第5章 函数概念与性质——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试（含解析）

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第5章 函数概念与性质——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
2．函数的图象为( )
A. B.
C. D.
3．已知函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数的图象的对称中心是( )
A. B. C. D.
4．已知定义域为R的函数在上单调递减，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
5．已知是定义域为R的奇函数，是定义域为R的偶函数，且与的图象关于y轴对称，则( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.的图象关于点成中心对称
D.的图象关于直线对称
6．已知定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则( )
A. B. C. D.
7．函数的增区间是( )
A. B. C. D.
8．定义在R上的函数是偶函数，且.若在上单调递减，则( )
A.在上单调递增，在上单调递增
B.在上单调递增，在上单调递减
C.在上单调递减，在上单调递增
D.在上单调递减，在上单调递减
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列函数中在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10．设函数在区间A上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间A上单调的是( )
A. B.
C. D.
11．已知函数则下列结论正确的是( )
A.的图象过点 B.
C.的值域为 D.的定义域为R
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知函数若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是__________.
13．已知为R上的奇函数，为R上的偶函数，如图为函数和的部分图象，则不等式的解集为__________.
14．写出一个同时具有性质①是奇函数，②在上单调递减，③的函数：__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
16．已知a，b是常数，，，，且方程有两个相等的实数根.
（1）求a，b的值.
（2）是否存在实数m，n（），使得的定义域和值域分别为和？若存在，求出实数m，n的值；若不存在，请说明理由.
17．已知函数，且不等式的解集为.
（1）求a，b的值；
（2）求的值域.
18．已知函数，且.
（1）证明：在区间上单调递减；
（2）若对恒成立，求实数t的取值范围.
19．函数和具有如下性质：定义域均为R；为奇函数，为偶函数；(常数e是自然对数的底数).
（1）求函数和的解析式；
（2）对任意实数x，是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；
（3）若不等式对恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：方法一：因为，所以，.对于A，，定义域关于原点对称，但不满足；对于B，，定义域关于原点对称，且满足；对于C，，定义域不关于原点对称；对于D，，定义域不关于原点对称.故选B.
方法二：，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为，故选B.
2．答案：D
解析：由题意知的定义域为.因为，所以为奇函数.当时，，其在上单调递增；当时，，其在上单调递减.故选D.
3．答案：D
解析：设函数的图象的对称中心为，则函数为奇函数，则，得，整理得，所以解得所以函数的图象的对称中心是.故选D.
4．答案：D
解析：因为，所以的图象关于点成中心对称.令，得，得，又在上单调递减，所以在R上单调递减.又，则，所以由，可得，即，所以，即，解得或.
5．答案：A
解析：由于是定义域为R的奇函数，则的图象关于点成中心对称，是定义域为R的偶函数，则的图象关于直线对称.因为与的图象关于y轴对称，所以的图象关于直线对称，又的图象关于点成中心对称，则的图象关于点成中心对称，故为奇函数，A正确；因为为奇函数，故，由与的图象关于y轴对称，可得，，故，故为奇函数，B错误；由A的分析可知的图象关于直线对称，C错误；由A的分析可知的图象关于点成中心对称，为奇函数，则的图象也关于点成中心对称，而与的图象关于y轴对称，则的图象关于点成中心对称，D错误.
6．答案：C
解析：因为是偶函数，所以，故等价于.因为在区间上单调递减，所以即得.
7．答案：C
解析：由，解得，所以函数的定义域为.令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，则在上单调递减，所以函数的增区间是.
8．答案：B
解析：因为，所以函数的图象关于直线对称.区间与区间，区间与均关于直线对称.由函数在上单调递减，可知在上单调递增.又函数是偶函数，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，故选B.
9．答案：ACD
解析：
A √ 是一次函数，在R上单调递增，故在上单调递增.
B × 是反比例函数，故在上单调递减.
C √ 是二次函数，其图象开口向上、对称轴为直线，故在上单调递增.
D √ 在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增.
10．答案：BC
解析：若函数在区间A上单调递增，则对任意两个不相等的实数，都有与同号，若函数在区间A上单调递减，则对任意两个不相等的实数，都有与异号，故B，C正确，A，D错误.
11．答案：BD
解析：
A × ，所以的图象过点.
B √ 因为与同为有理数，或同为无理数，所以.
C × 函数的值域为.
D √ 有理数集和无理数集的并集是R.
12．答案：
解析：作出函数的图象，如图所示.由，得.当时，，不等式无解；当时，由，得，若，则不等式无整数解，若，则不等式至少有2个整数解，不满足题意；当时，由得，又，，所以若不等式恰有1个整数解，则整数解为.再结合图象知.综上所述，实数a的取值范围为.
13．答案：
解析：将和的图象补全，如图所示.
由图象可得当时，，此时需满足，则；当时，，此时需满足，则.综上所述，.
14．答案：（答案不唯一）
解析：是奇函数且在上单调递减，可以联想到反比例函数，同时满足，故的解析式可以是.（注：其他符合题意的函数均可.）
15．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）因为，，，，，
所以函数的值域为.
（2）因为，且，所以，
所以函数的值域为.
（3）因为，
所以，
所以函数的值域为.
（4）设，则且，
令.
因为，所以，即函数的值域为.
16．答案：（1），
（2）存在，
解析：（1）由，，得.
又方程，即有两个相等的实数根，
所以，所以.
（2）假设存在符合条件的m，n.
由（1）知，则有，即.
由一元二次函数图象的特征，
得即解得
所以存在，，使得函数在上的值域为.
17．答案：（1）a，b的值分别为1，0
（2）
解析：（1）由，得，整理得.因为的解集为，所以的解为，2，
则解得
故a，b的值分别为1，0.
（2）由（1）得.
令，当，即时，由，得，
则，得或.
当时，.
综上，的值域为.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为，，所以，解得，所以，
任取实数，，且，则，
又，所以，，
所以，即，所以在区间上单调递减；
（2）由（1）知，在上单调递减，所以，
因为对恒成立，所以，
即，化简得，解得，
即实数t的取值范围是.
19．答案：（1），；
（2）1；
（3）
解析：（1）由性质③知，则，
由性质②知，，故.
则，
解得，；
（2）由（1）可得
；
（3）因为，所以，
而，，
令，易知在上单调递增，所以，
记，，则，
因为当，时，且，
故由对勾函数性质可得在上单调递增，
所以，因此，故m的取值范围是.
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