第15章 概率——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试（含解析）

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第15章 概率——2024-2025学年高中数学苏教版(2019)必修第二册单元测试
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是( )
A. B. C. D.
2．从混有5件次品的20件产品中依次抽取2件,在第1次抽到次品的条件下,第2次抽到次品的概率为( )
A. B. C. D.
3．已知,,则( )
A. B. C. D.
4．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
5．一个正方体木块的六个面分别标注1,2,3,4,5,6,将它抛掷一次后,已知朝上的点数为奇数.则在此情况下,朝上的点数为5的概率是( )
A. B. C. D.
6．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行.若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为( )
A. B. C. D.
7．任取一个三位正整数n，则是一个正整数的概率为( )
A. B. C. D.
8．质数又称素数,我们把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”,如:3和5,5和7…,在不超过20的正整数中,随机选取两个不同的数,记事件A:这两个数都是素数;事件B:这两个数不是孪生素数,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是( )
A.两件都是一等品的概率是
B.两件中有1件是次品的概率是
C.两件都是正品的概率是
D.两件中至少有1件是一等品的概率是
10．已知事件A，B满足，且，则一定有( )
A. B. C. D.
11．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列结论一定成立的是( )
A.
B.
C.若，则
D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．一个盒子中装有4张卡片,卡片上分别写有数字1,2,3,4,现从盒子中随机抽取卡片,若第一次抽取一张卡片,放回后再抽取1张卡片,则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是______________.
13．小王喜爱逛街和吃火锅.在周末,她下午去逛街的概率为.若她下午去逛街,则晚上一定去吃火锅;若下午不去逛街,则晚上去吃火锅的概率为.已知小王在某个周末晚间去吃火锅,则下午逛街的概率为_______________.
14．甲、乙、丙、丁4人分别到A，B，C，D四所学校实习，每所学校一人，每人去一所学校，在甲不去A校的条件下，乙不去B校的概率是__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,事件A：“两数之和为8”,事件B：“两数之和是3的倍数”,事件C：“两个数均为偶数”.
（1）写出该试验的基本事件空间,并求事件A发生的概率;
（2）求事件B发生的概率;
（3）事件A与事件C至少有一个发生的概率.
16．对某地区2024年第一季度手机品牌使用情况进行调查,市场占有率数据如下：
甲品牌 乙品牌 其他品牌
市场占有率
(1)从所有品牌手机中随机抽取2部,求抽取的2部中至少有一部是甲品牌的概率;
(2)已知所有品牌手机中,甲品牌、乙品牌与其他品牌手机价位不超过4000元的占比分别为,,,从所有品牌手机中随机抽取1部,求该手机价位不超过4000元的概率.
17．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）。
（1）求首次试验结束的概率；
（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率；
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有
如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
18．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
不大于2000元 大于2000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数.
（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率.
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.
19．“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲、乙双方每次做“石头”“剪刀”“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负需继续比赛.假设甲、乙两人都是等可能地做这三种手势.
（1）列举一次比赛时两人做出手势的所有可能情况；
（2）求一次比赛甲取胜的概率，并说明“石头、剪刀、布”这个广为流传的游戏的公平性.
参考答案
1．答案：C
解析：一枚质地均匀的骰子连续抛两次，两次点数共有36种情况，
其中点数之和为8的情况如下：，，，，，
点数之和为9的情况如下：，，，，
点数之和为10的情况如下：，，，
点数之和为11的情况如下：，，
点数之和为12的情况如下：，
故点数之和不小于8的情况共有种，
则点数之和不小于8的概率为.
故选：C
2．答案：D
解析：设第1次抽到次品为事件A,则
设第2次抽到次品为事件B,则
故第1次抽到次品的条件下,第2次抽到次品的概率：.
故选：D.
3．答案：C
解析：因为,,所以.
4．答案：D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，其中这2个数互质的情况有，，，，，，，，，，，，，，共14种.所以这2个数互质的概率.故选D.
5．答案：B
解析：由题意知,向上的点为奇数共有3种可能,分别为.又因为向上的点数为5,所以,故选B.
6．答案：A
解析：由题意，样本点空间为，所以共有12种不同排法，而卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率.故选A.
7．答案：B
解析：易知三位正整数有900个，而使得为正整数的n应是2的正整数幂，显然满足要求的有，，，共3个，所以概率为.故选B.
8．答案：A
解析：在不超过20的正整数中,随机选取两个不同的数有对组合,
在不超过20的正整数中有2,3,5,7,11,13,17,19共8个数,
所以,
所以任取两个素数共有个对组合,
其中是“孪生素数”有,,,共对,
所以这两个数不是孪生素数的共有对,
所以,所以.
故选:A
9．答案：BD
解析：由题意设一等品编号为a，b，二等品编号为c，次品编号为d，从中任取2件的基本情况有，，，，，，共6种.
对于A，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A错误；
对于B，两件中有1件是次品的基本情况有，，，共3种，故两件中有1件是次品的概率，故B正确；
对于C，两件都是正品的基本情况有，，，共3种，故两件都是正品的概率，故C错误；
对于D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有，，，，，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率，故D正确.故选BD.
10．答案：BC
解析：对于A，因为，所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以，若，则，故D错误.
11．答案：CD
解析：A中，若A，B相互独立，则，，显然不一定成立，故A错误；
B中：，故B错误；
C中：若，A，B独立，则，故C正确；
D中：因为且大于0，小于等于1，所以，故D正确；故选CD.
12．答案：
解析：两次抽取的试验的样本空间,共16个,
两次抽取的卡片数字之和大于6的事件,共3个,
所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是.则不大于6的概率为,
故答案为：.
13．答案：
解析：设其周末晚间去吃火锅的概率为,下午去逛街的概率为,
则,,
则.
故答案为：.
14．答案：
解析：由题意，甲不去A校的概率，甲不去A校且乙不去B校的概率为，则在甲不去A校的条件下，乙不去B校的概率.
15．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）
共有36个基本事件,2分
事件A：“两效之和为8”包含的基本事件有：（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）,共5个基本事件,
事件A发生的概率为.
（2）事件B：“两数之和是3的倍数”包含的基本事件有12个,分别为：
（1,2）,（1,5）,（2,1）,（2,4）,（3,3）,（3,6）,（4,2）,（4,5）,（5,1）,（5,4）,（6,3）,（6,6）,
事件B发生的概率.
（3）事件A与事件C至少有一个发生包含的基本事件有11个,分别为：
（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,5）,（4,2）,（4,4）,（4,6）,（5,3）,（6,2）,（6,4）,（6,6）,
∴事件A与事件C至少有一个发生的概率为.
16．答案：(1)0.75
(2)0.39
解析：(1)解法1;随机抽取1部手机,是甲品牌的概率0.5,
抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率.
解法2：随机抽取1部手机,是甲品牌的概率为0.5,
抽取的两部手机至少有一部是甲品牌的概率.
(2)从该地区所有品牌手机中随机抽取1部,
记事件,,分别为“抽取的手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌手机”,
记事件B为“抽取的手机价位不超过4000元”,
则,,,
,,,
所以
,
该手机价位不超过4000元的概率为0.39.
17．答案：(1)
(2)①②方案二中取到红球的概率更大
解析：(1)设试验一次, “取到甲袋”为事件, “取到乙袋”为事件,“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件,
所以试验一次结果为红球的概率为.
(2)①因为，是对立事件,,
所以,
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得 ,
所以方案一中取到红球的概率为
,
方案二中取到红球的概率为,
因为,所以方案二中取到红球的概率更大.
18．答案：（1）400
（2）0.04
（3）见解析
解析：（1）由题知，样本中仅使用A的学生有人，仅使用B的学生有人，
A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有人.
估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为.
（2）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，
则.
（3）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”.
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由（2）知，.
答案示例1：可以认为有变化.理由如下：
比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：
事件E是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.
19．答案：（1）见解析
（2）甲取胜的概率，此游戏对于甲、乙两人公平
解析：（1）一次比赛所有可能出现的结果用树形图表示，如图所示.
（2）由（1）中树形图可知，一次试验可能有9种结果，
记“甲、乙不分胜负”为事件A，“甲取胜”为事件B，“乙取胜”为事件C，
则事件A，B，C各含有3个样本点，则，
由此可见，此游戏对于甲、乙两人公平.
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