第4章 指数与对数——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试（含解析）

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第4章 指数与对数——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，，则( )
A.25 B.5 C. D.
2．已知，，则( )
A. B. C. D.
3．若对数式有意义，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( )
A. B.
C. D.
5．若，则( )
A.1 B. C. D.
6．将化成分数指数幂的形式是( )
A. B. C. D.
7．若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.R
8．若，，则下列四个式子中无意义的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若（，，），则( )
A.当n为奇数时，x的n次方根为a B.当n为奇数时，a的n次方根为x
C.当n为偶数时，x的n次方根为 D.当n为偶数时，a的n次方根为
10．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
A.和 B.和 C.和 D.和
11．若实数a，b满足，则下列关系中可能成立的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若，则___________.
13．化简的值为___________.
14．化简下列式子，其中，.
（1）___________；
（2）___________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，，化简下列各式.
（1）；
（2）.
16．设，其中，且.
（1）求证：；
（2）求的值.
17．已知，.
（1）求的值；
（2）设，，求的值.
18．解下列方程.
（1）；
（2）.
19．（1）若，，求的值；
（2）若，求的值；
（3）已知，其中，且，求的值.
参考答案
1．答案：C
解析：由两边取以2为底的对数，得.又，所以，所以.
2．答案：D
解析：由题意知.
3．答案：D
解析：由已知，得即则且，故选D.
4．答案：C
解析：，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误.
5．答案：C
解析：.
6．答案：A
解析：.
7．答案：B
解析：因为，所以，所以，解得，故选B.
8．答案：B
解析：
A 2n为偶数，则恒成立，式子有意义.
B 为奇数，则，式子无意义.
C ，式子有意义.
D ，式子有意义.
9．答案：BD
解析：当n为奇数时，a的n次方根只有1个，为x；当n为偶数时，由于，所以a的n次方根有2个，为.故选BD.
10．答案：AC
解析：
A √ .
B × 0的负指数幂没有意义.
C √ ，.
D × ，，两者值不相等.
11．答案：ABC
解析：当时，，即，故，A正确；
当时，，，故，B正确；
当时，，即，故，C正确；
当时，，，故，D错误；
故选：ABC.
12．答案：64
解析：由，得，所以，即.
13．答案：2
解析：.
14．答案：（1）
（2）-9a
解析：（1）原式.
（2）原式.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）原式.
（2）原式
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）3
解析：（1）
.
（2）在（1）中，分别令，相加得原式.
17．答案：（1）原式
（2）
解析：（2）由
解得于是.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由，得，即，故.
（2），即，
也即，所以或，
解得或.
19．答案：（1）
（2）1
（3）
解析：（1）.
（2）将两边取次方，
得，即①.
同理，②.
，得，即，所以.
（3），
，
因为，所以.
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