第9章 平面向量——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试（含解析）

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第9章 平面向量——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知向量，，且，则实数( )
A.1或4 B.1或 C.或1 D.或1
2．已知向量,的夹角为,且,,则( )
A. B. C. D.1
3．已知,,,则与的夹角( )
A. B. C. D.
4．如图,边长为2的正方形中,点E是线段上靠近D的三等分点,F是线段的中点,则( )
A.-4 B.-3 C.-6 D.-2
5．已知向量,,若,则( )
A.8 B.-8 C. D.
6．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则( )
A.9 B. C.12 D.
7．,,,则( )
A.-2 B.2 C.1 D.-1
8．在平行四边形ABCD中,,,,,则( )
A.2 B. C. D.4
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图,设,且,当时,定义平面坐标系为的斜坐标系,在的斜坐标系中:设,是分别与x轴,y轴正方向相同的单位向量,若,记,则在的斜坐标系中下列说法正确的是( )
A.设,,若,则,
B.设,则
C.设,,则
D.设,,则与的夹角为
10．以下关于平面向量的说法中，正确的是( )
A.既有大小，又有方向的量叫做向量 B.所有单位向量都相等
C.零向量没有方向 D.平行向量也叫做共线向量
11．下列各组向量中，不能作为一组基底的是( )
A.， B.，
C.， D.，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在中,,E是线段AD上的动点,设,则__________.
13．已知向量在向量上的投影向量为,则向量______.
14．已知平面向量，，若与垂直，则实数________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.
16．已知两个非零向量,,将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转弧度后,其方向与向量的方向相同,则叫做向量到的角.已知非零向量到的角为,数量叫做向量与的运算,记作,即.根据此定义,不难证明以下性质:①;②;③.
（1）利用以上性质证明:;
（2）设到的角为,定义.当时,则表示面积;当时,则表示面积的相反数.利用上述定义和性质证明:
①如图,四边形ABCD的两边AD,BC延长相交于点E,对角线AC,BD的中点为F,G,求证:四边形ABCD的面积等于的面积的4倍;
②在平面直角坐标系中,记向量,,各顶点坐标分别为,,,求证:面积为.
17．已知四边形ABCD的顶点坐标为，，，且.
（1）若点C在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若点M为直线AC外一点，且，问实数为何值时，点P恰为四边形ABCD对角线的交点.
18．用向量的方法证明梯形的中位线定理：梯形两腰中点的连线等于两底边和的一半，且平行于上、下两底边.
19．如图，在中，AD是BC边上的中线.
（1）取BD的中点M，试用和表示.
（2）若G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.若，（，），求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：由，，，有，解得.
故选：B
2．答案：A
解析：,
故选:A
3．答案：B
解析：因为,,,
所以,
因为,所以.
故选：B.
4．答案：D
解析：因为,
,
所以.
故选：D.
5．答案：B
解析：因为向量,,,
所以, 所以.
故选:B.
6．答案：B
解析：由题意可知，，，
设，由勾股定理可得，解得，
所以，所以，
故选：B.
7．答案：A
解析：因为,
所以,
故选：A.
8．答案：A
解析：在平行四边形ABCD中,如图所示:
因为,所以E是AB的中点,即,
,,
因为,所以,
因此,.
故选:A.
9．答案：AC
解析：,.
对于A,即,则,,A正确;
对于B,,即,B错误;
对于C,由,,得,C正确;
对于D,若,,则,,,.
由,可得,即,D不正确.
故选:AC.
10．答案：AD
解析：由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；
单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确；
零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；
由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.
故选：AD.
11．答案：ACD
解析：对于A，，，由零向量与任意向量共线，可知这两个向量不能作为一组基底；
对于B，因为，，所以，所以这两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于C，因为，，所以，可知这两个向量共线，故不可以作为一组基底；
对于D，因为，，所以，可知这两个向量共线，故不能作为一组基底.故选ACD.
12．答案：2
解析：如图所示,
因为,所以,
所以,
因为A,E,D三点共线,
所以,
所以.
故答案为:2.
13．答案：（答案不唯一）
解析：解法一:设,
因为,所以,即,
取,,是满足题意的一个向量.
解法二:设
由题知:,所以
取,,是满足题意的一个向量.
14．答案：1
解析：因为与垂直，所以，即，，解得.
故答案为：1
15．答案：
解析：M，N分别是BC，AC的中点，
，.
与的夹角等于，.
，
，
，
.
16．答案：（1）见解析
（2）4倍
（3）见解析
解析：（1）由题意得
（2）设,
四边形ABCD的面积等于的面积的4倍;
（3）证明:,,,,,
,,,
,,
,
面积为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，，所以.
设点C的坐标为，，，则.
由，得解得
因为点C在第一象限，所以，，解得.
故实数的取值范围是.
（2）由得，
即，所以.
因为，所以，
又点P恰为四边形ABCD对角线的交点，
所以，则，又，
所以.
18．答案：证明见解析
解析：证明：因为所以.
又因为E，F分别为AD，BC的中点，则，，
所以.
因为，共线且同向，所以.
不妨设，则，所以.
又EF，CD无公共点，所以.同理.所以梯形的中位线定理即证.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意，D为BC的中点，所以，
又M为BD的中点，
所以.
（2）由，，（，），得，，
所以.
又因为E，F，G三点共线，设，
则，即，
所以，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
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