初中数学湘教版九年级下册2.3垂径定理 教案

﹡2.3　垂径定理
1.探索并证明垂径定理;
2.运用垂径定理解决一些有关证明、计算的问题.
3.经历探索垂径定理的过程,发展学生的推理能力;
4.结合方程的思想解题.
重点:垂径定理及应用,从感性到理性的学习能力的培养.
难点:垂径定理的应用.如何运用方程思想解决问题.
一、创设情境
如果有一个圆形薄饼,你能将它们平均分给2个小孩吗 平均分给4个小孩呢 试试看你最多能分成多少份
师:同学们说得对.能,作直径,作两条互相垂直的直径,最多可分成无数等份.
师:圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴为过圆心的直线.
设计意图:本环节通过一个有趣的问题,引出对圆的轴对称性质的思考,激发了学生的学习兴趣.
二、探索归纳
1.认识垂径定理
师:请大家利用轴对称图形的性质探究,如图:CD是☉O的弦,AB是与CD垂直的直径,垂足为点E.将☉O沿直径AB折叠,你发现线段CE与DE有什么关系 与有什么关系 与有什么关系
(分组讨论,小组代表叙述理由)
教师重点关注:学生对轴对称图形性质的应用是否熟练,适当的进行复习巩固.
设计意图:这样设计是想通过学生对图形的观察和对条件的分析,自己推理结论,培养学生的观察能力和推理能力.
2.证明垂径定理
连接OC,OD.
师:得到什么三角形
生:等腰三角形.
师:OE⊥CD可以得到什么
生:CE=DE.∠COB=∠BOD.
师:与有什么关系 与有什么关系
生:相等
3.垂径定理
师引导学生归纳结论,得出垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦以及弦所对的两条弧.
几何语言为:∵AB为直径,CD是☉O的弦,
CD⊥AB,
∴AB 平分弦CD,AB 平分,.
师强调:
(1)条件中的“弦”可以是直径;
(2)结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧.
师说明:
可将原定理叙述为:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.(板书)
设计意图:加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混.
4.典例新授
例1:如图,弦AB=8 cm,CD是☉O的直径,CD ⊥AB,垂足为E,DE =2 cm,求☉O的直径CD的长.
师:能直接运用垂径定理吗
生:可以.
师:现有的条件可得什么
生:可得AE=4(cm).
师:现有的条件能不能解
师:有直角,但没有三角形,如何办
给学生一定的思考时间.
师:对!同学们非常棒!想到连接AO,构造出直角三角形.
师:如何表示边之间的关系
生:设未知数,列方程
生解答
师生总结:在运用垂径定理时,有垂直于弦的直径后,常添加合适的半径作辅助线,构造直角三角形,结合勾股定理解题.(板书)
例2:证明:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
已知:如图,在☉O中,弦AB与弦CD平行.
求证:=.
证明:作直径EF⊥AB,∴=.
又∵AB∥CD,EF⊥AB,
∴EF⊥CD.∴=.
因此-=-,即=.
生独立解答,小组交流.
请生总结:在圆中,常运用垂径定理证明线段、角、弧相等.必要时作出垂直于弦的直径.(板书)
三、交流反思
垂径定理中的垂径,可以是直径、半径、过圆心且垂直于弦的直线或线段.
垂径定理是圆的性质的主要体现,也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据.
四、检测反馈
1.如图,☉O的半径为5,弦AB的长为6,M是AB上的动点,则线段OM长的最小值为(　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
2.如图,某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为(　　)
A.5米 B.8米 C.7米 D.5米
3.如图,☉O的半径OC为6 cm,弦AB垂直平分OC,则AB=________cm.
4.如图,在☉O中,AB,AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E.
求证:四边形ADOE是正方形.
五、布置作业
课本P60　第2,4题
六、板书设计
﹡2.3　垂径定理
垂径定理 例1 例2
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七、教学反思
　　本节课选用引导发现法和直观演示法,通过教师的引导,启发调动学生的积极性,让学生在课堂上多活动、多观察,主动参与到整个教学活动中来,组织学生参与“实验——观察——猜想——证明”的活动,最后得出定理.
优点:在例题中,如何添加辅助线是学生学习的一个难点,一是引导学生对数学的感知,二是联想解直角三角形的方法,让学生主动探究与发现,哪怕学生想错了,也不批评,鼓励学生交流,教师可以做好引导工作,已知是什么,目标是什么,等等来解.
缺点:教师点拨不到位.