阶段专项提分练五
锐角三角函数
正弦
【典例1】如图所示,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则sin∠AOB的值是 .
【变式1】在正方形网格中,小正方形的边长均为1,∠ABC如图放置,则sin∠ABC的值为(B)
A. B. C. D.1
【变式2】如图,是由边长为1的正三角形组成的网格,则sin∠AOB= .
【变式3】如图,△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上,则sin∠BAC= .
余弦
【典例2】如图,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6,AC=5,∠A=30°
(1)求AD;
(2)求cosC.
【自主解答】(1)在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,AB=6,∠A=30°,∴BD=AB=3,
在Rt△ABD中,根据勾股定理得:AD==3;
(2)∵AC=5,AD=3,∴CD=AC-AD=2,在Rt△CBD中,
∵∠CDB=90°,BD=3,CD=2,∴BC==,∴cosC===.
【变式】(2024·黔东南州从江县质检)在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长.
【解析】可设AC=5x cm,AB=13x cm,
则BC=12x cm,由12x=24得x=2,
∴AB=26 cm,AC=10 cm,
∴△ABC的周长为10+24+26=60(cm).
正切
【典例3】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,tanA=,AD=20.求BC的长.
【自主解答】∵tanA=,∴∠A=30°,∴∠ABC=60°,又∵BD平分∠ABC,AD=20,
∴∠A=∠ABD=∠CBD=30°,
∴AD=BD=20,∴DC=10,
即AC=AD+DC=30,又∵tanA=,
∴BC=AC·tanA=30×=10 .
即BC的长为10 .
【变式1】(2024·安顺镇宁县期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AB=10,AC=8.
(1)求tan A的值;
(2)设∠BCD=∠α,求tan α的值.
【解析】(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,根据勾股定理得,BC=6,
∴tan A===;
(2)∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴∠BCD=∠A,tan α=tan A===.
【变式2】如图,在△ABC中,AD是BC上的高,tan∠B=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sin∠C=,BC=12,求AD的长.
【解析】(1)∵AD是BC上的高,
∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ADC中,
∵tan∠B=,cos∠DAC=,
又∵tan∠B=cos∠DAC,
∴=,∴AC=BD.
(2)在Rt△ADC中,sin∠C=,
故可设AD=12k,AC=13k,
∴CD==5k,
∵BC=BD+CD,AC=BD,
∴BC=AC+CD=13k+5k=18k,
∵BC=12,∴18k=12,∴k=,
∴AD=12k=12×=8.
拓展:新定义问题
【典例4】如图,定义:在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作cotα,即cotα==.根据上述角的余切定义,解下列问题:
(1)cot30°= ;
(2)如图,已知tanA=,其中∠A为锐角,试求cotA的值.
【自主解答】(1)∵Rt△ABC中,α=30°,
∴BC=AB,即AB=2BC,∴AC===BC,
∴cot30°==.
(2)∵tanA==,
∴设BC=3k,AC=4k,
∴cotA===.
【变式】定义一种运算:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)
=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,则sin 15°的值为 . 阶段专项提分练五
锐角三角函数
正弦
【典例1】如图所示,∠AOB是放置在正方形网格中的一个角,则sin∠AOB的值是 .
【变式1】在正方形网格中,小正方形的边长均为1,∠ABC如图放置,则sin∠ABC的值为( )
A. B. C. D.1
【变式2】如图,是由边长为1的正三角形组成的网格,则sin∠AOB= .
【变式3】如图,△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上,则sin∠BAC= .
余弦
【典例2】如图,在△ABC中,BD⊥AC,AB=6,AC=5,∠A=30°
(1)求AD;
(2)求cosC.
【变式】(2024·黔东南州从江县质检)在△ABC中,∠C=90°,BC=24 cm,cos A=,求这个三角形的周长.
正切
【典例3】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,tanA=,AD=20.求BC的长.
【变式1】(2024·安顺镇宁县期中)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AB=10,AC=8.
(1)求tan A的值;
(2)设∠BCD=∠α,求tan α的值.
【变式2】如图,在△ABC中,AD是BC上的高,tan∠B=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sin∠C=,BC=12,求AD的长.
拓展:新定义问题
【典例4】如图,定义:在直角三角形ABC中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作cotα,即cotα==.根据上述角的余切定义,解下列问题:
(1)cot30°= ;
(2)如图,已知tanA=,其中∠A为锐角,试求cotA的值.
【变式】定义一种运算:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)
=sin αcos β-cos αsin β.
例如:当α=45°,β=30°时,sin(45°+30°)=×+×=,则sin 15°的值为 .
