第13章 立体几何初步——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试（含解析）

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第13章 立体几何初步——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知圆柱的底面半径为2,母线长为8,过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面,把这个圆柱分成两个几何体,则两几何体的体积之比为( )
A. B. C. D.
2．如图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中与底面的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．直线l与平面不平行,则( )
A.l与相交 B.
C.l与相交或 D.以上结论都不对
4．圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
5．已知三条直线，，满足且，则与( )
A.平行 B.垂直 C.共面 D.异面
6．已知两条不同的直线m l和两个不同的平面，，下列命题是真命题的为( )
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，则 D.若，，则
7．已知某圆台的体积为，其上、下底面圆的面积之比为且周长之和为，则该圆台的高为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8．已知三棱锥中,,,,E,F分别是PA,BC的中点,则EF与AB所成的角大小为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．若空间中经过定点O的三个平面，，两两垂直，过另一定点A作直线l与这三个平面的夹角都为，过定点A作平面和这三个平面所夹的锐二面角都为.记所作直线l的条数为m，所作平面的个数为n，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10．已知长方体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11．用一个平面去截正方体，截面的形状可能是( )
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D.正六边形
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F是棱、的中点，P是底面上（含边界）一动点，满足，则线段长度的最小值为________.
13．如图，圆锥底半径长为1，母线的长为6，B是母线上一点，且，.一个质点从A出发沿圆锥侧面图示路线到达B.若该质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，则的取值范围为________.
14．如图,所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体,在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面,其余各面叫做拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高,现有一拟柱体,上下底面均为正六边形,下底面边长为且上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点,高为,则该拟柱体的表面积为_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是多少？

16．如图，四棱锥的底面是正方形，设平面PAD与平面PBC相交于直线l.
（1）证明：.
（2）若平面平面，，，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值.
17．如图,在直三棱柱中,,,,,则与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
18．在中,,,点D,E分别为边AC,AB的中点,将沿DE折起,使得平面平面BCDE.
（1）求证:；
（2）在平面ACD内是否存在点M,使得平面平面ABD 若存在,指出点M的位置；若不存在,说明理由.
19．如图,在三棱柱中,平面ABC,D,E分别为AC,的中点,,.
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面ABE的距离.
参考答案
1．答案：B
解析：如图示圆柱中,底面半径为,底面直径为,母线长为.
过圆柱底面圆周上一点作与圆柱底面所成角为的平面为一个椭圆面,且.
在直角三角形ABC中,,,所以.
所以C为母线BE的中点,过C作与圆柱底面平行的平面则平分整个圆柱.
在下半个圆柱中,椭圆面截两部分的体积为,
所以椭圆面截整个几何体,所得两部分的体积之比为.
故选:B
2．答案：D
解析：由展开图可得如下直观图,由正方体的性质可知平面,则即为与底面的夹角,
设正方体的棱长为1,则,,
所以,即与底面的夹角的余弦值为.
故选：D.
3．答案：C
解析：由直线与平面的位置关系概念,可得直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交三种位置关系,
因为直线l与平面不平行,所以l与相交或.
故选：C.
4．答案：D
解析：由题意可知：上、下底面的半径分别为1和3，
所以侧面积为.
故选：D.
5．答案：B
解析：若且,根据空间直线垂直的定义,可得,不平行,有可能共面,也有可能异面.故选B.
6．答案：B
解析：两条不同的直线m、l和两个不同的平面，，对于A，若，，则l与相交、平行或，故A错误;
对于B，若，，，则由线面垂直的性质得，故B正确;
对于C，若，，则m与相交、平行或，故C错误;
对于D，若，，则或，故D错误.
故选:B.
7．答案：D
解析：设上、下底面圆的半径分别为r，R，圆台的高为h，则由题意可得解得，
则，解得.故选D.
8．答案：A
解析：取的中点G,连接,,如图,
又E为的中点,所以,,
同理可得,,
又,所以,则为与所成的角,
中,,所以与所成的角为.
故选：A.
9．答案：AD
解析：由题意，将三个两两互相垂直的平面，，放入正方体中，平面，，分别对应平面、平面OBCD、平面，
根据正方体的对称性，体对角线分别与三个平面，，所成角都相等，因为平面平面，所以体对角线分别与三个平面，，所成角都相等，同理体对角线、、分别与三个平面，，所成角都相等，过点A分别作、、、的平行线，则这四条平行线分别与三个平面，，所成角都相等，所以满足题意的直线l有4条，即，故选项A正确；
因为正方体内正四面体的四个平面与正方体的六个平面所夹的锐二面角都相等，所以正四面体的四个平面与平面，，所夹的锐二面角都相等，所以过A分别作与正四面体的四个平面平行的平面即可得到平面，所以满足题意的平面有4个，即，所以，故选项B错误；
连接BD，因为平面OBCD，所以为在平面OBCD上的射影，故为直线与平面OBCD所成角，因为，所以直线l与平面OBCD所成的角为，设正方体棱长为1，则，，所以，即，
所以选项C错误；
设，连接MC，因为平面，平面，所以，又，且，平面，平面，所以平面，平面，所以，则是平面与平面所夹的锐二面角，也是平面和平面所夹的锐二面角，因为，，所以，所以，即，故选项D正确.
故选：AD
10．答案：A
解析：依据题意作出长方体图形如下，连接，，
由长方体性质可得：，
所以就是异面直线和所成角（或补角）.
由已知可得：，，
，
所以.
故选A.
11．答案：ABD
解析：如图所示：截面的形状可能是正三角形（图1），正方形（图2），正六边形（图3）
假设截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边，故截面的形状不可能是正五边形.
故选：ABD.
12．答案：
解析：如图所示：
连接，，易知，，故，
，故平面，故，，
故平面，故P在线段上，故线段长度的最小值为.
故答案为：.
13．答案：
解析：
如图，圆锥侧面展开图中，，，
所以，质点在上运动，
B是母线上一点，作，垂足为M，
则质点从到M的运动过程中，质点到S的距离减小，质点在运动时上升，
质点从M到A的运动过程中，质点到S的距离增大，质点在运动时下降，
当时，质点在运动时上升，此时，
即B是的中点，
当时，质点在运动时一直上升，
所以，即时，质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，由，可得，则，得.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图,上底面正六边形的顶点E,D在下底面上的射影分别为点O,P,则,,
显然,四边形DEOP,为矩形,点O,P是下底面正六边形边的中点,
则,,,
底边DE上的高为h,则,
因此,该拟柱体上底面面积为,
下底面面积为,侧面积为,
所以该拟柱体的表面积为.
故答案为:.
15．答案：
解析：依题意长方体的表面有三种展开方式，如图，
展开后，A，两点间的距离分别为：
，，，
它爬行的最短路程是.
故答案为：.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为，平面，平面PBC，
因为平面PAD与平面PBC相交于l，所以.
（2）如图，取线段AB的中点O，连接PO.
因为，所以.又平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，所以平面.
取线段CD的中点M，连接OM.以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.依题意，，，，，
则，，.
设平面PAD的法向量为，则可取.
设直线PC与平面PAD所成的角为，则，
即直线PC与平面PAD所成角的正弦值为.
17．答案：A
解析：如图,以为坐标原点,,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,
所以,
所以直线与所成角的余弦值为．
故选：A.
18．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）证明:中,且,.
又平面平面BCDE,平面平面,平面BCDE.
又平面BCDE,.
（2）由（1）知,,,.以点E为原点,以EB,ED,EA所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
则,,,,.
,,,
设为平面ABD的一个法向量,则,取,则.
假设在平面ACD内存在点M,使得平面平面ABD.连接AM.
若,则设.设平面AEM的一个法向量为.
由,取,则.
平面ABD的法向量.由知,此情况不成立.
若与不共线,设,连接EN.
设,则.
当,即时,.
又,平面AEN,即平面平面,也即平面平面.
所以在平面ACD内存在点M,当M点在直线AN(点在直线CD上且)上时,
平面平面ABD.
19．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）证明： ,D,E分别为AC,的中点,
,且,又平面,∴平面,
又平面, ,
又,且,,平面,
平面.
（2）,,, ,
,,.
在中,,,边上的高为.
.设点D到平面ABE的距离为d,
根据,得,解得,
所以点D到平面ABE的距离为.
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