初中数学湘教版九年级下册1.2.1二次函数y= ax2的图象与性质 教案

1.2　二次函数的图象与性质
第1课时
1.会用描点法画二次函数y= ax2的图象.
2.根据二次函数y=ax2的图象,直观地了解它的性质,并能利用性质解决问题.
3.经历探索二次函数y=x2图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.
4.由函数y=x2的图象及性质,对比地学习y=-x2的图象及性质,并能比较出它们的异同点,培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维.
重点:二次函数y=ax2的图象与性质.
难点:由y=x2的图象及性质对比地学习y=-x2的图象及性质,并能比较出它们的异同点.
一、创设情境
我们学习了一次函数与反比例函数后,知道一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是两条双曲线.
上节课我们学习了二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数且a≠0),那么它的图象是否也为直线或双曲线呢 本节课我们将一起来研究.
二、探索归纳
(一)y=ax2的图象
问题1:画二次函数y=x2的图象.
师:二次函数的图象是什么形状呢 让我们先看最简单的二次函数y=x2.大家还记得画函数图象的一般步骤吗
生:记得,列表、描点、连线.
师:非常正确,下面就请同学们按上面的步骤画出y=x2的图象.
学生填空:
列表:x的取值范围________.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 __ __ 0 __ __ 9 …
描点:学生用三角板在直角坐标系中描出上面各点,最后用光滑曲线连接各点.
连线:
(师生活动:教师用多媒体演示作图过程,画出规范的图象,同时指出自变量x可以取任意实数,只需要画出图象的一部分即可.)
问题2:认识二次函数y=x2的图象.
根据y=x2的图象,回答下列问题:
(1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流.
(2)图象与x轴有交点吗 如果有,交点坐标是什么
(3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化 当x>0时呢
(4)当x取什么值时,y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的
(5)图象是轴对称图形吗 如果是,它的对称轴是什么 请你找出几对对称点,并与同伴进行交流.
师:结合图象,利用图象上点的坐标思考问题,说出你的发现.
生:以小组为单位,进行思考、交流、讨论.
师:找学生口答.
生:(1)图象的形状是一条曲线.就像抛出的物体所行进的路线的倒影.
(2)图象与x轴有交点,交于原点,交点坐标是(0,0).
(3)当x<0时,图象在y轴的左侧,随着x值的增大,y的值逐渐减小;当x>0时,图象在y轴的右侧,随着x值的增大,y的值逐渐增大.
(4)观察图象可知,当x=0时,y的值最小,最小值是0.
(5)由图可知,图象是轴对称图形,它的对称轴是y轴,从刚才的列表中可找到对称点(-1,1)和(1,1);(-2,4)和(2,4);(-3,9)和(3,9).
问题3:画图象,然后回答下列问题.
(1)在同一直角坐标系中,画出函数y=x2与y=-x2的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点 又有什么区别
(2)在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么
(3)将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么
师生活动:教师可引导学生从(1)的共同点和(2)的发现中得到结论:四个函数的图象都是抛物线,都关于y轴对称,它们的顶点坐标都是(0,0).
(二)y=ax2的性质
1.让学生观察y=x2,y=2x2的图象,填空:
当a>0时,抛物线y=ax2开口________,在对称轴的左边,曲线自左向右________;在对称轴的右边,曲线自左向右________,________是抛物线上位置最低的点.
当x<0时,函数值y随着x的增大而________,当x>0时,函数值y随x的增大而________;当x=________时,函数值y=ax2(a>0)取得最小值,最小值是y=________.
2.让学生观察y=-x2,y=-2x2的图象,填空:
当a<0时,抛物线y=ax2开口________,在对称轴的左边,曲线自左向右________;在对称轴的右边,曲线自左向右________,________是抛物线上位置最高的点.
当x<0时,函数值y随着x的增大而________,当x>0时,函数值y随x的增大而________;当x=________时,函数值y=ax2(a<0)取得最大值,最大值是y=________.
3.学生口答:函数y=ax2具有哪些性质
三、交流反思
y=ax2的图象
1.画y=ax2的图象的步骤:列表、描点、连线;也可以利用对称性画出图象;
2.图象都是抛物线,都关于y轴对称,它的顶点坐标都是(0,0).
3.a>0,图象开口向上;a<0,图象开口向下.
四、检测反馈
1.已知点(-1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=x2的图象上,则(　　)
A.y1C.y32.y=0.2x2的开口________,当x<0时,函数值y随着x的增大而________,顶点是________.
3.画y=-5x2的图象.
五、布置作业
课本P7　第2题
六、板书设计
1.2　二次函数的图象与性质 第1课时
问题 图象 性质
…… …… ……
…… …… ……
七、教学反思
本节课为学生提供了许多动手画图、动脑思考、合作交流的机会,创设了有利于学生进行观察、归纳、主动探究的氛围.在这节课上,学生不仅学到了数学知识,而且学到了用数学思想分析问题、解决问题的方法.
优点:二次函数的图象和性质掌握起来有一定的难度,因此我设计一系列问题串,让学生观察图象回答,以突出重点、分散难点.同时借助课件的动态展示能帮助学生更形象地理解和掌握二次函数的图象和性质,也为今后探讨其他函数的性质提供思路.
缺点:1.在学生作图教学时,课堂上有一部分学生没有进行完,此处给学生的时间少一些;2.在探索二次函数的图象和性质的活动中,没有让学生有更多的思考交流和评价的过程,限制了学生思维的发展.