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5．阻尼振动 受迫振动
第二章 机械运动
学习任务
1．知道阻尼振动、驱动力、受迫振动、共振等物理概念。
2．通过实例知道受迫振动的频率由驱动力的频率决定。
3．通过实例知道共振的条件，认识共振曲线。
4．经历共振条件探究的过程，进一步理解共振现象。
5．通过实例分析体会振动与生活、生产的关系，培养学以致用的意识。
必备知识·自主预习储备
知识点一 阻尼振动
1．自由振动
系统不受外力作用，只在自身________作用下的振动。__________的频率叫作系统的固有频率，固有频率由________________决定。
2．无阻尼振动
理想情况下振幅__________的振动。
回复力
自由振动
系统本身的特征
保持不变
3．阻尼振动
(1)阻尼振动
______逐渐变小，振动能量逐步转变为其他能量的振动。阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
振幅
(2)振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到______阻力作用，机械能逐渐转化为______。
②振动系统引起邻近介质中各______的振动，能量向外辐射出去。
摩擦
思考 阻尼振动的频率随振幅改变吗？
提示：不改变。
内能
质点
知识点二 受迫振动 共振
1．受迫振动
(1)驱动力：作用于振动系统的________的外力。
(2)受迫振动：振动系统在________作用下的振动。
(3)受迫振动的频率：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动频率等于________的频率，与物体的__________无关。
周期性
驱动力
驱动力
固有频率
2．共振
(1)定义：当驱动力的频率______固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到________的现象。
(2)条件：驱动力频率______物体的固有频率。
(3)特征：共振时受迫振动的______最大。
(4)共振曲线：如图所示。表示受迫振动的_______与_____________的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
等于
最大值
等于
振幅
振幅A
驱动力频率f
3．共振的应用和防止
在需要利用共振时，应使驱动力的频率______或______振动系统的固有频率，例如共振筛；在需要防止共振时，应使驱动力的频率______振动系统的固有频率。
接近
等于
远离
体验 1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)固有频率由系统本身决定。 ( )
(2)阻尼振动的频率不断减小。 ( )
(3)阻尼振动的振幅不断减小。 ( )
(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率。 ( )
(5)驱动力频率越大，振幅越大。 ( )
(6)共振只有害处没有好处。 ( )
(7)做受迫振动的物体一定会发生共振。 ( )
√
×
√
×
×
×
×
2：填空
A、B两个弹簧振子，A的固有频率为f，B的固有频率为4f，若它们均在频率为f的驱动力作用下做受迫振动，则_______的振幅较大，A的振动频率是_________，B的振动频率是______。
A
f
f
关键能力·情境探究达成
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，匀速摇动手柄，下面的弹簧振子就会振动起来。实际动手做一下，然后回答以下几个问题。
(1)如果手柄不动而用手拉动一下振子，从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动？从有没有系统外力作用角度看弹簧振子的振动属于什么振动？
(2)用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子的振动有何不同？这能说明什么问题？
提示：(1)阻尼振动 自由振动
(2)转速大时弹簧振子振动得快，说明弹簧振子振动的周期和频率由手柄转速决定。
考点1 简谐运动、阻尼振动和受迫振动
1．三种振动的认识
(1)简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑。
(2)阻尼振动考虑阻力的影响，是更实际的一种运动。
(3)受迫振动是物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动。
2．三者对比列表：
振动类型
比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱
动力作用
频率 固有频率 频率不变 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动类型
比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
振动图像
形状不确定
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱 扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
角度1 阻尼振动的理解
【典例1】 如图是摆球做阻尼振动的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期变大
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
√
C [阻尼振动中，摆球的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，A、B错误；因A、B两时刻的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确；由于振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误。故选C。]
角度2 受迫振动
【典例2】 如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，而让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定时，它振动的周期为( )
A．0.5 s B．0.25 s
C．2 s D．4 s
√
规律方法 理解阻尼振动和受迫振动的三点注意
(1)阻尼振动的特点：振幅不断减小，机械能逐渐减少(不守恒)，但周期(或频率)并不变。
(2)受迫振动的周期和频率由驱动力的周期和频率决定，与振动物体自身的固有周期和固有频率无关。
(3)受迫振动的振幅大小与驱动力的周期和频率有关：
①驱动力的频率与振动物体的固有频率越接近，受迫振动的振幅就越大，当两者相等时，振动物体受迫振动的振幅最大；②两者相差越大，受迫振动的振幅就越小。
[跟进训练]
1．(角度1)(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．摆球在M时刻的动能等于N时刻的动能
B．摆球在M时刻的势能等于N时刻的势能
C．摆球在M时刻的机械能等于N时刻的机械能
D．摆球在M时刻的机械能大于N时刻的机械能
√
√
BD [单摆做阻尼振动，因此摆球机械能不断减少，D正确，C错误；由题图又看出M、N两时刻单摆的位移相同，即在同一位置，摆球势能相同，B正确；因摆球机械能越来越小，所以摆球在N时刻动能比M时刻动能小，A错误。]
2．(角度2)(多选)如图所示的装置可用于研究弹簧振子的受迫振动，砝码和轻弹簧构成弹簧振子。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子一驱动力，使振子做受迫振动，把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图像如图甲所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图像如图乙所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅。则
( )
A．由图线可知T0＝4 s
B．由图线可知T0＝8 s
C．当T在4 s附近时，y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，y很小
D．当T在8 s附近时，y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，y很小
√
√
AC [若保持把手不动，砝码以一定的初速度做简谐运动，这时为自由振动，题图甲为砝码的自由振动图像，由题图甲读出固有周期为T0＝4 s，B错误，A正确；当把手以某一速度匀速转动时，砝码做受迫振动，此时砝码振动的周期T等于驱动力的周期，题图乙为砝码做受迫振动的图像，由题图乙读出驱动力周期为T＝8 s，当驱动力的周期越靠近砝码的固有周期时，砝码的振动越强烈，振幅越大，当驱动力的周期越远离砝码的固有周期时，砝码的振动越弱，振幅越小，D错误，C正确。故选AC。]
考点2 对共振的理解
1．共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f固。
2．共振曲线
如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅。
(1)从受力角度看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，直到振幅达到最大。
(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。振动能量最大，振幅最大。
(3)认识曲线的形状：f＝f0时发生共振；f>f0或f特别提醒 (1)应用共振应尽量使驱动力的频率接近固有频率。
(2)防止共振要尽量使驱动力的频率与固有频率间的差距增大。
【典例3】 (多选)如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则稳定后( )
A．其他各摆振动周期跟A摆相同
B．其他各摆振动的振幅大小相等
C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大
D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小
√
√
√
思路点拨：解答本题关键把握两点：
(1)5个单摆中，由A摆摆动从而带动其他4个单摆做受迫振动，则受迫振动的频率等于A摆摆动的频率。
(2)做受迫振动的单摆的固有频率等于驱动力的频率时出现共振且振幅最大。
规律方法 对共振现象的两点说明
(1)从受力角度来看：驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用时间就越大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的全部作用时间都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
(2)从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大。当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，从而振幅达到最大。
[跟进训练]
3．(多选)如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时振幅与驱动力频率之间的关系图像，由图可知( )
A．让振子自由振动，它的频率可以为f1、f2、f3
B．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态
C．驱动力频率为f3时，振子的振动频率为f3
D．假如让振子自由振动，它的频率是f2
√
√
√
BCD [由题意可知，当驱动力的频率变化时，做受迫振动的弹簧振子的振幅在变化，当驱动力频率为f2时，弹簧振子发生共振，受迫振动的振幅最大，B正确；弹簧振子做受迫振动的频率等于驱动力的频率，C正确；假如让振子自由振动，其频率为固有频率，由系统本身决定，应为f2，故A错误，D正确。]
学习效果·随堂评估自测
1．下列振动中属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．电磁打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动
D．不受外力的弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
√
B [受到敲击后的钟不再受驱动力，其振动是自由振动，A错误；电磁打点计时器接通电源后，振针的振动受电源的驱动，属于受迫振动，B正确；小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动属于自由振动，C错误；不受外力的弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动，属于自由振动，D错误。]
2．(多选)单摆在空气中做阻尼振动，下列说法正确的是( )
A．振动的能量逐渐转化为其他形式的能量
B．后一时刻摆球的动能一定比前一时刻小
C．后一时刻摆球的势能一定比前一时刻小
D．后一时刻摆球的机械能一定能比前一时刻小
√
√
AD [阻力不能忽略的情况下，要克服阻力做功，振动的能量在逐渐转化为其他形式的能量，A正确；单摆的动能是变化的，向下摆动时动能增大，向上摆动时动能减小，所以后一时刻摆球的动能不一定比前一时刻的动能小，故B错误；后一时刻摆球的势能不一定比前一时刻的势能小，比如从最低点向最高点摆动时，C错误；阻尼振动中机械能不断减小，故后一时刻摆球的机械能一定比前一时刻的机械能小，D正确。]
3．(新情境题，以小提琴的原理为背景，考查受迫振动)弦乐器小提琴是由两端固定的琴弦产生振动而发音的，如图甲所示。为了研究同一根琴弦振动频率与哪些因素有关，可利用图乙所示的实验装置，一块厚木板上有A、B两个楔支撑着琴弦，其中A楔固定，B楔可沿木板移动来改变琴弦振动部分的长度，将琴弦的末端固定在木板O点，另一端通过滑轮接上砝码以提供一定拉力，轻轻拨动琴弦，在AB间产生振动(不计摩擦)。
甲 乙
(1)先保持拉力为150 N不变，改变AB的距离L(即改变琴弦长度)，测出不同长度时琴弦振动的频率，记录结果如表1所示。
表1
长度L/m 1.00 0.85 0.70 0.55 0.40
振动频率f/Hz 150 176 214 273 375
从表1数据可判断在拉力不变时，琴弦振动的频率f与弦长L的关系为____________________。
频率f与弦长L成反比
(2)保持琴弦长度为0.80 m不变，改变拉力，测出不同拉力时琴弦振动的频率，记录结果如表2所示。
表2
拉力大小F/N 360 300 240 180 120
振动频率f/Hz 290 265 237 205 168
从表2数据可判断在琴弦长度不变时，琴弦振动的频率f与拉力F的关系为___________________________________。
频率f与拉力F的算术平方根成正比
1.00 1.18 1.43 1.82 2.50
振动频率f/Hz 150 176 214 273 375
19.0 17.3 15.5 13.4 11.0
振动频率f/Hz 290 265 237 205 168
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．做阻尼振动的物体，振幅和频率有什么特点？
提示：振幅逐渐减小，频率保持不变。
2．做受迫振动的物体，其频率由什么决定？
提示：频率由驱动力的频率决定。
3．物体发生共振的条件是什么？
提示：驱动力的频率等于物体的固有频率。5．阻尼振动 受迫振动
1．知道阻尼振动、驱动力、受迫振动、共振等物理概念。
2．通过实例知道受迫振动的频率由驱动力的频率决定。
3．通过实例知道共振的条件，认识共振曲线。
4．经历共振条件探究的过程，进一步理解共振现象。
5．通过实例分析体会振动与生活、生产的关系，培养学以致用的意识。
知识点一 阻尼振动
1．自由振动
系统不受外力作用，只在自身回复力作用下的振动。自由振动的频率叫作系统的固有频率，固有频率由系统本身的特征决定。
2．无阻尼振动
理想情况下振幅保持不变的振动。
3．阻尼振动
(1)阻尼振动
振幅逐渐变小，振动能量逐步转变为其他能量的振动。阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
(2)振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。
②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向外辐射出去。
阻尼振动的频率随振幅改变吗？
提示：不改变。
知识点二 受迫振动 共振
1．受迫振动
(1)驱动力：作用于振动系统的周期性的外力。
(2)受迫振动：振动系统在驱动力作用下的振动。
(3)受迫振动的频率：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
2．共振
(1)定义：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大值的现象。
(2)条件：驱动力频率等于物体的固有频率。
(3)特征：共振时受迫振动的振幅最大。
(4)共振曲线：如图所示。表示受迫振动的振幅A与驱动力频率f的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
3．共振的应用和防止
在需要利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于振动系统的固有频率，例如共振筛；在需要防止共振时，应使驱动力的频率远离振动系统的固有频率。
1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)固有频率由系统本身决定。 (√)
(2)阻尼振动的频率不断减小。 (×)
(3)阻尼振动的振幅不断减小。 (√)
(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率。 (×)
(5)驱动力频率越大，振幅越大。 (×)
(6)共振只有害处没有好处。 (×)
(7)做受迫振动的物体一定会发生共振。 (×)
2：填空
A、B两个弹簧振子，A的固有频率为f，B的固有频率为4f，若它们均在频率为f的驱动力作用下做受迫振动，则______________的振幅较大，A的振动频率是______________，B的振动频率是______________。
[答案] A f f
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，匀速摇动手柄，下面的弹簧振子就会振动起来。实际动手做一下，然后回答以下几个问题。
(1)如果手柄不动而用手拉动一下振子，从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动？从有没有系统外力作用角度看弹簧振子的振动属于什么振动？
(2)用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子的振动有何不同？这能说明什么问题？
提示：(1)阻尼振动 自由振动
(2)转速大时弹簧振子振动得快，说明弹簧振子振动的周期和频率由手柄转速决定。
考点1 简谐运动、阻尼振动和受迫振动
1．三种振动的认识
(1)简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑。
(2)阻尼振动考虑阻力的影响，是更实际的一种运动。
(3)受迫振动是物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动。
2．三者对比列表：
振动类型 比较项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受阻力和驱 动力作用
频率 固有频率 频率不变 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动图像 形状不确定
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱 扬声器纸盆振动发声、钟摆的摆动
角度1 阻尼振动的理解
【典例1】 如图是摆球做阻尼振动的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动过程中周期变小
B．振动过程中周期变大
C．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
D．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
C [阻尼振动中，摆球的振幅逐渐减小，由于周期与振幅无关，故振动过程中周期不变，A、B错误；因A、B两时刻的位移相同，故摆球A时刻的势能等于B时刻的势能，C正确；由于振动的能量逐渐减小，故摆球A时刻的动能大于B时刻的动能，D错误。故选C。]
角度2 受迫振动
【典例2】 如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，而让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定时，它振动的周期为( )
A．0.5 s B．0.25 s
C．2 s D．4 s
B [匀速转动摇把后，振子将做受迫振动，驱动力的周期跟摇把转动的周期是相同的，振子做受迫振动的周期又等于驱动力的周期，其频率也等于驱动力的频率，与振子自由上下振动的频率无关。摇把匀速转动时的转速为240 r/min＝4 r/s，故f＝4 Hz，所以驱动力的周期T＝＝ s＝0.25 s。]
理解阻尼振动和受迫振动的三点注意
(1)阻尼振动的特点：振幅不断减小，机械能逐渐减少(不守恒)，但周期(或频率)并不变。
(2)受迫振动的周期和频率由驱动力的周期和频率决定，与振动物体自身的固有周期和固有频率无关。
(3)受迫振动的振幅大小与驱动力的周期和频率有关：
①驱动力的频率与振动物体的固有频率越接近，受迫振动的振幅就越大，当两者相等时，振动物体受迫振动的振幅最大；②两者相差越大，受迫振动的振幅就越小。
[跟进训练]
1．(角度1)(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法正确的是( )
A．摆球在M时刻的动能等于N时刻的动能
B．摆球在M时刻的势能等于N时刻的势能
C．摆球在M时刻的机械能等于N时刻的机械能
D．摆球在M时刻的机械能大于N时刻的机械能
BD [单摆做阻尼振动，因此摆球机械能不断减少，D正确，C错误；由题图又看出M、N两时刻单摆的位移相同，即在同一位置，摆球势能相同，B正确；因摆球机械能越来越小，所以摆球在N时刻动能比M时刻动能小，A错误。]
2．(角度2)(多选)如图所示的装置可用于研究弹簧振子的受迫振动，砝码和轻弹簧构成弹簧振子。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子一驱动力，使振子做受迫振动，把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图像如图甲所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图像如图乙所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅。则( )
A．由图线可知T0＝4 s
B．由图线可知T0＝8 s
C．当T在4 s附近时，y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时，y很小
D．当T在8 s附近时，y显著增大；当T比8 s小得多或大得多时，y很小
AC [若保持把手不动，砝码以一定的初速度做简谐运动，这时为自由振动，题图甲为砝码的自由振动图像，由题图甲读出固有周期为T0＝4 s，B错误，A正确；当把手以某一速度匀速转动时，砝码做受迫振动，此时砝码振动的周期T等于驱动力的周期，题图乙为砝码做受迫振动的图像，由题图乙读出驱动力周期为T＝8 s，当驱动力的周期越靠近砝码的固有周期时，砝码的振动越强烈，振幅越大，当驱动力的周期越远离砝码的固有周期时，砝码的振动越弱，振幅越小，D错误，C正确。故选AC。]
考点2 对共振的理解
1．共振的条件：驱动力的频率与系统的固有频率相等，即f驱＝f固。
2．共振曲线
如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动的振幅。
(1)从受力角度看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，直到振幅达到最大。
(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。振动能量最大，振幅最大。
(3)认识曲线的形状：f＝f0时发生共振；f>f0或f (1)应用共振应尽量使驱动力的频率接近固有频率。
(2)防止共振要尽量使驱动力的频率与固有频率间的差距增大。
【典例3】 (多选)如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，摆球质量均相同，其中A、E摆长均为l，先让A摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来，则稳定后( )
A．其他各摆振动周期跟A摆相同
B．其他各摆振动的振幅大小相等
C．其他各摆振动的振幅大小不同，E摆的振幅最大
D．B、C、D三摆振动的振幅大小不同，B摆的振幅最小
思路点拨：解答本题关键把握两点：
(1)5个单摆中，由A摆摆动从而带动其他4个单摆做受迫振动，则受迫振动的频率等于A摆摆动的频率。
(2)做受迫振动的单摆的固有频率等于驱动力的频率时出现共振且振幅最大。
ACD [A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳又迫使B、C、D、E四摆做受迫振动，由于物体做受迫振动的周期总是等于驱动力的周期，因此B、C、D、E四摆的周期跟A摆相同。驱动力的频率等于A摆的固有频率fA＝＝，其余四摆的固有频率与驱动力的频率关系：fB＝≈1.41fA，fC＝≈0.82fA，fD＝≈0.71fA，fE＝＝fA。可见只有E摆的固有频率与驱动力的频率相等，它发生共振现象，其振幅最大，B、C、D三个摆均不发生共振，振幅各异，其中B摆的固有频率与驱动力的频率相差最大，所以它的振幅最小。，故A、C、D正确。]
对共振现象的两点说明
(1)从受力角度来看：驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用时间就越大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的全部作用时间都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
(2)从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大。当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，从而振幅达到最大。
[跟进训练]
3．(多选)如图所示为一个弹簧振子做受迫振动时振幅与驱动力频率之间的关系图像，由图可知( )
A．让振子自由振动，它的频率可以为f1、f2、f3
B．驱动力频率为f2时，振子处于共振状态
C．驱动力频率为f3时，振子的振动频率为f3
D．假如让振子自由振动，它的频率是f2
BCD [由题意可知，当驱动力的频率变化时，做受迫振动的弹簧振子的振幅在变化，当驱动力频率为f2时，弹簧振子发生共振，受迫振动的振幅最大，B正确；弹簧振子做受迫振动的频率等于驱动力的频率，C正确；假如让振子自由振动，其频率为固有频率，由系统本身决定，应为f2，故A错误，D正确。]
1．下列振动中属于受迫振动的是( )
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．电磁打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动
D．不受外力的弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
B [受到敲击后的钟不再受驱动力，其振动是自由振动，A错误；电磁打点计时器接通电源后，振针的振动受电源的驱动，属于受迫振动，B正确；小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动属于自由振动，C错误；不受外力的弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动，属于自由振动，D错误。]
2．(多选)单摆在空气中做阻尼振动，下列说法正确的是( )
A．振动的能量逐渐转化为其他形式的能量
B．后一时刻摆球的动能一定比前一时刻小
C．后一时刻摆球的势能一定比前一时刻小
D．后一时刻摆球的机械能一定能比前一时刻小
AD [阻力不能忽略的情况下，要克服阻力做功，振动的能量在逐渐转化为其他形式的能量，A正确；单摆的动能是变化的，向下摆动时动能增大，向上摆动时动能减小，所以后一时刻摆球的动能不一定比前一时刻的动能小，故B错误；后一时刻摆球的势能不一定比前一时刻的势能小，比如从最低点向最高点摆动时，C错误；阻尼振动中机械能不断减小，故后一时刻摆球的机械能一定比前一时刻的机械能小，D正确。]
3．(新情境题，以小提琴的原理为背景，考查受迫振动)弦乐器小提琴是由两端固定的琴弦产生振动而发音的，如图甲所示。为了研究同一根琴弦振动频率与哪些因素有关，可利用图乙所示的实验装置，一块厚木板上有A、B两个楔支撑着琴弦，其中A楔固定，B楔可沿木板移动来改变琴弦振动部分的长度，将琴弦的末端固定在木板O点，另一端通过滑轮接上砝码以提供一定拉力，轻轻拨动琴弦，在AB间产生振动(不计摩擦)。
甲 乙
(1)先保持拉力为150 N不变，改变AB的距离L(即改变琴弦长度)，测出不同长度时琴弦振动的频率，记录结果如表1所示。
表1
长度L/m 1.00 0.85 0.70 0.55 0.40
振动频率f/Hz 150 176 214 273 375
从表1数据可判断在拉力不变时，琴弦振动的频率f与弦长L的关系为______________。
(2)保持琴弦长度为0.80 m不变，改变拉力，测出不同拉力时琴弦振动的频率，记录结果如表2所示。
表2
拉力大小F/N 360 300 240 180 120
振动频率f/Hz 290 265 237 205 168
从表2数据可判断在琴弦长度不变时，琴弦振动的频率f与拉力F的关系为______________。
[解析] (1)先保持拉力为150 N不变，改变AB的距离L(即改变琴弦长度)，测出不同长度时琴弦振动的频率，通过表格数据可以看出弦越长，频率越低，我们可以看两者之间是否存在反比关系。
我们在表格中写出对应的的数据，
长度倒数/m-1 1.00 1.18 1.43 1.82 2.50
振动频率f/Hz 150 176 214 273 375
表格中f与的比值恒定，约为150，即得出频率f与弦长L成反比。
(2)保持琴弦长度为0.80 m不变，改变拉力，测出不同拉力时琴弦振动的频率，我们在表格中写出对应的拉力大小平方根的数据，
拉力大小平 方根/ 19.0 17.3 15.5 13.4 11.0
振动频率f/Hz 290 265 237 205 168
表格中f与的比值恒定，约为15.3，即得出频率f与拉力F的算术平方根成正比。
[答案] (1)频率f与弦长L成反比 (2)频率f与拉力F的算术平方根成正比
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．做阻尼振动的物体，振幅和频率有什么特点？
提示：振幅逐渐减小，频率保持不变。
2．做受迫振动的物体，其频率由什么决定？
提示：频率由驱动力的频率决定。
3．物体发生共振的条件是什么？
提示：驱动力的频率等于物体的固有频率。
课时分层作业(九) 阻尼振动 受迫振动
?题组一 阻尼振动
1．(多选)下列说法中正确的是( )
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
ACD [实际的自由振动由于阻力的作用，振幅会越来越小，所以一定为阻尼振动，故A正确；物体在周期性驱动力的作用下的振动是受迫振动，故物体在外力作用下的振动不一定是受迫振动，故B错误；阻尼振动的振幅会越来越小，故C正确；受迫振动稳定后的频率取决于驱动力的频率，与自身物理条件无关，故D正确。]
2．一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是 ( )
A．机械能逐渐转化为其他形式的能
B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能
D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
A [单摆振动过程中，因不断克服空气阻力做功，使机械能逐渐转化为内能，选项A对，D错误；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化，动能转化为势能时，动能逐渐减小，势能逐渐增大，而势能转化为动能时，势能逐渐减小，动能逐渐增大，所以不能断言后一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能)，故选项B、C错误。]
3．由于存在空气阻力，严格来讲，任何物体的机械振动都不是简谐运动，在振动过程中( )
A．振幅减小，周期减小，机械能减小
B．振幅减小，周期不变，机械能减小
C．振幅不变，周期减小，机械能减小
D．振幅不变，周期不变，机械能减小
B [由于存在空气阻力，振动系统在振动过程中机械能减小，振幅减小，但其周期为固有周期，故周期不变，选B。]
4．将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行(图甲)，让秋千以小摆角(小于5°)自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的a-t关系图如图乙所示。则以下说法正确的是( )
A．秋千从摆动到停下的过程可看作受迫振动
B．当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力
C．秋千摆动的周期为t2－t1
D．该地的重力加速度g＝
D [秋千从摆动到停下的过程受空气阻力，振幅不断减小，为阻尼振动，故A错误；在最低点，根据牛顿第二定律有N－mg＝m，可得秋千对手机的支持力为N＝mg＋m，可知秋千对手机的支持力大于手机所受的重力，故B错误；秋千的周期为从最大振幅偏角到另外一最大振幅偏角位置再回到最大振幅偏角位置所用的时间，所以两次经过最低点，有两次向心加速度最大，故周期为T＝t3－t1，故C错误；根据单摆周期公式T＝t3－t1＝2π，可得当地重力加速度为g＝，故D正确。故选D。]
?题组二 受迫振动和共振
5．正在运转的洗衣机，当其脱水桶转得很快时，机身的振动并不强烈，切断电源，转动逐渐停下来，到某一时刻t，机身反而会发生强烈的振动，此后脱水桶转速继续变慢，机身的振动也随之减弱，针对这种现象的分析说法正确的是( )
A．在t时刻脱水桶的惯性最大
B．在t时刻脱水桶的转动频率最大
C．在t时刻洗衣机发生共振
D．纯属偶然现象，并无规律
C [惯性是物体本身的性质，只与物体的质量有关，A错误；机身做受迫振动的频率与脱水桶的转动频率相等，当脱水桶的转动频率与机身的固有频率相等时机身发生共振，振幅最大，C正确，B、D错误。故选C。]
6．为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员发明了如图所示的振动器，用来振动树干使松果落下。则( )
A．随着振动器的振动频率增加，树干振动的幅度一定增大
B．针对不同的树木，落果效果最好的振动频率一定相同
C．稳定后，不同的树干振动频率与振动器的振动频率相同
D．稳定后，不同的树干振动频率与振动器的振动频率不同
C [根据共振产生的条件，当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时振幅最大，故A错误；针对不同的树木，固有频率不一定相同，落果效果最好的振动频率为固有频率，故B错误；受迫振动频率由驱动力频率决定，稳定后，不同树木的振动频率与振动器的振动频率相同，故C正确，D错误。故选C。]
7．(多选)如图甲所示，一个有固定转动轴的竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向运动，使T形支架下面的弹簧和小球组成的振动系统做受迫振动。小球的振幅A与圆盘的转速n的关系如图乙所示。下列说法正确的是( )
A．振动系统的固有周期为0.5 min
B．振动系统的固有周期为3 s
C．圆盘的转速越大，小球振动的频率越大
D．圆盘的转速越大，小球振动的频率越小
BC [根据题图乙可得当转速为n＝20 r/min＝ r/s时，振动系统受迫振动的振幅最大，所以振动系统的固有周期为T＝3 s，故A错误，B正确；受迫振动的频率与驱动力频率相同，转速越大，驱动力频率越大，则小球振动的频率越大，故C正确，D错误。故选BC。]
8．为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起，以达到使车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速，称为洗衣板效应。如果某路面上的一排等间距减速带的间距为1.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是 ( )
A．当汽车以5 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B．当汽车以3 m/s的速度行驶时最不颠簸
C．当汽车以3 m/s的速度行驶时颠簸得最厉害
D．汽车速度越大，颠簸得就越厉害
C [当汽车振动频率与其固有频率接近时会产生共振现象，此时振幅最大，颠簸最厉害。当车速为3 m/s时，振动周期T＝ s＝0.5 s，f＝＝2 Hz，此时颠簸最厉害。故选C。]
9．(多选)如图所示，A、B、C、D四个单摆的摆长分别为L、2L、L、，摆球的质量分别为2m、2m、m、，四个单摆静止地悬挂在一根水平细线上。现让A球振动起来，通过水平细线迫使B、C、D也振动起来，则下列说法正确的是( )
A．A球振动周期为2π
B．B、C、D三个单摆质量不同，周期不同
C．B、C、D中因D的质量最小，故其振幅是最大的
D．B、C、D中C的振幅最大
AD [由题知，A球做自由振动，A球振动周期等于其固有周期，由单摆周期公式可知T＝2π，故A正确；B、C、D球在A球产生的驱动力作用下做受迫振动，振动的周期都等于A球的振动周期，所以各摆球振动的周期都相等，与质量无关，故B错误；振动的振幅与摆球的质量无关，故C错误；由于C球的摆长与A球摆长相同，固有频率等于驱动力的频率，发生共振，则C的振幅最大，故D正确。故选A、D。]
1．(多选)将一个力传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆振动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出下列判断，其中正确的是( )
A．t＝0.2 s时摆球正经过最低点
B．t＝1.1 s时摆球正经过最低点
C．摆球振动过程中机械能减少
D．摆球振动的周期为T＝1.4 s
AC [单摆在做简谐运动过程中，悬线上拉力是周期性变化的。摆球在最低点时悬线拉力最大Fmax＝mg＋。在摆到最高点v＝0时，悬线拉力最小，Fmin＝mg cos θ。t＝0.2 s时，拉力最大，即摆球正经过最低点，A正确；t＝1.1 s时，摆球正经过最高点，B错误；从题图可看出摆球经过最低点的拉力逐渐减小，可知小球的速度减小，机械能逐渐减少，C正确；由题图可知T＝2×(0.8－0.2) s＝1.2 s，D错误。故选A、C。]
2．图甲所示是一个共振筛，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子质量，可增大筛子的固有周期。在某电压下此刻偏心轮的转速是54 r/min。下列说法正确的是( )
A．偏心轮现在的频率是0.8 Hz
B．增加偏心轮转速，可以使筛子振幅增大
C．增加筛子质量，可以使筛子振幅增大
D．降低偏心轮转速，可以使筛子振幅增大
D [由题意可知，偏心轮的转速是54 r/min，则周期为T＝ s＝ s，则偏心轮的频率为f＝＝ Hz＝0.9 Hz，A错误；由题图乙可知，筛子的固有频率为0.8 Hz，若增加偏心轮转速，则偏心轮的周期减小，频率增大，则偏心轮产生的驱动力的频率增大，大于0.9 Hz，偏离0.8 Hz更多，因此不可以使筛子振幅增大，B错误；增加筛子质量，可增大筛子的固有周期，则筛子的固有频率减小，小于0.8 Hz，则偏离0.9 Hz更多，不可以使筛子振幅增大，C错误；降低偏心轮转速，偏心轮的周期增大，频率减小，则偏心轮产生的驱动力的频率减小，当偏心轮产生的驱动力的频率减小到0.8 Hz时，产生共振，可以使筛子振幅增大，D正确。故选D。]
3．如图所示是用来测量各种电动机转速的转速计的原理图。在同一铁支架MN上焊有固有频率依次为80 Hz、60 Hz、40 Hz、20 Hz的四个钢片a、b、c、d。将M端与正在转动的电动机接触，发现b钢片恰好振幅最大。
(1)电动机的转速为多大？
(2)四个钢片a、b、c、d的振动频率分别是多少？
[解析] (1)b钢片的振幅最大，此时可认为b钢片发生了共振，由共振发生的条件可知
f驱＝f固
因此电动机的转动频率为60 Hz，即转速为60 r/s。
(2)四个钢片a、b、c、d都做受迫振动，其振动频率与固有频率无关，都等于驱动力的频率，即都等于电动机的转动频率60 Hz。
[答案] (1)60 r/s (2)60 Hz，60 Hz，60 Hz，60 Hz
4．汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m。汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝(l为弹簧的压缩长度)。若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感到最难受？(g取9.8 N/kg)
[解析] 人体的固有频率f固＝2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受，即f＝＝f固，解得l＝，代入数据得l≈0.062 1 m，由胡克定律得kl＝(m1＋nm2)g，则
n＝＝≈5 (人)。
[答案] 5人
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