第3章 不等式——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试（含解析）

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第3章 不等式——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．对于实数a，b，c，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2．已知，若关于x的不等式有解，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3．若，且，则( )
A. B. C. D.
4．已知，，且，则的最小值为( )
A.9 B.10 C.12 D.13
5．不等式的解集为( )
A.或 B.或
C. D.
6．甲、乙分别解关于x的不等式.甲抄错了常数b，得到解集为；乙抄错了常数c，得到解集为.如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为( )
A. B. C. D.
7．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
8．若关于x的不等式的解集非空，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中正确的有( )
A. B. C. D.
10．设正实数x，y满足，则下列说法正确的是( )
A.的最小值为2 B.的最小值为1
C.的最大值为4 D.的最小值为2
11．若关于x的不等式有实数解,则a的值可能为( )
A.0 B.3 C.1 D.-2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若正数m,n满足,则mn的最大值为__________．
13．已知集合，对于任意的，使不等式恒成立的x的取值范围为____________.
14．已知正实数a，b满足，则ab的最大值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．集合，.
（1）若，，求实数a的值；
（2）若，求实数a的取值范围.
16．已知关于x的不等式.
（1）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
17．已知正实数a，b满足，求的最小值.
18．已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
19．已知关于x的方程在上有解.
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式的解集为N，若是的必要条件，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：若或，或显然无意义.故A选项错误；
若，则.故B选项错误；
因为，所以各项同时乘以a得.故C正确；
若，则.故D错误.故选C.
2．答案：C
解析：因为关于x的不等式有解，所以.
方法一：因为，，所以，当且仅当，即时，取“=”，所以，故，即，解得或，所以实数m的取值范围是.
方法二：因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，故，即，解得或，所以实数m的取值范围是.
3．答案：B
解析：由，知当时，，此时，，故C，D错误.当时，，此时A错误，故选B.
4．答案：D
解析：，当且仅当，即时，等号成立.
5．答案：D
解析：，即，所以，解得.
6．答案：A
解析：由题意得，，所以，，故原不等式为，解得.
7．答案：C
解析：因为或，所以，故选C.
8．答案：D
解析：①当，即时，，解集非空；②当，即时，对应二次函数的图象为开口向下的抛物线，故不等式的解集非空；③当时，若不等式的解集非空，则即.综上，m的取值范围是.
9．答案：ABC
解析：因为的解集为，
所以，且方程的两根分别为2，3，
由韦达定理可知：，结合，解得，，所以，
所以选项A、B正确；
因为，所以选项C正确；
因为，所以选项D错误.
故选：ABC.
10．答案：AD
解析：对于A，因为，，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为2，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故D正确.
故选:AD.
11．答案：ACD
解析：当时,不等式有解,符合题意;
当时,得,则不等式有解;
当时,由,解得.
综上,a的取值范围为,对照选项,选项ACD的值符合题意.
故选：ACD.
12．答案：10
解析：因为,
当且仅当,即时,等号成立,
所以,故mn的最大值为10．
故答案为：10.
13．答案：
解析：方法一：由，得，所以.不等式，即对于任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，所以只需或对于任意的恒成立，所以只需或对于任意的恒成立.因为，所以只需或.
方法二：由，得，故.因为对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立.令，所以解得或.
14．答案：
解析：因为，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以ab的最大值为.
15．答案：（1）1
（2）
解析：（1）因为，所以且，
由，可得，解得或，
由，可得，解得，
所以实数a的值为1.
（2），
，
则或.
由，得解得，
所以实数a的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）方法一：不等式变形为，即，
因为对任意实数x，不等式恒成立，
所以，解得，
所以实数m的取值范围是.
方法二：若对任意实数x，不等式恒成立，
则关于x的方程的根的判别式，
即，解得，
所以实数m的取值范围为.
（2）方法一：不等式变形为，即.
当，即时，，
则，即，解得，故且.
当，即时，原不等式恒成立.
当，即时，，
则，即，解得，
故且.
综上，实数x的取值范围是.
方法二：不等式，可看成关于m的一次不等式，
又，所以得且，
所以实数x的取值范围是.
17．答案：
解析：
.
由，得（当且仅当时等号成立），
所以，且，
所以，
所以的最小值为.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）当时，，，
所以.
（2）由题意，得.
当时，，此时不成立；
当时，，
由，得解得；
当时，，
由，得解得.
故实数a的取值范围为或.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，
因为，所以，
又关于x的方程在上有解，
所以，所以.
（2）因为是的必要条件，所以，
由（1）知.
①当，即时，，所以解得；
②当，即时，，所以解得；
③当，即时，，不满足题意.
综上可得，实数a的取值范围是.
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