第11章 解三角形——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试（含解析）

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第11章 解三角形——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知P是边长为的正三角形的边上的一点,且P到的距离等于2,则P到的距离为( )
A. B. C.1 D.
2．湖北武汉的黄鹤楼是中国古代四大名楼之一,因唐代诗人崔颢的《黄鹤楼》而名扬天下,小张同学打算利用镜面反射法测量黄鹤楼的高度.如图所示,小张将平面镜置于黄鹤楼前的水平地面上,他后退至从镜中正好能看到楼顶的位置,测量出人与镜子的距离.沿直线将镜子向后移距离a,再次从镜中观测楼顶,并测量出此时人与镜子的距离.若小张的眼睛距离地面的高度为h,则黄鹤楼的高度H可表示为( )
A. B. C. D.
3．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为S，且，，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
4．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，，，( )
A. B.或 C. D.或
5．在中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若，，，则边( )
A. B.或 C.或 D.
6．如图,某市人民广场正中央有一座铁塔,为了测量塔高AB,小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为,然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处,在D处测得塔顶的仰角为,则铁塔AB的高度是( )
A.70米 B.80米 C.90米 D.100米
7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则此三角形( )
A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定
8．在中，若，，，则的最大角与最小角之和是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知，函数的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
10．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有( )
A.，， B.，，
C.，， D.，，
11．中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．甲船在B岛的正南方向A处，千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自B岛出发向北偏东的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为________千米.
13．已知D为的边上一点，，，，则______.
14．如图，平面四边形中，，，，，则的长为________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足.
（1）求角B的大小；
（2）若，设的面积为S，满足，求b的值.
16．如图,在平面四边形中,,,,.
（1）求线段的长度;
（2）求线段的长度;
（3）求的值.
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，___________？
18．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是，点E，F在直径上，且.
（1）若，求的长；
（2）设，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.
19．在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,,,且.
（1）求的正弦值；
（2）BC,AC边上的两条中线AD,BE相交于点G,求的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：设P到C的距离为x,
则,
即,解得.
所以P到的距离为1.
故选：C.
2．答案：A
解析：如图,由可知,即,
由可知,即,
则,可得.
3．答案：B
解析：由及，得，所以，即，于是有.因为，所以，所以外接圆的半径为，所以外接圆的面积为.故选B.
4．答案：A
解析：由正弦定理有，即，解得，
注意到，由大边对大角有，所以
故选：A.
5．答案：C
解析：因为，，，由余弦定理可得，
即，即，解得或.
故选：C.
6．答案：A
解析：设塔AB的高度为h,在中,
因为,所以;
在中,因为,所以;
在中,,,,根据余弦定理可得,即,
解得或(舍去).
故选：A.
7．答案：C
解析：由正弦定理，得，解得.
因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.故选C.
8．答案：B
解析：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，
设长为7的边CA所对的角为θ，则最大角与最小角的和是，
由余弦定理可得，，
由θ为三角形内角，，
则最大角与最小角的和是.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：对于A，当时，，
，为定义在R上的奇函数，图象关于原点对称；
当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
由对称性知：在上单调递减，在上单调递增，且当时，恒成立，
又，A正确；
对于B，当时，，
，为定义在R上的偶函数，图象关于y轴对称；
当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
由对称性知：在上单调递增，在上单调递减，且当时，恒成立，
又，B正确；
对于C，当时，，，
，的定义域为，
为定义在上的偶函数，图象关于y轴对称；
当时，，，
在上单调递减，且当时，恒成立；
由对称性知：在上单调递增，且当时，恒成立，C正确；
对于D，由图象可知：，即在处有意义，则；
又图象关于y轴对称，为偶函数，，
此时图象应为B中图象，D错误.
故选：ABC.
10．答案：ABD
解析：对于A，，，，为中最大边，且，
，有唯一解，故A正确.
对于B，，，，
，
由正弦定理得
，
，
有唯一解，故B正确.
对于C，，，
由正弦定理得，
当B为锐角时，;当B为钝角时，，
有两个解，故C不正确.
对于D，，，，
由余弦定理得，
有唯一解，故D正确.故选：ABD
11．答案：BC
解析：
12．答案：
解析：设甲、乙两船相距最近时，甲、乙分别行至C、D处，如图所示，则，
设，则，
在中，由余弦定理知，
当时，取得最小值75，即取得最小值，
所以甲、乙两船的最近距离为千米.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为，所以，
所以由，得，于是.
设，则，，
在中，由余弦定理得，
即，解得.
所以，.
在中，由正弦定理得，
故.
14．答案：
解析：在中，，，所以，又，
由正弦定理可得，，即，
解得，
在中，，，，所以，又，
由正弦定理可得，，即，
解得，
又因为，，所以
在中，由正弦定理可得，
即，
所以.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，
根据正弦定理，得.
因为，
所以，
所以.
因为，所以，
所以，则.
（2）由，得.
又由正弦定理得，
所以，解得.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为,,,
所以,解得,
所以线段的长度为.
（2）由（1）知,,在中,
由余弦定理可得,
解得,所以线段的长度为.
（3）由（1）（2）知,,在中,
由正弦定理可得,即,得,
又因为,所以.
在中,由正弦定理可得,即,
得,故的值为.
17．答案：选条件①时问题中的三角形存在，此时；选条件②时问题中的三角形存在，此时；选条件③时问题中的三角形不存在
解析：方案一：选条件①.
由和余弦定理得.
由及正弦定理得.
于是，由此可得.
由①，解得，.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时.
方案二：选条件②.
由和余弦定理得.
由及正弦定理得.
于是，由此可得，，.
由②，所以，.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时.
方案三：选条件③.
由和余弦定理得.
由及正弦定理得.
于是，由此可得.
由③，与矛盾.
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
18．答案：（1）1或3；
（2）
解析：（1）连结，已知点C在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形，
因为，，所以，，
在中由余弦定理，且，
所以，
解得或，
（2）因为，，
所以，
所以，
在中由正弦定理得：
所以，
在中，由正弦定理得：
所以，
若产生最大经济效益，则的面积最大，
，
因为，所以
所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理可得,,
即,
整理得.
因为,所以,
所以,即.
又因为,所以.
由正弦定理,得.
（2）由余弦定理得,
即,所以.
在中,由余弦定理得,
则.
在中,,
所以,
解得.
由AD,BE分别为边BC,AC上的中线可知G为的重心,
可得,.
在中,由余弦定理得,
又因为,所以.
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