第8章 函数应用——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试（含解析）

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第8章 函数应用——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第一册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．某地上年度电的价格为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电的价格调至0.55元/度~0.75元/度（包含0.55元/度和0.75元/度），若电的价格调至x元/度，则本年度新增用电量y（亿度）与x之间的函数关系式为.已知电的成本价为0.3元/度，电力部门要使本年度的收益（收益=用电量×（实际电的价格-成本价））比上一年增加20%，则电的价格应调至( )
A.0.5元/度 B.0.6元/度 C.0.65元/度 D.0.7元/度
2．弓箭手以的速度从地面垂直向上射箭，后箭距离地面的高度为.已知，若射出后箭距离地面的高度为，则箭能达到的最大高度为( )
A. B. C. D.
3．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为( )（）
A.440分 B.460分 C.480分 D.500分
4．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，达到及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在此刻停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：）( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5．某种电热水器的水箱最多可蓄水200升，加热到一定温度，即可浴用.浴用时，已知每分放水34升，在放水的同时自动注水，t分注水升.当水箱内水量达到最小值时，放水程序自动停止.现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供( )洗浴.
A.3人 B.4人 C.5人 D.6人
6．某同学用二分法求方程在内近似解的过程中，设，且计算，，，则该同学在第二次应计算的函数值为( )
A. B.
C. D.
7．声音的等级(单位:)与声音强度x(单位:)满足.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140.若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍,则一般说话时声音的等级约为( )
A.120 B.100 C.80 D.60
8．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：天）.铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为，.开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则，满足的关系式为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．边际函数是经济学中一个基本概念,在国防,医学,环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用,函数的边际函数定义为.某公司每月最多生产75台报警系统装置,生产台的收入函数(单位:元),其成本的数(单位:元),利润是收入与成本之差,设利润函数为,则以下说法正确的是( )
A.取得最大值时每月产量为63台
B.边际利润函数的表达式为
C.利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值
D.边际利润函数说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润差额在减少
10．设,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,错误的是( )
A.的增长速度最快, 的增长速度最慢
B.的增长速度最快, 的增长速度最慢
C.的增长速度最快, 的增长速度最慢
D.的增长速度最快, 的增长速度最慢
11．某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为( )
A.元 B.3元 C.元 D.元
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．近几年由于北京房价的上涨，二手房市场交易火爆.房子几乎没有变化，但价格却上涨了.小张在2010年以80万元的价格购得一套新房，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这套房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是__________.
13．用二分法求函数在区间的零点,若要求精确度,则至少进行___________次二分．
14．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行________次函数值的计算.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额x成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额x的算术平方根成正比，其关系如图2.
（1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
16．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？
17．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分.某中学剪纸社团开展一个趣味比赛活动，要求在一个长为和宽为2的矩形的对角剪掉两个全等的等腰三角形，这两个等腰三角形的底边与矩形的边交于四点，以这四点为顶点构成四边形，将其剪下来，哪一位同学剪出的四边形面积最大则为冠军.若设等腰三角形的腰长为x，四边形面积为y.
（1）写出y关于x的函数解析式，并求出它的定义域；
（2）当x为何值时，四边形面积最大？并求出最大值.
18．北京时间2023年3月30日18时50分，中国在太原卫星发射中心成功将宏图一号01组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.据了解，在不考虑空气动力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：）是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比，已知A型火箭的喷流相对速度为.
(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
参考数据：，.
19．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务. 据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭(除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为.
（1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.
（参考数据:，，）
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意，得，整理得，解得（舍去）或，所以电力部门要使本年度的收益比上一年增加，则电的价格应调至0.6元/度.
2．答案：C
解析：由题意知，解得，所以，故当时，x取得最大值，为180，即箭能达到的最大高度为.
3．答案：B
解析：由题意得：，；
，
该学生在高考中可能取得的总分约为分.
故选：B.
4．答案：D
解析：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，
则血液中酒精含量达到，在停止喝酒以后，
他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，
他至少要经过1小时后才可以驾驶机动车.则，，
.
他至少经过6个小时才能驾驶.
故选：D.
5．答案：B
解析：，当时，放水自动停止，此时，共放水（升），所以可供4人洗浴.
6．答案：C
解析：，，，在区间内函数存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值，故选C.
7．答案：D
解析：设一般说话时声音强度为,喷气式飞机起飞时声音强度为,
由题意知,,解得,
又因为,所以,所以
所以一般说话时声音的等级约为.
故选：D.
8．答案：B
解析：设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，
则512天后，甲的质量为：，乙的质量为：，
由题意可得，
所以.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：对于A选项,,
二次函数的图象开口向下,对称轴为直线,
因为,所以,取得最大值时每月产量为63台或62台,A错;
对于B选项,
,B对;
对于C选项,,
因为函数为减函数,则,C对;
对于D选项,因为函数为减函数,
说明随着产量的增加,每台利润与前一台利润差额在减少,D对.
故选:BCD.
10．答案：ACD
解析：画出函数,,的图象,如图所示,
结合图象,可得三个函数,,中,
当时,函数增长速度最快,增长速度最慢.
所以选项B正确;选项ACD不正确.
故选：ACD.
11．答案：BC
解析：依题意可知，要使该杂志销售收入不少于万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为元，则发行量为万册，
则该杂志销售收入为万元，
所以，化简得，解得，故选：BC.
12．答案：
解析：这套房子一年后的价格为.
这套房子两年后的价格为，…，
由此可推得2020年，这套房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是.
13．答案：8
解析：根据题意,原来区间的长度等于2,
每经过二分法的一次操作,区间长度变为原来的一半,
则经过n次操作后,区间的长度为,
若要求精确度,即,解可得,
即至少进行8个二分．
故答案为：8．
14．答案：4
解析：设对区间二等分n次，初始区间长度为1，第1次计算后区间长度为；第2次计算后区间长度为；第3次计算后区间长度为；第4次计算后区间长度为；故至少计算4次.故答案为：4.
15、
（1）答案：，
解析：依题意：可设，，
，，
，.
（2）答案：投资债券类产品万元，股票类投资为4万元，收益最大为3万元
解析：设投资债券类产品x万元，
则股票类投资为万元，年收益为y万元，
依题意得：，
即，令，
则，，
则，，
所以当，即万元时，
收益最大，万元.
16．答案：（1）400吨
（2）不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损
解析：（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为；
当且仅当，即时等号成立，
故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.
（2）不获利，设该单位每个月获利为S元，则
，
因为，则，
故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.
17．答案：（1）定义域为
（2）①当时，，四边形面积y最大，最大值为；
②当时，，四边形面积y最大，最大值为
解析：（1）如图所示：由已知得，，
所以，
又因为，所以，故，定义域为.
（2），
①当且，即时，
在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，.
②当，即时，在上单调递增，
所以当时，.
综上所述，①当时，，四边形面积y最大，最大值为；
②当时，，四边形面积y最大，最大值为.
18．答案：（1）
（2）材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74
解析：（1）当总质比为200时，，所以当总质比为200时，A型火箭的最大速度约为.
（2）由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比变为，
要使火箭的最大速度至少增加，则需，化简得，，
所以，整理得，所以，则，由参考数据，知，所以，所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74.
19．答案：（1）
（2）11
解析：（1）由已知可得
.
（2）设在材料更新和技术改进前总质比为x，且，，
若要使火箭的最大速度至少增加，所以，
即，，
所以，解得，
因为，所以，
所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11.
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