第6章 幂函数、指数函数和对数函数——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试（含解析）

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第6章 幂函数、指数函数和对数函数——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知，，，则( )
A. B. C. D.
2．函数，，，的图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
3．已知函数，若函数在区间上有最小值，则实数t的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．若函数与函数的图象关于直线对称，则的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5．已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
7．已知函数（a，c为常数，其中，）的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A.， B.，
C.， D.，
8．已知函数的图象关于直线对称，则函数图象的大致形状为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足函数关系，则下列说法正确的是( )
A.
B.第5个月时，浮萍面积就会超过
C.浮萍的面积从蔓延到需要经过1.5个月
D.浮萍每月增加的面积都相等
10．若，则( )
A. B. C. D.
11．若函数（其中且）的图象过第二、三、四象限，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知函数的最大值为2，则实数_________.
13．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
14．已知对数函数的图象过点，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．为了做好流感预防工作，某学校要求全校各班级每天利用室外课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系为（a，b为常数），其图象经过点，，根据图中提供的信息，解决下面的问题.
（1）求从药物释放开始，y与x的函数关系式.
（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到以下时，才能保证对人身无害，若该校室外课间操时间为，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.
16．设m为实数，已知函数是奇函数.
（1）求m的值.
（2）证明：在区间上单调递减.
（3）当时，求函数的值域.
17．已知函数.
（1）若，求的值域；
（2）若在区间上的最小值为1，求实数m的值.
18．是定义在R上的奇函数，且.当时，其中，.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）若存在，满足，求的取值范围.
19．已知幂函数（p为常数），且满足.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意知直线与，，图象的交点的横坐标分别为a，b，c，画出函数的图象如图所示.由图象可知，.
2．答案：A
解析：如图，作出直线，则由图可知.
3．答案：C
解析：因为在上单调递增，函数在上有最小值，所以在上有最小值.令，则作出的大致图象如图所示.
若使在上有最小值，则或解得或.故选C.
4．答案：A
解析：由题意知函数与函数互为反函数，所以，得，它在定义域内单调递增，且过定点，对比选项可知A符合题意.
5．答案：C
解析：令，，因为为增函数，函数在上是增函数，所以为增函数，故，又，，所以，解得.综上，a的取值范围为.
6．答案：B
解析：要使有意义，只需即解得或，则函数的定义域为.
7．答案：D
解析：由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换，知，.故选D.
8．答案：A
解析：因为的图象关于对称，所以，解得，则，所以的图象可由函数的图象向右平移2个单位长度得到.
9．答案：AB
解析：
A √ 由图象，知当时，，所以，故.
B √ 当时，.
C × 令，得，令，得，.
D × 3月增加了，4月增加了，不相等.
10．答案：AD
解析：
A √ 由，得.令，则.因为，在R上都是增函数，所以在R上是增函数，所以.
B × 当，时，.
C × 当，时，，无意义.
D √ 因为在R上是减函数，且，所以，即.
11．答案：AD
解析：由函数（其中且）的图象过第二、三、四象限，可得，且，即，.
12．答案：3或-13
解析：若函数的最大值为2，则函数的最大值为1，则且，解得或-13.
13．答案：
解析：因为在上单调递增，所以由复合函数的单调性，可知为R上的增函数，故，得或.
14．答案：
解析：设，且，因为该函数图象过点，所以，即，所以，所以.
15．答案：（1）
（2）学校可以选用这种药物用于教室消毒
解析：（1）依题意，当时，设.
因为函数的图象经过点A，所以，解得.
又当时，，所以.
又图象过点B，则，
因此，
所以
（2）由（1）知，当空气中每立方米的药物含量降低到以下时，
有，即，所以，解得.
因此至少需要后才能保证对人身无害，而室外课间操时间为，所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.
16．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）方法一：由题意得，函数的定义域为，
又函数为奇函数，所以，
所以，即，所以.
方法二：取，则有，
所以，解得，
此时，，
所以为奇函数，符合题意.
综上，.
（2）由（1）知，
对于任意，设，
则有.
由得，则，，，
从而有，即，
故在区间上单调递减.
（3）对于，有，得，从而，
所以当时，函数的值域为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，.
令，则且，
所以，
所以的值域为.
（2）令，则.
又，所以，
令，.
当时，在上单调递增，最小值为，不合题意，舍去；
当时，在上单调递减，最小值为，令，解得，不合题意，舍去；
当时，的最小值为，令，得，所以.
综上，.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，是奇函数，
所以，则.
当时，，.
又是奇函数，则；
当时，，，
又是奇函数，则.
因为是定义在R上的奇函数，所以.
故当时，
（2）若，则由，
得，且，
从而有.
若，则由，得，而，，
所以等式不成立.
若，则由，得，即，且，
从而存.
综上，的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由是幂函数，可得，解得或.
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故.
（2）由（1）知，则函数的定义域为，且为增函数.
因为，所以解得，
所以实数a的取值范围是.
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