第2章 常用逻辑用语——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试（含解析）

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第2章 常用逻辑用语——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若实数a，b满足，且，则称a与b互补.记，则“”是“a与b互补”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2．命题“关于x的方程在上有解”的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
3．设，则“”是“且”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4．下列选项中，使成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
5．设,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．使不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
7．命题“，”的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
8．已知命题，，则命题p的否定为( )
A.， B.，
C.， D.，
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是( )
A.函数在定义域上为减函数
B.“”是“”的充分不必要条件
C.幂函数在上是增函数的一个充分条件是
D.是的必要不充分条件
10．对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中假命题是( )
A.“”是“”的充要条件
B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充分条件
D.“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
11．下列说法正确的是( )
A.“”是“”的一个必要不充分条件;
B.若集合中只有一个元素,则或;
C.已知,则,;
D.已知集合,则满足条件的集合N的个数为4.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若函数在区间上有最大值,则实数a的取值范围是__________.
13．若命题:“,”为假命题,则实数m的取值范围为________.
14．写出“”的一个充分不必要条件____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．是否存在整数m，使得命题“，”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
16．求关于x的方程的解集中有且只有一个负实数元素的充要条件.
17．求证：是等边三角形的充要条件是.这里a，b，c是的三条边.
18．指出下列各题中p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答）
（1），；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
（3），；
（4），.
19．已知命题p：对任意，恒成立；命题q：存在，成立.
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：若，即，即，两边平方可得，即或.当时，，所以，即a与b互补.同理时，a与b互补.反过来，当时，，即.故“”是“a与b互补”的充要条件.故选C.
2．答案：B
解析：原命题为“，关于x的方程”，其否定为“，关于x的方程”.
3．答案：B
解析：若，，则，所以且.若且，则.所以“”是“且”的必要不充分条件.故选B.
4．答案：B
解析：由不等式，得，解得.
A × 是成立的充要条件.
B √ ，所以是成立的一个必要不充分条件.
C × ，所以是成立的一个充分不必要条件.
D × 与不是包含关系，所以是成立的既不充分又不必要条件.
5．答案：B
解析：充分性:若,,则,但,充分性不得证,
必要性:若,则,所以,因为,,所以,所以,必要性得证所以“”是“”的必要不充分条件
6．答案：A
解析：不等式成立的一个充分不必要条件是,
是的必要不充分条件,是的非充分非必要条件,是的充分必要条件.
故选:A.
7．答案：B
解析：命题“，”的否定是“，”.
故选：B
8．答案：B
解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题，，则命题p的否定为“，”，
故选：B.
9．答案：BCD
解析：A.函数在上是减函数,故错误;
B.命题若“”,则“”等价命题是命题若“”,则“”,原命题为真,逆命题为假,故充分不必要条件,故正确;
C.若幂函数在上是增函数,则,故正确;
D.若,则,故正确;
故选:BCD
10．答案：AC
解析：对于A,如果,则必定有,是充分条件,如果,则,得或,
不是必要条件,所以“”是“”的充分不必要条件,错误;
对于B,如果,必定有,是必要条件,正确;
对于C,如果,比如,, ,不能推出 ,不是充分条件,错误;
对于D,因为有理数+无理数=无理数,有理数+有理数=有理数,5是有理数,
所以“是无理数”必定有a是无理数,是充分条件,如果“a是无理数”则“也是无理数”,是必要条件,
所以“是无理数”是“a是无理数”的充要条件,正确;
故选：AC.
11．答案：AD
解析：对于A,“”“”,反之未必,如,,“”成立,但“”不成立,所以A对;
对于B,集合中只有一个元素,分类讨论：
当时,,当则,,所以B错;
对于C已知,,则,或,所以C不正确;
对于D,,满足条件的集合的个数为4,所以D对;
故选：AD.
12．答案：
解析：令,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
又,作出函数的大致图象,
由于函数在区间上有最大值,
结合图象,由题意可得
解得,
所以实数a的取值范围是,
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意可知方程无实数解,
所以,解得,
故实数m的取值范围为.
故答案为:.
14．答案：（答案不唯一）
解析：,的一个充分不必要条件只需是的真子集.
15．答案：存在整数
解析：假设存在整数m，使得命题“，”是真命题.
因为当时，，
所以，解得.
又m为整数，所以，
故存在整数，使得命题“，”是真命题.
16．答案：“或”
解析：若，则，符合题意.
若，方程有实数根，则，解得.
当时，方程有两个相等的负实数根，
即，符合题意.
当且时，若方程有且只有一个负实数根，则，即.
所以当或时，关于x的方程的解集中有且只有一个负实数元素.
综上，“关于x的方程的解集中有且只有一个负实数元素”的充要条件为“或”.
17．答案：证明见解析
解析：由，
即，
所以，
所以，三角形为等边三角形.
当三角形是等边三角形时，，所以.
综上所述，是等边三角形的充要条件是.
18、
（1）答案：p是q的充分不必要条件
解析：由，但，故p是q的充分不必要条件.
（2）答案：p是q的必要不充分条件
解析：“两个三角形相似”不能推出“两个三角形全等”，但“两个三角形全等”能推出“两个三角形相似”，故p是q的必要不充分条件.
（3）答案：p是q的充要条件
解析：，且，故p是q的充要条件.
（4）答案：p是q的既不充分也不必要条件
解析：由不等式的性质，可知：不能推出，且不能推出，故p是q的既不充分也不必要条件.
19．答案：(1)实数m的取值范围为
(2)实数m的取值范围为
解析：(1)若命题p为真命题，则，解得，
故实数m的取值范围为.
(2)若命题q为真命题，则，解得或.
命题p，q中恰有一个为真命题，命题p，q一真一假
①当p真q假时，解得；
②当p假q真时，解得或.
综上所述，实数m的取值范围为.
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