2．简谐运动的回复力及能量
1．知道回复力的概念，理解简谐运动的能量。
2．利用守恒观点研究弹簧振子，分析能量转化过程。
3．应用动力学方法和能量转化思想分析弹簧振子回复力特点和能量变化规律。
4．经历探究弹簧振子系统的能量转化过程。
5．培养学生比较、归纳分析问题的思想方法。
知识点一 回复力
1．回复力
(1)定义：当振动质点偏离平衡位置时，受到的一个指向平衡位置的力。
(2)方向：指向平衡位置。
(3)表达式：F＝－kx。
2．简谐运动的动力学特征
做简谐运动的物体受到总是指向平衡位置，且大小与位移成正比的回复力的作用。
公式F＝－kx中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
回复力为零时，物体所受合外力一定为零吗？
提示：不一定。
知识点二 简谐运动的能量转化
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为零。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。 (√)
(2)回复力的方向总是与速度方向相反。 (×)
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零。 (√)
(4)水平弹簧振子做简谐运动时机械能守恒。 (√)
(5)做简谐运动的物体在平衡位置处动能最大，在最大位移处动能最小。 (√)
(6)做简谐运动的物体能量变化的周期等于简谐运动的周期。 (×)
2：填空
如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中回复力方向为______________，大小逐渐______________，动能逐渐______________，势能逐渐______________(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)。
[答案] 负 减小 增大 减小
观察水平弹簧振子的振动。
问题1：如图所示，当把振子从静止的位置O拉开一小段距离到A再放开后，它为什么会在A—O —A′之间振动呢？
问题2：弹簧振子振动时，回复力与位移有什么关系呢？
提示：1．当振子离开平衡位置后，振子受到总是指向平衡位置的回复力作用，这样振子就能不断地振动下去。
2．振子的回复力跟其偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。
考点1 简谐运动的回复力
1．回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供。如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力。
甲 乙 丙
2．简谐运动的回复力的特点
(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的相对平衡位置位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
名师点睛：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
【典例1】 一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是_______________________________；
(2)该小球的振动是否为简谐运动？
[解析] (1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力。
(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg ①
当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h) ②
将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动。
[答案] (1)弹力和重力的合力 (2)是简谐运动
判断是否为简谐运动的方法
(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析。
(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力。
(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动。
[跟进训练]
1．(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，下列说法正确的是( )
A．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．弹簧振子由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．弹簧振子由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置
AD [回复力是根据力的效果命名的，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力提供的，在此情境中弹簧振子受重力、支持力和弹簧弹力的作用，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，弹簧振子由A向O运动的过程中位移在减小，则在此过程中回复力逐渐减小，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故D正确。]
考点2 简谐运动的能量
1．简谐运动的能量
做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和，称为简谐运动的能量。
2．对简谐运动的能量的理解注意以下几点
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定。
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得。
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。
理想化模型 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力。 (2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗。
3．决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，振动的机械能越大；振幅越小，振动越弱，振动的机械能越小。
名师点睛：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
【典例2】 如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
(1)简谐运动的能量取决于______________，振子振动时动能和______________相互转化，总机械能______________。
(2)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是______________。
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
[解析] (1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，C正确，D错误。
[答案] (1)振幅 弹性势能 守恒 (2)AC
分析简谐运动中能量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的势能均增大，动能均减小；反之，则产生相反的变化。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的对称性。位移相同时，动能相同、势能相同。
[跟进训练]
2． (多选)弹簧振子在水平方向做简谐运动，下列说法中正确的是( )
A．振子在平衡位置时，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
ABD [振子在平衡位置两侧做往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧形变量最大，势能最大，B正确；在任意时刻，只有弹簧的弹力做功，所以动能和势能之和保持不变，D正确；振子在平衡位置时速度达到最大值，动能最大，势能最小，A正确；振幅的大小与振子的位置无关，C错误。]
1．(多选)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐减小
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
BD [该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析。当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移大小成正比，故回复力也减小；由牛顿第二定律a＝可知加速度也减小；振子向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，即加速度与速度方向一致，故振子的速度逐渐增大。故正确答案为BD。]
2．(多选)一弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，在t＝3.2 s时，振子的( )
A．速度正在增大，加速度沿正方向且正在减小
B．速度正在减小，回复力沿负方向且正在增大
C．动能正在转化为势能
D．势能正在转化为动能
BC [当t＝3.2 s时振子正在向最大位移处运动，位移为正，速度正在减小，加速度和回复力沿负方向且正在增大，振子动能减小，弹簧弹性势能增大，动能正在转化为势能，BC正确，AD错误。]
3．(新情境题，以钓鱼的鱼漂为背景，考查简谐运动的回复力)如图为某鱼漂的示意图，鱼漂上部可视为圆柱体。当鱼漂受到微小扰动而上下振动，某钓友发现鱼漂向下运动时圆柱体上的M点恰好可以到达水面，向上运动时圆柱体上的N点恰好可以露出水面。忽略水的阻力和水面波动影响，则( )
A．鱼漂的振动为简谐运动
B．鱼漂振动过程中机械能守恒
C．M点到达水面时，鱼漂的动能最大
D．N点到达水面时，鱼漂的加速度最小
A [设鱼漂静止时水下部分的长度为x0，根据平衡条件得mg＝ρSx0g，取向下为正方向，鱼漂从平衡位置再向下位移为x时，鱼漂的合力为F＝mg－ρgS(x0＋x)，解得F＝－ρgSx，设k＝ρgS，则有F＝－kx，鱼漂的振动为简谐运动，A正确；鱼漂振动过程中水的浮力做功，所以鱼漂的机械能不守恒，B错误；M点到达水面时，鱼漂位于最低点，鱼漂的动能最小等于零，C错误；N点到达水面时，鱼漂位于最高点，相对于平衡位置的位移最大，合力最大，鱼漂的加速度最大，D错误。故选A。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
提示：回复力是效果力，作用是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？
提示：守恒。
课时分层作业(七) 简谐运动的回复力及能量
?题组一 简谐运动的回复力
1．在某电影中有一种地心车，无需额外动力就可以让人在几十分钟内到达地球的另一端，不考虑地球自转的影响、车与轨道及空气之间的摩擦，乘客和车的运动为简谐运动，则( )
A．乘客达到地心时的速度最大，加速度最大
B．乘客只有在地心处才处于完全失重状态
C．乘客在地心处所受的回复力最小
D．乘客所受地球的万有引力大小与到地心的距离的平方成反比
C [乘客做简谐运动，地心是简谐运动的平衡位置，此时回复力最小为零，乘客到达地心即到达平衡位置时速度最大，加速度最小为零，故A错误，C正确；乘客在驶向地心的过程中全程处于完全失重状态，故B错误；地心是简谐运动的平衡位置，乘客做简谐运动，万有引力提供回复力，回复力与相对于平衡位置的位移大小即相对于地心的距离成正比，即乘客所受地球的万有引力大小与到地心的距离的成正比，故D错误。故选C。]
2．如图所示，能正确反映做简谐运动的物体所受回复力与位移关系的图像是( )
A B C D
B [由F＝－kx可知，回复力F与位移大小x成正比，方向与位移方向相反，故B正确。]
3．(多选)如图甲所示的弹簧振子做简谐运动，从某一时刻开始计时，规定竖直向上为正方向，弹簧对小球的弹力与运动时间的关系如图乙所示，重力加速度为g，根据图像所给的信息分析，下列说法正确的是( )
A．图乙从小球处在平衡位置开始计时
B．小球的质量为
C．简谐运动的周期为t0
D．弹簧对小球弹力的最小值为2F1－F2
CD [当弹力最大时，小球处在最低点，则题图乙从小球处在最低点开始计时，故A错误；由F-t图像的上下对称性可得，小球处在平衡位置时，弹簧的弹力为F1，由回复力为0，可得F1＝mg，解得小球的质量m为，故B错误；由F-t图像的左右周期性可得T＝t0，解得简谐运动的周期T为t0，故C正确；设小球在最高点时，弹簧对小球的最小弹力为Fmin，由弹簧振子的回复力(合力)在最低点、最高点等大反向可得F2－mg＝mg－Fmin，结合F1＝mg，解得Fmin＝2F1－F2，故D正确。故选C、D。]
?题组二 简谐运动的能量
4．(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大
C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功
D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加
AB [小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D错误。]
5．如图甲所示是一个浮漂改装而成的浮力振子，振子上的刻度表示振子受到的浮力大小，某次在平静水面的振动中振子所受浮力F随时间t变化如图乙所示，则( )
A．振子重力大小为F2
B．振子做简谐运动的最大回复力是F1
C．振子在0.5 s时的动能最大
D．从0到0.5 s的过程中，振子向下运动
A [由题图乙可知，振子重力大小为F2，选项A正确；振子做简谐运动的最大回复力是F1－F2，选项B错误；振子在0.5 s时振子受浮力最小，则振子在最高点，此时速度为零，动能最小，选项C错误；从0到0.5 s的过程中，振子从浮力最大位置向浮力最小位置振动，即振子向上运动，选项D错误。故选A。]
6．(多选)光滑斜面上有一物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住并静止于O点，如图所示，现将A沿斜面拉到B点无初速释放，物块A在B、C之间做简谐运动，则下列说法正确的是( )
A．物块A在运动过程中机械能守恒
B．物块A在C点时弹簧的弹性势能最小
C．物块A在C点时系统的势能最大，在O点时系统的势能最小
D．物块A在B点时机械能最小
CD [在运动过程中，物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，由于弹簧的弹性势能是变化的，故物块A的机械能不守恒，A错误；当物块A被平行于斜面的轻质弹簧拉住并静止于O点时，物块A受到弹簧沿斜面向上的弹力，弹簧处于伸长状态，结合简谐运动的对称性可知，物块A在B点时弹簧的伸长量一定最大，而物块A在C点时，弹簧可能处于原长状态，也可能处于压缩状态或伸长状态，可知在C点时，弹簧的弹性势能不一定最小，故B错误；物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块A在C点时，动能为零，故物块A与弹簧构成的系统的势能(重力势能和弹性势能之和)最大，在O点时，动能最大，故势能最小，C正确；物块A和弹簧组成的系统的机械能守恒，物块A在B点时，弹簧的伸长量最大，弹簧的弹性势能最大，物块A的机械能最小，故D正确。]
?题组三 简谐运动的综合应用
7．如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，运动过程中A、B之间无相对运动。设弹簧的劲度系数为k。当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )
A．0 B．kx
C．kx D．kx
D [A、B整体做简谐运动，则对整体有，回复力F＝－kx，则整体的加速度a＝。对于物体A，由牛顿第二定律可知，受到的摩擦力f＝ma＝－kx。D正确。]
8．(多选)如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平面上，上端连一质量为M的物块A，A的上面置一质量为m的物块B，系统可在竖直方向做简谐运动，则( )
A．当振动到最低点时，B对A的压力最大
B．当振动到最高点时，B对A的压力最小
C．当向上振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
D．当向下振动经过平衡位置时，B对A的压力最大
AB [当系统做简谐运动时，A、B均做简谐运动，B做简谐运动的回复力由B的重力和A对B的支持力的合力提供，要判断B对A的压力大小，根据牛顿第三定律可知，只要判断出A对B支持力的大小即可。设最大加速度为am，根据简谐运动的对称性可知，在最高点和最低点加速度的大小都是am，最高点时am向下，最低点时am向上，在经平衡位置时a＝0。对于B物体，由牛顿第二定律可得，在最高点时有mg－F高＝mam，得F高＝mg－mam，在最低点时有F低－mg＝mam，得F低＝mg＋mam。在经过平衡位置时有F平－mg＝0，即F平＝mg，可知F低＞F平＞F高。因此可知在最高点时B对A的压力最小，在最低点时B对A的压力最大。故A、B正确。]
9．如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1与k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球，开始时，两弹簧均处于原长，然后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球在水平面上做往复运动，试问：小球是否做简谐运动？
[解析] 以小球为研究对象进行受力分析，小球在竖直方向处于受力平衡状态，水平方向受到两根弹簧的弹力作用。设小球位于平衡位置左方某处时，偏离平衡位置的位移为x。
左方弹簧受压，对小球的弹力大小为
F1＝k1x，方向向右
右方弹簧被拉，对小球的弹力大小为
F2＝k2x，方向向右
小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其大小为F＝F1＋F2＝(k1＋k2)x，方向向右
令k＝k1＋k2
上式可写成F＝kx
由于小球所受回复力的方向与位移x的方向相反，考虑方向后，上式可表示为F＝－kx。
所以小球将在两根弹簧的作用下，在水平面内做简谐运动。
[答案] 是
1．(多选)如图所示为一款近期火爆的玩具“弹簧小人”，由头部、弹簧及底部组成，头部质量为m，弹簧质量不计，劲度系数为k，底部质量为，开始弹簧小人静止于桌面上，现轻压头部后由静止释放，小人不停上下振动，已知当弹簧形变量为x时，其弹性势能Ep＝kx2，不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，弹簧始终在弹性限度内，则下列判断中正确的是( )
A．若刚释放时头部的加速度大小为g，则小人在振动过程中底部能离开桌面
B．若刚释放时头部的加速度大小为g，则小人在运动过程中头部的最大速度为g
C．若小人在振动过程中底部恰好不能离开桌面，头部在最高点的加速度为g
D．若小人在振动过程中底部恰好不能离开桌面，则轻压头部释放时弹簧的压缩量为
BC [设头部在初始位置时弹簧的压缩量为x0，对头部列平衡方程可得mg＝kx0，施加力F后弹簧再压缩x，头部的平衡方程为F＋mg＝k(x0＋x)，若刚释放时头部的加速度大小为g，根据牛顿第二定律得k(x0＋x)－mg＝mg，则F＝mg，联立可得kx＝mg，撤去力F的瞬间，头部所受的回复力为F回＝k(x0＋x)－mg＝kx，当头部向上运动到距离初始位置上方x处时，由对称性知F回＝kx，而kx＝mg，可见头部所受弹簧弹力恰好是零，以底部为研究对象，受力分析知地面对底部的支持力为N＝g，因此小人在振动过程中底部不能离开桌面，A错误；刚释放时弹簧的形变量为x1＝，弹簧振子在平衡位置时的动能最大，根据能量守恒得Ekm＝＝，此时头部的动能为Ekm＝，解得小人在运动过程中头部的最大速度为g，B正确；若小人在振动过程中底部恰好不能离开桌面，即当头部在最高点时，底部受到桌面的弹力为0，受力分析得弹簧此时的弹力等于底部的重力，kx2＝mg，此时对头部受力分析，根据牛顿第二定律有mg＋kx2＝ma，故头部在最高点的加速度为g，C正确；若小人在振动过程中底部恰好不能离开桌面，开始施加力F′后弹簧再压缩x′，头部的平衡方程为F′＋mg＝k(x0＋x′)，由对称性可知F′＝ma＝mg，则轻压头部释放时弹簧的压缩量为Δx＝x0＋x′＝，D错误。故选BC。]
2．某同学用如图所示装置探究匀速圆周运动与简谐运动间的关系。长为L的轻质细线一端与质量为m的小球连接，另一端固定在光滑水平面上的O点，在水平面上合适位置竖直放置一光屏。先将小球移到使细线伸直且与光屏平行的位置，t＝0时刻给小球一个沿水平面垂直于细线的初速度v0，使小球在水平面内做匀速圆周运动；与此同时，用一束平行光垂直光屏照射，小球在光屏上的影子做往复运动，关于小球影子的运动，下列说法正确的是( )
A．小球的影子做简谐运动的振幅为2L
B．小球的影子做简谐运动的频率为f＝
C．小球的影子做简谐运动的运动学方程为x＝L sin t
D．小球的影子做简谐运动的虚拟回复力为F＝x
D [由题图可知，小球的影子做简谐运动的振幅等于细线的长度L，故A错误；由题可知，小球的影子做简谐运动的周期等于小球做匀速圆周运动的周期，则有T＝，则频率为f＝＝，故B错误；设小球的影子做简谐运动的运动学方程为x＝A cos ωt，由题知A＝L，ω＝，则有x＝L cos t，故C错误；设当球转到图中B点时OB与OO′的夹角为α，B点在光屏的投影点B′与O′的距离为x，则在B点有FT＝，将拉力分解，可知拉力平行光屏方向的分力为F＝FT sin α，由几何关系可知sin α＝，联立解得F＝x，又根据简谐运动的特点可知，回复力与位移方向相反，则小球的影子做简谐运动的虚拟回复力为F＝x，故D正确。故选D。
]
3．如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子， 该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0。当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A______________A0(选填“＞”“＜”或“＝”)，T______________T0(选填“＞”“＜”或“＝”)。
[解析] 弹簧振子通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大。向右通过平衡位置，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动，两者分离。小物块a与弹簧组成的系统的机械能小于原来系统的机械能，所以小物块a振动的振幅减小，A＜A0。由于振子质量减小，小物块a的加速度的大小增大，所以周期减小，T＜T0。
[答案] ＜ ＜
4．如图所示，劲度系数为k＝100 N/m的足够长竖直轻弹簧，一端固定在地面上，另一端与质量m＝1 kg的物体A相连，质量M＝2 kg的物体B与物体A用跨过光滑定滑轮的轻绳相连，整个系统静止，A、B等高。剪断轻绳，A在竖直方向做简谐运动，B做自由落体运动。已知弹簧振子的周期公式为T＝2π(m为振子质量，K为回复力与位移的比例系数，本题中K等于弹簧的劲度系数k)，重力加速度g取10 m/s2求：
(1)剪断轻绳瞬间，物体A的加速度大小a；
(2)物体A从最高点第一次到最低点的时间t；
(3)物体A做简谐运动过程中的最大动能Ek。
[解析] (1)当系统静止时，有
T＝Mg
T＝mg＋kx1
则剪断轻绳时，由牛顿第二定律可知
mg＋kx1＝ma
联立解得
x1＝0.1 m，a＝20 m/s2。
(2)弹簧振子的周期公式为
T＝2π＝ s
第一次运动到最低点所用的时间为半个周期，即
t＝0.5T＝ s。
(3)剪断绳子时，物体A速度为零，位于简谐运动的最高点，当弹簧弹力等于A的重力时，A位于简谐运动的平衡位置，设此时弹簧的压缩量为x2，则
kx2＝mAg
振幅为x＝x1＋x2
联立可得x2＝0.1 m，x＝0.2 m
物体A在整个运动过程中，在平衡位置处动能最大，弹簧在平衡位置时的形变量与在最高点时的形变量相等，即弹性势能相等，则由功能关系得
Ek＝mgx＝2 J。
[答案] (1)20 m/s2 (2) s (3)2 J
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2．简谐运动的回复力及能量
第二章 机械运动
学习任务
1．知道回复力的概念，理解简谐运动的能量。
2．利用守恒观点研究弹簧振子，分析能量转化过程。
3．应用动力学方法和能量转化思想分析弹簧振子回复力特点和能量变化规律。
4．经历探究弹簧振子系统的能量转化过程。
5．培养学生比较、归纳分析问题的思想方法。
必备知识·自主预习储备
知识点一 回复力
1．回复力
(1)定义：当振动质点偏离平衡位置时，受到的一个指向__________的力。
(2)方向：指向__________。
(3)表达式：F＝______。
平衡位置
平衡位置
－kx
2．简谐运动的动力学特征
做简谐运动的物体受到总是指向__________，且大小与位移成正比的回复力的作用。
平衡位置
提醒 公式F＝－kx中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关。
思考 回复力为零时，物体所受合外力一定为零吗？
提示：不一定。
知识点二 简谐运动的能量转化
1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系
弹簧振子运动的过程就是______和______互相转化的过程。
(1)在最大位移处，______最大，______为零。
(2)在平衡位置处，______最大，______为零。
2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能______，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种________的模型。
动能
势能
势能
动能
动能
势能
守恒
理想化
体验 1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。 ( )
(2)回复力的方向总是与速度方向相反。 ( )
(3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零。 ( )
(4)水平弹簧振子做简谐运动时机械能守恒。 ( )
(5)做简谐运动的物体在平衡位置处动能最大，在最大位移处动能最小。 ( )
(6)做简谐运动的物体能量变化的周期等于简谐运动的周期。 ( )
√
×
√
√
√
×
2：填空
如图所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中回复力方向为______，大小逐渐______，动能逐渐_______，势能逐渐______(均选填“正”“负”“增大”或“减小”)。
负
减小
增大
减小
关键能力·情境探究达成
观察水平弹簧振子的振动。
问题1：如图所示，当把振子从静止的位置O拉开一小段距离到A再放开后，它为什么会在A—O —A′之间振动呢？
问题2：弹簧振子振动时，回复力与位移有什么关系呢？
提示：1．当振子离开平衡位置后，振子受到总是指向平衡位置的回复力作用，这样振子就能不断地振动下去。
2．振子的回复力跟其偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。
考点1 简谐运动的回复力
1．回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供。如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力。
甲 乙 丙
名师点睛：因x＝A sin (ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kA sin (ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
【典例1】 一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示。
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是___________________；
(2)该小球的振动是否为简谐运动？
弹力和重力的合力
[答案] 是简谐运动
[解析] (1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力。
(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg ①
当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h) ②
将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动。
[跟进训练]
1．(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆
上的A、B两点之间做往复运动，下列说法正
确的是( )
√
A．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C．弹簧振子由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大
D．弹簧振子由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置
√
AD [回复力是根据力的效果命名的，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力提供的，在此情境中弹簧振子受重力、支持力和弹簧弹力的作用，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，弹簧振子由A向O运动的过程中位移在减小，则在此过程中回复力逐渐减小，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故D正确。]
考点2 简谐运动的能量
1．简谐运动的能量
做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和，称为简谐运动的能量。
2．对简谐运动的能量的理解注意以下几点
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定。
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得。
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。
理想化模型 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力。
(2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗。
3．决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，振动的机械能越大；振幅越小，振动越弱，振动的机械能越小。
名师点睛：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。
【典例2】 如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
(1)简谐运动的能量取决于_______，振子振动时动能和_________相互转化，总机械能_______。
振幅
弹性势能
守恒
(2)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动而一起运动，下列说法正确的是______。
A．振幅不变 B．振幅减小
C．最大动能不变 D．最大动能减小
AC
[解析] (1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)振子运动到B点时速度恰为零，此时放上m，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，A正确，B错误；由于机械能守恒，所以最大动能不变，C正确，D错误。
规律方法 分析简谐运动中能量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点的势能均增大，动能均减小；反之，则产生相反的变化。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的对称性。位移相同时，动能相同、势能相同。
[跟进训练]
2． (多选)弹簧振子在水平方向做简谐运动，下列说法中正确的是
( )
A．振子在平衡位置时，动能最大，势能最小
B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小
C．振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变
√
√
√
ABD [振子在平衡位置两侧做往复运动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧形变量最大，势能最大，B正确；在任意时刻，只有弹簧的弹力做功，所以动能和势能之和保持不变，D正确；振子在平衡位置时速度达到最大值，动能最大，势能最小，A正确；振幅的大小与振子的位置无关，C错误。]
学习效果·随堂评估自测
1．(多选)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子的位移逐渐减小
C．振子的速度逐渐减小
D．振子的加速度逐渐减小
√
√
2．(多选)一弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，在t＝3.2 s时，振子的( )
A．速度正在增大，加速度沿正方向且正在减小
B．速度正在减小，回复力沿负方向且正在增大
C．动能正在转化为势能
D．势能正在转化为动能
√
√
BC [当t＝3.2 s时振子正在向最大位移处运动，位移为正，速度正在减小，加速度和回复力沿负方向且正在增大，振子动能减小，弹簧弹性势能增大，动能正在转化为势能，BC正确，AD错误。]
3．(新情境题，以钓鱼的鱼漂为背景，考查简谐运动的回复力)如图为某鱼漂的示意图，鱼漂上部可视为圆柱体。当鱼漂受到微小扰动而上下振动，某钓友发现鱼漂向下运动时圆柱体上的M点恰好可以到达水面，向上运动时圆柱体上的N点恰好可以露出水面。忽略水的阻力和水面波动影响，则( )
√
A．鱼漂的振动为简谐运动
B．鱼漂振动过程中机械能守恒
C．M点到达水面时，鱼漂的动能最大
D．N点到达水面时，鱼漂的加速度最小
A [设鱼漂静止时水下部分的长度为x0，根据平衡条件得mg＝ρSx0g，取向下为正方向，鱼漂从平衡位置再向下位移为x时，鱼漂的合力为F＝mg－ρgS(x0＋x)，解得F＝－ρgSx，设k＝ρgS，则有F＝－kx，鱼漂的振动为简谐运动，A正确；鱼漂振动过程中水的浮力做功，所以鱼漂的机械能不守恒，B错误；M点到达水面时，鱼漂位于最低点，鱼漂的动能最小等于零，C错误；N点到达水面时，鱼漂位于最高点，相对于平衡位置的位移最大，合力最大，鱼漂的加速度最大，D错误。故选A。]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．简谐运动的回复力有什么特点？
提示：回复力是效果力，作用是使物体回到平衡位置，大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
2．对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由什么决定？
提示：振幅，振幅越大，能量越大。
3．简谐运动的弹簧振子系统机械能是否守恒？
提示：守恒。
