第7章 三角函数——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试（含解析）

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第7章 三角函数——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知函数在上有且只有一个最大值点(即取得最大值对应的自变量)，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．将函数图象上所有的点都向左平移个单位长度后,再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象,则( )
A. B.
C. D.
3．在地球公转过程中,太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化,太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间,统计了连续400天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值,直射南半球时取负值）.设第x天时太阳直射点的纬度值为y,该科研小组通过对数据的整理和分析.得到y与x近似满足.则每1200年中,要使这1200年与1200个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为( )
（精确到1）参考数据
A.290 B.291 C.292 D.293
4．已知函数在上单调递增,则A的取值范围是( )
A. B. C. D.
5．如图所示，函数（且）的图像是( ).
A. B.
C. D.
6．函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
7．设α是第二象限角，为其终边上一点，且，则( )
A. B. C. D.
8．已知,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数,若存在,,使,则的值可以是( )
A.2 B. C.3 D.
10．对于函数，，下列说法正确是( )
A.对任意的k，的最大值为1
B.当时，的值域中只有一个元素
C.当时，在内只有一个零点
D.当时，的值域为
11．要得到函数的图象,只要将函数图象上所有的点( )
A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位
B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位
C.向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
D.向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知弧长为的弧所对圆周角为，则这条弧所在圆的半径为____________.
13．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴.若是角终边上一点，且，则__________
14．已知定义在区间上的函数的值域为,则的取值范围为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）若，，求的值域；
（2）若，，都有恒成立，求a的取值范围．
16．高邮某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者,工艺品平面设计如图所示,该工艺品由直角三角形ABC和以BC为直径的半圆拼接而成,点P为半圆上一点(异于B,C),点在线段AB上,且满足.已知,,设,
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果,需满足,达到最大.当为何值时,工艺礼品达到最佳观赏效果;
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏,需满足,且达到最大.当为何值时,取得最大值,并求该最大值.
17．已知函数.
(1)求函数的单调增区间；
(2)将的图像向左平移个单位得到函数，求在上的值域.
18．已知函数（,且）为偶函数.
（1）求a的值;
（2）若,使成立,求实数m的取值范围.
19．已知函数.
（1）求的单调递增区间;
（2）求在上的值域.
参考答案
1．答案：B
解析：由，得，由题意可得，解得.
2．答案：D
解析：将图象上所有的点都向左平移个单位长度后,
得到函数的图象,
再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,
得.
故选：D.
3．答案：B
解析：,
所以一个回归年对应的天数为365.2422天
假设1200年中,设定闰年的个数为x,则平年有个,
所以
解得：.
故选：B.
4．答案：B
解析：由函数在区间上单调递增,
则满足,解得,即实数A的取值为．
故选：B.
5．答案：C
解析：，
根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示，
故选：C.
6．答案：A
解析：因为函数为,所以函数的最小正周期为,故答案为A.
7．答案：B
解析：由三角函数定义可知：，又α是第二象限角，
故，所以.
故选：B.
8．答案：C
解析：因为.
则,
故选:C.
9．答案：BD
解析：存在,,使,即,
令,则且,故且,
所以,结合范围知:且,即在内至少存在两个k值,
若,则,可得满足;
若,则,可得,又,故;
综上,.
故选:BD
10．答案：BD
解析：对于A项，当时，，，故A错误；
对于B项，，即的值域为，故B正确；
对于C项，由，解得，函数，在的图象如下图所示
由图可知，函数，在内有两个交点，即在内有2个零点，故C错误：对于D项，
，因为，所以，，即的值域为，故D正确；
故选:BD
11．答案：BC
解析：要得到函数的图象,只要将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,再将所得图象向左平移个单位;或者向左平移个单位,再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）.
12．答案：1
解析：已知弧长为的弧所对圆周角为，
则所对的圆心角为，
，，
故答案为：1.
13．答案：-6
解析：由题设知，即，且，即，且，解得.
14．答案：
解析：方法1:法一:换元法
令.
方法2:目标函数+伸缩变换
令,,.
15．答案：（1）；（2）
解析：（1）当时，，令，
则，
由，则，故，又，故，即的值域为；
（2）令，则，
当时，，，则，
由，即，化简得，
令，，由，故，故在上单调递增，
故，解得；
当时，，，故，
则有，即，
由，故有，，解得，综上所述，.
16．答案：（1）时,达最大值
（2）当时,达到最大值
解析：（1）因为三角形ABC为直角三角形,,
所以,
在直角中,因为,所以.
因为点P为半圆上一点,所以,又因为,
所以,
所以
,
因为,
所以当,即时,达最大值;
（2）在直角中,因为,
所以,
因为,所以,
又因为所以,
在直角中,,
所以,
,,
所以当即时,达到最大值,
答:当时,达到最大值cm.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)令，
由的单调性可知，当时，
即时此函数单调递增.
所以函数的单调增区间为.
(2)由题可得：，
时，有，所以的值域为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数为偶函数,则,
即,
整理得,
可得,结合x的任意性可得,
此时,
可得的定义域为R,符合题意,
综上所述:.
（2）因为,则,
则,当且仅当,即时,等号成立,
所以,
由题意可得:,即,
因为,令,则,
设,
可得,解得,
若,可知的图象开口向上,对称轴,
由题意可得,
整理得,
又因为,则,解得,
所以实数m的取值范围.
19．答案：（1）
（2）.
解析：（1）令,
解得,
则的单调递增区间为.
（2）因为,所以,所以.
又因为函数在上单调递增,在上单调递减,
所以:当,即时,
取得最小值;
当,即时,
取得最大值.
故在上的值域为.
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