阶段专项提分练三
一元二次方程的应用
增长率问题
【典例1】(2023·郴州中考)随着旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率;
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人
思路点拨 (1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,由2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人,列出方程即可求解;
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人,由增长率不会超过前两个月的月平均增长率,列出不等式,即可求解.
【自主解答】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,
由题意可得,1.6(1+x)2=2.5,
解得x=0.25=25%,x=-2.25(不符合题意,舍去),
答:这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%;
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人,
由题意可得,2.125+10a≤2.5(1+25%),
解得a≤0.1,
答:5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.
【变式】制造一种商品,原来每件成本为100元,由于连续两次降低成本,现在的成本是每件81元,则平均每次降低成本的百分数是 10% .
销售问题
【典例2】某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品
(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品
思路点拨 (1)根据生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元,即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品;
(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品,根据单件利润×销售数量=总利润,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论.
【自主解答】(1)(14-10)÷2+1=3(档次).
答:此批次蛋糕属第三档次产品.
(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品,
根据题意得,(2x+8)×(76+4-4x)=1 080,
整理得x2-16x+55=0,
解得x1=5,x2=11(不合题意,舍去).
答:该烘焙店生产的是第五档次的产品.
【变式1】某商品现在出售一件可获利10元,每天可销售20件,若每降价1元可多卖2件,则降价 2 元时每天可获利192元.
【变式2】某商店分别花2 000元和3 000元先后两次以相同的进价购进某种商品,且第二次的质量比第一次多50千克.
(1)该商品每千克的进价是多少元
(2)若该商品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系式为y=-10x+500,商品的售价定为多少元时,商店每天可以获利2 000元
【解析】(1)设该商品每千克的进价是m元,
依题意得-=50,
解得m=20,
经检验,m=20是原方程的解,且符合题意.
答:该商品每千克的进价是20元.
(2)依题意得(x-20)(-10x+500)=2 000,
整理得x2-70x+1 200=0,
解得x1=30,x2=40.
答:商品的售价定为30元/千克或40元/千克时,商店每天可以获利2 000元.
【变式3】某商场以每件40元的价格购进一批商品,当商场按每件50元出售时,可售出500件,经调查,该商品每涨价1元,其销售量就会减少10件.问:
(1)这批商品商场为了能获利8 000元,当要求售价不高于每件70元时,售价应定为多少.
(2)总利润能否达到9 500元,为什么
【解析】(1)设每件应涨价x元,
由题意得(500-10x)(10+x)=8 000,
解得x1=10,x2=30(不符合题意,舍去),
50+10=60(元).
答:每件售价60元.
(2)不能.理由:(500-10x)(10+x)=9 500,即x2-40x+450=0,
∵Δ=b2-4ac=(-40)2-4×1×450=-200<0,∴方程没有实数根,
∴总利润不能达到9 500元.
面积问题
【典例3】(2023·淮安中考)为了便于劳动课程的开展,学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图),生态园一面靠墙(墙足够长),另外三面用18 m的篱笆围成.生态园的面积能否为40 m2 如果能,请求出AB的长;如果不能,请说明理由.
【自主解答】生态园的面积能为40 m2,理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,
设AB的长为x m,则BC的长为 m,
由题意得,x·=40,
整理得,x2-18x+80=0,解得x1=10,x2=8,
∴生态园的面积能为40 m2,AB的长为10 m或8 m.
【变式1】“十一”期间,学校组织了“我爱祖国”作品展.九年级一班小丽同学作了一幅画,画纸是长方形,长50 cm,宽30 cm,她又给画纸镶了一个四边宽度相等的镜框,镶完镜框后,整幅作品的总面积是2 400 cm2(镜框与画纸重合部分不计),求镜框的宽.设镜框的宽为x cm.根据题意,可列方程为(A)
A.(50+2x)(30+2x)=2 400
B.(50+x)(30+x)=2 400
C.(50+x)(30+2x)=2 400
D.(50+2x)(30+x)=2 400
【变式2】如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方厘米.则截去正方形的边长为 10厘米 . 阶段专项提分练三
一元二次方程的应用
增长率问题
【典例1】(2023·郴州中考)随着旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率;
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人
思路点拨 (1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,由2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人,列出方程即可求解;
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人,由增长率不会超过前两个月的月平均增长率,列出不等式,即可求解.
【变式】制造一种商品,原来每件成本为100元,由于连续两次降低成本,现在的成本是每件81元,则平均每次降低成本的百分数是 .
销售问题
【典例2】某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明:生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品
(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品
思路点拨 (1)根据生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元,即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品;
(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品,根据单件利润×销售数量=总利润,即可得出关于x的一元二次方程,解之即可得出结论.
【变式1】某商品现在出售一件可获利10元,每天可销售20件,若每降价1元可多卖2件,则降价 元时每天可获利192元.
【变式2】某商店分别花2 000元和3 000元先后两次以相同的进价购进某种商品,且第二次的质量比第一次多50千克.
(1)该商品每千克的进价是多少元
(2)若该商品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系式为y=-10x+500,商品的售价定为多少元时,商店每天可以获利2 000元
【变式3】某商场以每件40元的价格购进一批商品,当商场按每件50元出售时,可售出500件,经调查,该商品每涨价1元,其销售量就会减少10件.问:
(1)这批商品商场为了能获利8 000元,当要求售价不高于每件70元时,售价应定为多少.
(2)总利润能否达到9 500元,为什么
面积问题
【典例3】(2023·淮安中考)为了便于劳动课程的开展,学校打算建一个矩形生态园ABCD(如图),生态园一面靠墙(墙足够长),另外三面用18 m的篱笆围成.生态园的面积能否为40 m2 如果能,请求出AB的长;如果不能,请说明理由.
【变式1】“十一”期间,学校组织了“我爱祖国”作品展.九年级一班小丽同学作了一幅画,画纸是长方形,长50 cm,宽30 cm,她又给画纸镶了一个四边宽度相等的镜框,镶完镜框后,整幅作品的总面积是2 400 cm2(镜框与画纸重合部分不计),求镜框的宽.设镜框的宽为x cm.根据题意,可列方程为( )
A.(50+2x)(30+2x)=2 400
B.(50+x)(30+x)=2 400
C.(50+x)(30+2x)=2 400
D.(50+2x)(30+x)=2 400
【变式2】如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方厘米.则截去正方形的边长为 .
