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3．单摆
第二章 机械运动
学习任务
1．理解单摆做简谐运动的条件，会利用图像法分析单摆的运动。
2．掌握单摆的周期公式，并能够进行计算。
3．经历单摆周期与摆长关系的探究过程，体会实验设计思路。
4．借助对单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。
必备知识·自主预习储备
知识点一 单摆及其运动规律
1．单摆模型
若忽略悬挂小球细线长度的微小变化和______，且线长比球的直径________，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的________模型。
质量
大得多
理想化
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧______方向的分力，即G1＝____________(θ为悬线与竖直方向的夹角)。
(2)回复力的特点：在偏角较小的情况下，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成______，方向总指向__________。
(3)运动规律：单摆在偏角较小时做______运动。
切线
mg sin θ
正比
平衡位置
简谐
思考 在单摆做简谐运动的平衡位置时，摆球所受合外力为零吗？
提示：不为零。
知识点二 单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与______有关，摆长越长，周期______。
(2)单摆的周期与摆球质量、振幅______(选填“有关”或“无关”)。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由________首先提出。
(2)公式：T＝_________。
摆长
越大
无关
惠更斯
体验 1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。 ( )
(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力。 ( )
(3)单摆是一个理想化的模型。 ( )
(4)摆球的质量越大，周期越大。 ( )
(5)单摆的振幅越小，周期越小。 ( )
(6)单摆的摆长越长，周期越大。 ( )
×
√
√
×
×
√
2：填空
一个理想的单摆，已知其周期为T。如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为_______。
2T
关键能力·情境探究达成
(1)判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
(2)试分析单摆的回复力由什么力提供？
提示：(1)模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略。
模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略。
模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径。
模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化。
模型⑤是单摆。
考点1 单摆的回复力
1．单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力。
角度1 单摆回复力的理解
【典例1】 关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
√
C [摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误。]
角度2 单摆的运动过程分析
【典例2】 关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B．摆球运动过程中经过轨迹上同一点，加速度是不相等的
C．摆球运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零
√
D [摆球在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，而不是摆线的拉力和重力的合力，故A错误；摆球经过轨迹上的同一点受力情况相同，故加速度相同，故B错误；摆球在运动过程中加速度的方向不始终指向平衡位置，因为垂直速度方向也有加速度，故C错误；摆球摆动过程中，经过平衡位置时，受重力和拉力，合力不为零，加速度不为零，故D正确。]
易错警示 对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力。
[跟进训练]
1．(角度1)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，合力为零
B．摆球在A点和C点处，回复力为零
C．摆球在B点处，回复力最大
D．摆球在B点处，细线拉力最大
√
D [摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处合力不为零，A错误；在最低点B处，细线上的拉力最大，D正确；摆球的回复力F＝mg sin θ，其中θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零，故B、C错误。]
2．(角度2)(多选)关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中正确的是
( )
A．在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
B．在最大位移处速度最小
C．在平衡位置摆球速度最大
D．摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大
√
√
√
BCD [在平衡位置处，摆球的势能最小，动能最大，速度最大，而位移最小，A错误，C正确；在最大位移处，摆球的势能最大，动能最小，速度最小，B正确；摆球由最大位移处向平衡位置运动时，势能变小，动能变大，速度变大，D正确。]
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。
【典例3】 (多选)图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N，已知摆球质量m＝100 g，重力加速度取9.8 m/s2，π2取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是( )
A．单摆周期为0.8 s
B．单摆摆长为0.64 m
C．F的最小值Fmin＝0.96 N
D．若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期变长
√
√
(3)单摆的摆长
①因为实际的摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，注意摆线长是从悬点到摆线与摆球连接点的长度，不要把摆长与摆线长弄混淆。
②等效摆长。
[跟进训练]
3．惠更斯利用单摆的等时性原理制成了世界上第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们常见到的一种摆钟，图乙所示为摆钟的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。在A地走时准确的摆钟移到B地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是( )
甲 乙
A．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
√
学习效果·随堂评估自测
1．(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是
( )
A．摆球受重力、摆线的张力作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零
C．摆球的回复力为零时，向心力最大
D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
√
√
√
ABC [单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A正确；重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则摆线拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D错误，B、C正确。]
2．如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10 cm现将小球先后从曲面的顶端A和AO的中点B由静止释放，到达底端O的速度分别为v1和v2，经历的时间分别为t1和t2，则( )
A．v1＞v2，t1＞t2 B．v1＞v2，t1＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2 D．v1＞v2，t1＜t2
√
3．(新情境题，以传感器记录的F-t图像为背景，考查单摆)将一力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图所示图甲中O点为单摆的悬点，现将摆球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，其中B点为振动的平衡位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。图乙表示由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间变化的图线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取10 m/s2)，求：
(1)单摆的周期和摆长；
(2)摆球的质量。
甲 乙
[答案] (1)0.4π s 0.4 m (2)0.05 kg
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
提示：摆角θ较小，tan θ≈sin θ。
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
提示：重力垂直于摆线的分力。
3．单摆的周期由哪些因素决定？
提示：摆长、重力加速度。
4．单摆周期的表达式是什么？
阅读材料·拓宽物理视野
教堂里的发现——单摆的等时性
1564年2月15日，伟大的物理学家伽利略出生于意大利比萨城的一个没落贵族家庭。他出生不久，全家就移居到佛罗伦萨近郊的一个地方。在那里，伽利略的父亲万桑佐开了一个店铺，经营羊毛生意。
孩提时的伽利略聪明可爱，活泼矫健，好奇心极强。他从不满足别人告诉的道理，喜欢亲自探索、研究和证明问题。对于儿子的这些表现，万桑佐高兴极了，希望伽利略长大后从事既高雅、报酬又丰厚的医生职业，1581年，万桑佐就把伽利略送到比萨大学学医。可是，伽利略对医学没有兴趣，他却把相当多的时间用于钻研古希腊的哲学著作，学习数学和自然科学。
伽利略(1564—1642)是一位虔诚的天主教徒，每周都坚持到教堂做礼拜。1582年的一天，伽利略到教堂做礼拜。礼拜开始不久，一位修理工人不经意触动了教堂中的大吊灯，使它来回摆动。摆动着的大吊灯映入了伽利略的眼帘，引起他的注意。伽利略聚精会神地观察着，脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头，凭着学医的经验，伽利略把右手指按到左腕的脉搏上计时，同时数着吊灯的摆动次数。起初，吊灯在一个大圆弧上摆动，摆动速度较大，伽利略测算来回摆动一次的时间。过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，此时，他又测量了来回摆动一次的时间。让他
大为吃惊的是，两次测量的时间是相同的。于是伽利略继续测量来回摆动一次的时间，直到吊灯几乎停止摆动时才结束。可是每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间。通过这些测量使伽利略发现：吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的。即吊灯的摆动具有等时性，这就是伽利略最初的发现。
问题
1．吊灯摆动的快慢与吊灯的摆动幅度有关吗？
提示：没关系。
2．上述吊灯的摆动快慢的现象说明什么？
提示：吊灯的单次摆动具有等时性。3．单摆
1．理解单摆做简谐运动的条件，会利用图像法分析单摆的运动。
2．掌握单摆的周期公式，并能够进行计算。
3．经历单摆周期与摆长关系的探究过程，体会实验设计思路。
4．借助对单摆周期影响因素的分析，培养严谨的科学态度。
知识点一 单摆及其运动规律
1．单摆模型
若忽略悬挂小球细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置就叫作单摆。单摆是实际摆的理想化模型。
2．单摆的回复力
(1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，即G1＝mg_sin_θ(θ为悬线与竖直方向的夹角)。
(2)回复力的特点：在偏角较小的情况下，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置。
(3)运动规律：单摆在偏角较小时做简谐运动。
在单摆做简谐运动的平衡位置时，摆球所受合外力为零吗？
提示：不为零。
知识点二 单摆的周期
1．影响单摆周期的因素
(1)单摆的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大。
(2)单摆的周期与摆球质量、振幅无关(选填“有关”或“无关”)。
2．周期公式
(1)提出：周期公式由惠更斯首先提出。
(2)公式：T＝2π。
1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。 (×)
(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力。 (√)
(3)单摆是一个理想化的模型。 (√)
(4)摆球的质量越大，周期越大。 (×)
(5)单摆的振幅越小，周期越小。 (×)
(6)单摆的摆长越长，周期越大。 (√)
2：填空
一个理想的单摆，已知其周期为T。如果由于某种原因重力加速度变为原来的2倍，振幅变为原来的3倍，摆长变为原来的8倍，摆球质量变为原来的2倍，它的周期变为______________。
[答案] 2T
(1)判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？
(2)试分析单摆的回复力由什么力提供？
提示：(1)模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略。
模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略。
模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径。
模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化。
模型⑤是单摆。
(2)单摆的回复力是重力的切向分力，也是摆球沿运动方向的合力，即F＝mg sin θ≈mg。
考点1 单摆的回复力
1．单摆的回复力
(1)摆球受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线对摆球的拉力和摆球重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：摆球重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sin θ≈tan θ≈，又回复力F＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。
角度1 单摆回复力的理解
【典例1】 关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球经过平衡位置时所受合力为零
B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比
C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
C [摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误。]
角度2 单摆的运动过程分析
【典例2】 关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球运动的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B．摆球运动过程中经过轨迹上同一点，加速度是不相等的
C．摆球运动过程中，加速度的方向始终指向平衡位置
D．摆球经过平衡位置时，加速度不为零
D [摆球在运动过程中的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，而不是摆线的拉力和重力的合力，故A错误；摆球经过轨迹上的同一点受力情况相同，故加速度相同，故B错误；摆球在运动过程中加速度的方向不始终指向平衡位置，因为垂直速度方向也有加速度，故C错误；摆球摆动过程中，经过平衡位置时，受重力和拉力，合力不为零，加速度不为零，故D正确。]
对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡。
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力。
[跟进训练]
1．(角度1)如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中( )
A．摆球在A点和C点处，合力为零
B．摆球在A点和C点处，回复力为零
C．摆球在B点处，回复力最大
D．摆球在B点处，细线拉力最大
D [摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处合力不为零，A错误；在最低点B处，细线上的拉力最大，D正确；摆球的回复力F＝mg sin θ，其中θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摆动过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零，故B、C错误。]
2．(角度2)(多选)关于单摆做简谐运动的过程，下列说法中正确的是( )
A．在平衡位置摆球的速度和位移均达到最大值
B．在最大位移处速度最小
C．在平衡位置摆球速度最大
D．摆球由最大位移处向平衡位置运动时，速度变大
BCD [在平衡位置处，摆球的势能最小，动能最大，速度最大，而位移最小，A错误，C正确；在最大位移处，摆球的势能最大，动能最小，速度最小，B正确；摆球由最大位移处向平衡位置运动时，势能变小，动能变大，速度变大，D正确。]
考点2 单摆周期公式的理解及应用
1．伽利略发现了单摆运动的等时性，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟。
2．单摆的周期公式：T＝2π。
3．对周期公式的理解：
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立(偏角为5°时，由周期公式算出的周期和精确值相差0.01%)。
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m及振幅无关。所以单摆的周期也叫固有周期。
【典例3】 (多选)图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N，已知摆球质量m＝100 g，重力加速度取9.8 m/s2，π2取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是( )
A．单摆周期为0.8 s
B．单摆摆长为0.64 m
C．F的最小值Fmin＝0.96 N
D．若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期变长
BC [根据单摆振动的规律可知，在一个周期内摆球会两次经过最低点，即摆线会出现两次拉力最大的时刻，则由题图乙可知单摆周期为1.6 s，故A错误；根据单摆周期公式T＝2π，可得单摆摆长为l＝＝0.64 m，故B正确；设单摆的摆角为2θ，当摆球摆到最高点时摆线拉力最小，为Fmin＝mg cos θ，设摆球运动至最低点时的速度大小为v，则根据机械能守恒定律有mv2＝mgl(1－cos θ)，在最低点时，根据牛顿第二定律有Fmax－mg＝m，联立解得Fmin＝0.96 N，故C正确；根据单摆周期公式可知周期与摆球质量无关，所以若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期不变，故D错误。故选BC。]
利用单摆周期公式计算的三个核心
利用单摆的周期公式T＝2π进行有关计算，要把握三个核心。
(1)单摆的周期公式在偏角很小时成立(θ≤5°)。
(2)单摆周期公式中的g是单摆所在地的重力加速度，能求出摆球在不同的空间位置、物理环境(如带电小球在匀强电场、匀强磁场)中的等效重力加速度。
(3)单摆的摆长
①因为实际的摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，注意摆线长是从悬点到摆线与摆球连接点的长度，不要把摆长与摆线长弄混淆。
②等效摆长。
[跟进训练]
3．惠更斯利用单摆的等时性原理制成了世界上第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们常见到的一种摆钟，图乙所示为摆钟的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。在A地走时准确的摆钟移到B地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是 ( )
甲 乙
A．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B．A地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D．B地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C [由A地到B地摆钟摆动加快说明周期变小，由单摆的周期公式T＝2π，可知重力加速度变大了，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动，故C正确。]
1．(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )
A．摆球受重力、摆线的张力作用
B．摆球的回复力最大时，向心力为零
C．摆球的回复力为零时，向心力最大
D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
ABC [单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A正确；重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则摆线拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D错误，B、C正确。]
2．如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10 cm现将小球先后从曲面的顶端A和AO的中点B由静止释放，到达底端O的速度分别为v1和v2，经历的时间分别为t1和t2，则( )
A．v1＞v2，t1＞t2 B．v1＞v2，t1＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2 D．v1＞v2，t1＜t2
B [因为AO弧长远小于半径，所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成小角度单摆的摆动，即做简谐运动，等效摆长为2 m，单摆的周期为T＝2π，周期与振幅无关，小球先后从A、B两点运动到O点均经历，故有t1＝t2，因摆动只有重力做功，有mgh＝mv2，所以v＝，故v1＞v2，故选B。]
3．(新情境题，以传感器记录的F-t图像为背景，考查单摆)将一力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图所示图甲中O点为单摆的悬点，现将摆球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，其中B点为振动的平衡位置，∠AOB＝∠COB＝α，α小于5°且是未知量。图乙表示由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间变化的图线，且图中t＝0时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取10 m/s2)，求：
甲 乙
(1)单摆的周期和摆长；
(2)摆球的质量。
[解析] (1)对摆球受力分析如图所示。
摆球在一个周期内两次经过平衡位置，结合题图乙可知T＝0.4π s。
由单摆的周期公式可得
T＝2π
代入数据解得l＝0.4 m。
(2)摆球在最高点A，有
Fmin＝mg cos α＝0.495 N
摆球在最低点B，有
Fmax－mg＝m，其中Fmax＝0.510 N
摆球从A到B由机械能守恒定律有
mgl(1－cos α)＝mv2
联立并代入数据得m＝0.05 kg。
[答案] (1)0.4π s 0.4 m (2)0.05 kg
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．单摆看成简谐运动的条件是什么？
提示：摆角θ较小，tan θ≈sin θ。
2．单摆的回复力是由哪个力提供？
提示：重力垂直于摆线的分力。
3．单摆的周期由哪些因素决定？
提示：摆长、重力加速度。
4．单摆周期的表达式是什么？
提示：T＝2π。
教堂里的发现——单摆的等时性
1564年2月15日，伟大的物理学家伽利略出生于意大利比萨城的一个没落贵族家庭。他出生不久，全家就移居到佛罗伦萨近郊的一个地方。在那里，伽利略的父亲万桑佐开了一个店铺，经营羊毛生意。
孩提时的伽利略聪明可爱，活泼矫健，好奇心极强。他从不满足别人告诉的道理，喜欢亲自探索、研究和证明问题。对于儿子的这些表现，万桑佐高兴极了，希望伽利略长大后从事既高雅、报酬又丰厚的医生职业，1581年，万桑佐就把伽利略送到比萨大学学医。可是，伽利略对医学没有兴趣，他却把相当多的时间用于钻研古希腊的哲学著作，学习数学和自然科学。
伽利略(1564—1642)是一位虔诚的天主教徒，每周都坚持到教堂做礼拜。1582年的一天，伽利略到教堂做礼拜。礼拜开始不久，一位修理工人不经意触动了教堂中的大吊灯，使它来回摆动。摆动着的大吊灯映入了伽利略的眼帘，引起他的注意。伽利略聚精会神地观察着，脑海里突然闪出测量吊灯摆动时间的念头，凭着学医的经验，伽利略把右手指按到左腕的脉搏上计时，同时数着吊灯的摆动次数。起初，吊灯在一个大圆弧上摆动，摆动速度较大，伽利略测算来回摆动一次的时间。过了一阵子，吊灯摆动的幅度变小了，摆动速度也变慢了，此时，他又测量了来回摆动一次的时间。让他大为吃惊的是，两次测量的时间是相同的。于是伽利略继续测量来回摆动一次的时间，直到吊灯几乎停止摆动时才结束。可是每次测量的结果都表明来回摆动一次需要相同的时间。通过这些测量使伽利略发现：吊灯来回摆动一次需要的时间与摆动幅度的大小无关，无论摆幅大小如何，来回摆动一次所需时间是相同的。即吊灯的摆动具有等时性，这就是伽利略最初的发现。
1．吊灯摆动的快慢与吊灯的摆动幅度有关吗？
提示：没关系。
2．上述吊灯的摆动快慢的现象说明什么？
提示：吊灯的单次摆动具有等时性。
课时分层作业(八) 单摆
?题组一 单摆及单摆的回复力
1．关于单摆，下列说法正确的是( )
A．摆球做匀速圆周运动
B．摆球摆动到最低点时加速度为零
C．摆球速度变化的周期等于振动周期
D．摆球振动的频率与振幅有关
C [摆球在摆动中速度大小是变化的，不是匀速圆周运动，A错误；摆球摆动到最低点时加速度不为零，受向上的合外力，故加速度竖直向上，B错误；摆球速度变化的周期以及位移变化的周期均等于振动周期，C正确；摆球振动的频率与振幅无关，只取决于摆长和当地的重力加速度，D错误。]
2．(多选)下列有关单摆的说法，正确的是( )
A．一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆
B．单摆的摆动一定是简谐运动
C．若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动
D．单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大
CD [一根不可伸长的细绳一端系在悬点，另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球可以构成一个单摆，橡皮筋受到拉力时形变量较大，连接小球构成的装置不可看成单摆，A错误；若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动，B错误，C正确；根据单摆的周期公式T＝2π可知，单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大，D正确。]
3．振动着的单摆摆球通过平衡位置时，它受到的回复力( )
A．指向地面
B．指向悬点
C．数值为零
D．垂直摆线，指向运动方向
C [单摆的摆球受到的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，摆球经过平衡位置时，回复力为零，选C。]
4．(多选)一个单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是( )
A．t1时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度最大，但加速度不为零
C．t3时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
ABD [由振动图像可知：t1和t3时刻摆球偏离平衡位置的位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球的拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球的拉力最大，加速度向上。故正确答案为A、B、D。]
?题组二 单摆的周期
5．如图所示是两个理想单摆的振动图像，纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移。下列说法中正确的是( )
A．t＝4 s时，两单摆的回复力最大
B．乙摆球在第1 s末和第3 s末速度相同
C．甲、乙两个摆的摆长之比为1∶2
D．甲摆球位移随时间变化的关系式为x＝2sin cm
D [t＝4 s时，两单摆处于平衡位置，该位置的回复力为零，A错误；乙摆球在第1 s末和第3 s末速度大小相等方向相反，B错误；由单摆的周期公式可知T＝2π，得甲、乙两个摆的摆长之比为＝＝，C错误；由题图可知，甲摆的振幅为2 cm，周期为4 s，且零时刻位于平衡位置并开始向上运动，故甲摆球位移随时间变化的关系式为x＝2sin cm，D正确。故选D。]
6．图甲是利用沙摆演示简谐运动图像的装置。当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙在板上形成的曲线显示出沙摆的振动位移随时间的变化关系。已知木板被水平拉动的速度为0.20 m/s，图乙所示的一段木板的长度为0.80 m，则这次实验沙摆的摆长为(取g＝π2)( )
A．0.56 m B．0.65 m
C．1.00 m D．2.25 m
C [木板匀速拉出，则有x＝vt，解得t＝＝ s＝4 s，结合题图乙知t＝2T，则T＝2 s，根据单摆周期公式T＝2π，解得l＝1 m，故选C。]
7．如图甲所示为一个半径为R，弧长为L的光滑凹槽(R L)。现将一质量为m的小球从凹槽边缘由静止释放，小球以最低点为平衡位置做简谐运动，其振动图像如图乙所示。已知重力加速度大小为g(取g＝π2)，下列说法正确的是( )
A．小球运动到最低点时所受合力为零
B．小球做简谐运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供
C．小球做简谐运动的周期为2.5 s
D．光滑凹槽半径R＝2 m
B [小球运动到最低点时所受合力提供向心力，不为零，故A错误；小球做简谐运动的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故B正确；由题图乙可知，小球做简谐运动的周期为2.0 s，故C错误；由T＝2π，解得R＝1 m，故D错误。故选B。]
8．地球表面的重力加速度约为9.8 m/s2，月球表面的重力加速度是地球表面的，将走时准确的摆钟从地球放到月球上去，在地球上经过24 h，该钟在月球上显示经过了( )
A．4 h B．9.8 h
C．12 h D．58.8 h
B [由单摆的周期公式T＝2π，得＝＝，即T月＝T地，则摆钟在月球上单位时间内完成的全振动的次数为在地球上的，所以在地球上经过24 h，该摆钟在月球上显示经过的时间为24× h＝4 h≈9.8 h，B正确。]
9．图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图像。根据图像回答：
甲 乙
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少。
[解析] (1)由乙图知周期T＝0.8 s
则频率f＝＝1.25 Hz。
(2)由乙图知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以在B点。
(3)由T＝2π得L＝≈0.16 m。
[答案] (1)1.25 Hz (2)B点 (3)0.16 m
1．图中的几个相同的单摆在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是( )
A．T甲＞T乙＞T丙＞T丁
B．T甲＜T乙＝T丙＜T丁
C．T甲＞T乙＝T丙＞T丁
D．T甲＜T乙＜T丙＜T丁
C [根据周期公式T＝2π，单摆的周期和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关；题图甲中沿斜面的加速度为a甲＝g sin θ，所以周期为T甲＝2π，题图乙中加速度为a乙＝g，所以周期为T乙＝2π，题图丙中的周期为T丙＝2π，题图丁中的加速度为a丁＝g＋a，所以周期为T丁＝2π，故T甲＞T乙＝T丙＞T丁，故选C。]
2．如图所示，在倾角为α的斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，则以下判断正确的是( )
A．单摆在斜面上摆动的周期为T＝2π
B．摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为F＝m
C．若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则单摆的振动周期将发生变化
D．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小
D [单摆在平衡位置时，等效重力加速度为g′＝g sin α，所以单摆在斜面上摆动的周期为T＝2π＝2π，故A错误；回复力大小与偏离平衡位置位移大小成正比，故摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，故B错误；若小球带正电，并加一垂直斜面向下的匀强磁场，则小球摆动过程中洛伦兹力始终垂直速度，不产生回复力的效果，故周期不变，故C错误；若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，单摆的等效重力加速度为g″＝g sin α＋，所以单摆在斜面上摆动的周期为T＝2π＝2π减小，故D正确。故选D。]
3．如图所示，在一个水平放置的槽中，小球m自A点以沿AD方向的初速度v开始运动，已知AB＝0.9 m，AB圆弧的半径R＝10 m，AD＝10 m，A、B、C、D在同一水平面内，不计摩擦，重力加速度g取10 m/s2。
(1)小球从A点静止释放，则经过多少时间到达B点？
(2)欲使小球恰能通过C点，其初速度v应满足什么条件？
[解析] (1)根据单摆周期公式有
T＝2π＝2π s
小球从A点运动到B点的时间为
t＝＝π s。
(2)小球自A点以沿AD方向的初速度v开始运动，把小球的运动进行分解，一个沿AD方向的匀速运动，一个是在圆弧面内做简谐运动。小球m自A点运动到C点，小球在圆弧面上运动的时间为
t′＝T(n＝0，1，2，…)
由分运动的等时性，可知初速度为
v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
[答案] (1)π s (2) m/s(n＝0，1，2，…)
4．有两个同学利用假期分别去参观位于天津市的“南开大学”和上海市的“复旦大学”，他们各自在那里的物理实验室利用先进的DIS系统较准确地探究了单摆周期T和摆长L的关系。然后他们通过互联网交流实验数据，并由计算机绘制了T2-L图像，如图甲所示。
甲 乙
(1)已知天津市比上海市的纬度高，则去“南开”的同学所测得的实验结果对应的图像是A还是B
(2)去“复旦”做研究的同学还利用计算机绘制了他实验用的a、b两个摆球的振动图像，如图乙所示，由图像可知两单摆摆长之比是多大？在t＝2 s时b球运动方向沿“＋y”还是“－y”？
[解析] (1)由T＝2π得
T2＝L
知T2-L图像的斜率越大，则重力加速度越小，因为上海当地的重力加速度小于天津，去南开的同学所测实验结果对应的图线的斜率小，应该是B图线。
(2)由振动图线知，两单摆的周期比为＝
由T＝2π知
两单摆摆长之比＝
y- t图像的斜率表示速度，故在t＝2 s时b球运动方向是＋y方向。
[答案] (1)B (2) ＋y
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