得A点的俯角为30°,在E处测得B点的俯角为45°,小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45 s.
(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1 m);
(2)若该隧道限速80 km/h,判断小型汽车从点A匀速行驶到点B是否超速,并通过计算说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)
【解析】(1)根据题意,四边形CDFE是矩形,∠CAD=30°,
∠EBF=45°,DF=CE=895 m,
在Rt△EBF中,BF===7(m),
∴DB=DF-BF=895-7=888(m),
在Rt△ACD中,AD===7 (m)≈11.9(m),
∴AB=AD+BD=11.9+888≈900(m),
∴A,B两点之间的距离约为900 m;
(2)∵900÷45=20(m/s),
∴小型汽车每小时行驶20×3 600=72 000(m),
∵72 000 m=72 km,72<80,
∴小型汽车从点A行驶到点B没有超速.
坡度
【典例2】(2023·泰州中考)如图,堤坝AB长为10 m,坡度i为1∶0.75,底端A在地面上,堤坝与对面的山之间有一深沟,山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE,他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上,又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35'.求堤坝高及山高DE.(sin 26°35'≈0.45,cos 26°35'≈0.89,
tan 26°35'≈0.50,小明身高忽略不计,结果精确到1 m)
【自主解答】过B作BH⊥AE于H,
∵坡度i为1∶0.75,
∴设BH=4x m,AH=3x m,
∴AB==5x=10 m,
∴x=2,∴AH=6 m,BH=8 m,过B作BF⊥CE于F,
则EF=BH=8,BF=EH,
设DF=a m,∵α=26°35'.
∴BF=≈=2a,
∴AE=6+2a,∵坡度i为1∶0.75,
∴CE∶AE=(20+a+8)∶(6+2a)=1∶0.75,
∴a=12,∴DF=12(m),
∴DE=DF+EF=12+8=20(m),
答:堤坝高为8 m,山高DE为20 m.
【变式1】小明去爬山,在山脚看山顶角度为30°,小明在坡比为5∶12的山坡上走1 300米,此时小明看山顶的角度为60°,山高为(B)
A.(600-250 )米 B.(600 -250)米
C.(350+350 )米 D.500 米
【变式2】(2023·泸州中考)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20 m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).
【解析】过点B作BF⊥AD于点F,
在Rt△ABF中,
∵i=2∶,
∴可设BF=2k,AF=k,∵AB=20 m,
∵BF2+AF2=AB2,
∴(2k)2+(k)2=(20 )2,
解得k=20(负值已舍),∴BF=2k=40 m,
延长BC,DE交于点H,
∵BC是水平线,DE是铅垂线,∴DH⊥CH,△CDH和△CEH都是直角三角形,
∵AD,BC都是水平线,BF⊥AD,DH⊥BC,
∴四边形BFDH是矩形,
∴DH=BF=40 m,在Rt△CDH中,
∵tan∠DCH=,
∴CH===(m),
在Rt△CEH中,∵tan∠ECH=,
∴EH=CH·tan∠ECH=·tan 37°≈×=10 (m),
∴DE=DH-EH=(40-10 )m.
答:古树DE的高度为(40-10 )m.
方向角
【典例3】(2024·贵阳模拟)小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时,看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥,他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上,并测得AB=100米,当车前进200米到达D处时,测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上,求桥BC的长度(精确到0.1米,参考数据:
sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43,≈1.73).
思路点拨 过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,根据矩形的性质得到BE=CF,BC=EF,解直角三角形即可得到结论.
【自主解答】过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F,
∴BE=CF,BC=EF,
∵∠BAD=60°,AB=100米,
∴AE=50米,BE=50 米,
∴CF=50 米,
∵∠DCF=55°,
∴DF=CF·tan 55°≈123.695(米),
∴BC=EF=AD-AE+DF≈200-50+123.695=273.695≈273.7(米).
答:桥BC的长度约为273.7米.
【变式1】
如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处,则t= (1+) 小时.
【变式2】
高考英语听力测试期间,需要杜绝考点周围的噪音.如图,点A是某市一高考考点,在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队.在听力考试期间,消防队突然接到报警电话,告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾,消防队必须立即赶往救火.已知消防车的警报声传播半径为100米,若消防车的警报声对听力测试造成影响,则消防车必须改道行驶,试问:消防车是否需要改道行驶 请说明理由.(≈1.732)
【解析】如图:过点A作AH⊥CF于点H,
由题意得:∠MCF=75°,∠CAN=15°,AC=125米,∵CM∥AN,∴∠ACM=
∠CAN=15°,∴∠ACH=∠MCF-∠ACM=75°-15°=60°,
∴在Rt△ACH中,AH=AC·sin∠ACH=125×≈108.25(米)>100米.
答:消防车不需要改道行驶.
