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1．简谐运动及其图像
第二章 机械运动
学习任务
1．知道什么是弹簧振子和简谐运动。
2．知道振幅、周期、频率、相位、全振动等概念。
3．理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦函数图线。理解简谐运动的表达式。
4．通过对简谐运动图像的描绘，认识简谐运动的特点。
5．通过对生活中振动实例的观察，体会振动对生活的影响。
必备知识·自主预习储备
知识点一 机械振动和弹簧振子
1．机械振动：物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的__________，叫作机械振动，简称振动。这个位置称为__________。
注意：机械振动是机械运动的一种。
往复运动
平衡位置
2．弹簧振子
如图所示，将弹簧上端固定，下端连接一个小球，小球可在竖直方向上运动。弹簧的质量比小球的质量小得多，可以忽略不计，若不计空气阻力，这样的系统称为弹簧振子。
思考 弹簧振子在平衡位置两侧做什么运动？
提示：往复运动。
知识点二 简谐运动
1．定义
如果质点的位移与时间的关系严格遵从______函数的规律，即它的振动图像是一条______曲线，这样的运动叫作简谐运动。
2．特点
简谐运动是最简单、最基本的______，弹簧振子的运动就是__________。
正弦
正弦
振动
简谐运动
知识点三 描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的__________，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理含义：振幅是描述振动______的物理量；振动物体的运动范围是振幅的______。
2．全振动
一个______的振动过程，称为一次全振动。振动物体完成一次全振动的时间总是______的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点。
最大距离
强弱
两倍
完整
相同
3．周期(T )和频率( f )
(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次________所用的时间。单位：秒(s)。
(2)频率f：物体完成全振动的次数与所用时间的比。单位：______，简称赫，符号是____。
(3)周期T与频率f 的关系式：T＝___。
4．相位
相位是描述做周期性运动的物体在各个时刻所处状态的物理量。
全振动
赫兹
Hz
振幅
频率
圆频率
周期
相位
提醒 (1)相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量。
(2)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。
初相位
初相
体验 1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)平衡位置即速度为零的位置。 ( )
(2)竖直弹簧振子的平衡位置是弹簧的原长位置。 ( )
(3)振动图像表示质点相对平衡位置的位移随时间变化的规律。
( )
(4)由振动图像可判断任一时刻质点的速度方向。 ( )
(5)振幅就是指振子的位移。 ( )
(6)始末速度相同的一个过程一定是一次全振动。 ( )
×
×
√
√
×
×
×
√
2：填空
如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是________(选填“OC”“AC”或“CO”)，从A点直接运动到C点的过程中，振子位移变________(选填“小”或“大”)，速度变__________(选填“小”或“大”)。
OC
小
大
关键能力·情境探究达成
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动。
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
提示：(1)小球的运动具有往复性。小球因为受到阻力的作用最终停止运动。
(2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长。
(3)小球将持续地做往复运动。
考点1 弹簧振子
1．振子模型：有水平弹簧振子和竖直弹簧振子，如图甲、乙所示。空气阻力及球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比可以忽略。
甲 乙
2．振动系统看成弹簧振子的条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质 量集中于振子。
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。
(3)摩擦力可以忽略。
(4)小球从平衡位置被拉开的距离在弹性限度内。
3．弹簧振子的振动分析
(1)位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置。当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小。
(2)速度及其变化
振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零。振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大。
(3)涉及加速度变化的图像问题
水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力。不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大。
【典例1】 一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．振子每次通过同一位置时，加速度相同，速度也一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
√
D [简谐运动中的位移、速度和加速度不是彼此独立的物理量，在同一位置，位移和加速度的方向是一定的，而速度方向有两种可能。表解如下：
选项 分析 判断
A 如图所示，设弹簧振子在A、B之间振动，O是它的平衡位置，并设向右为正方向。在振子由O向A运动的过程中，振子的位移、速度为负值，加速度为正值。
×
选项 分析 判断
B 振子通过平衡位置时，加速度为零，速度最大。 ×
C 振子每次通过同一位置时，速度大小相等，方向可能相同也可能相反，但加速度一定相同。 ×
D √
易错警示 振动分析的三点注意
(1)位移、速度、加速度都是矢量，矢量相同，必须是大小和方向都相同。
(2)振子在某位置时对应的位移方向与加速度方向一定相反。
(3)除最大位移处外，振子连续两次经过同一位置时的速度大小相等，方向相反。
[跟进训练]
1．(多选)如图所示，有一弹簧振子，O点为平衡位置，当振子从A点运动到C点时，其相对于平衡位置( )
A．振子的位移大小为OC
B．振子的位移大小为AC
C．振子的位移方向向左
D．振子从A点运动到C点过程中，加速度方向与速度方向相同
√
√
AD [振子离开平衡位置，以O点为起点，C点为终点，故位移大小为OC，位移方向向右，振子从A点到O点做加速运动，加速度方向与速度方向相同，A、D正确。]
考点2 描述简谐运动的物理量
1．振幅与位移、路程、周期的关系
(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。
(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅。
(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
2．对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。
(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征。
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征：历时一个周期。
③路程特征：振幅的4倍。
④相位特征：增加2π。
【典例2】 如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A首次到O的时间；
(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小。
思路点拨：解此题关键有两点：
(1)振子的振动范围是振幅的2倍；
(2)振动具有周期性，且一个周期内的路程是振幅的4倍。
[答案] (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s (3)1 000 cm 10 cm
3．简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像即x -t图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移x随时间t变化的规律。
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。
(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。常解决的两类问题：一是根据振动方程作出振动图像；二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，写出位移的函数表达式。
4．由简谐运动的图像获取的信息
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向
如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(2)任意时刻质点的运动方向
根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。
(3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小。
角度1 根据图像分析物理量
【典例3】 (多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动周期是2×10-2s
B．第2个10-2s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
√
√
√
思路点拨：解此题的关键是从图像中正确获取周期和振幅的信息。
[跟进训练]
2．(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N位移是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
√
√
AC [物体经过平衡位置向正方向运动，先后经过P、Q两点，故位移增大，速度减小，A正确，B错误；物体从正方向最大位移处向负方向运动，先后经过M、N两点，且N点在平衡位置另一侧，故从M→N位移先减小后增大，C正确，D错误。]
角度2 简谐运动的表达式
【典例4】 A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出：
(1)A的振幅是________cm，周期是_____s；B的振幅是______ cm，周期是_____ s。
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
0.5
0.4
0.2
0.8
[母题变式]
在上例中，t＝0.05 s时两质点的位移分别是多大？
√
考点4 简谐运动的周期性和对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，一物体以O为平衡位置，在A、B之间做简谐运动，其中OC＝OD，则有以下规律。
1．时间的对称
(1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tD O＝tO C＝tC O。
2．速度的对称
(1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3．位移的对称
(1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反。
【典例5】 如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后经过a、b两点时的速度相同，且从a到b历时0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，aO＝bO，c、d为振子最大位移处，则该振子的振动频率为( )
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
√
√
√
学习效果·随堂评估自测
1．质点运动的位移x与时间t的关系如图所示，其中不属于机械振动的是( )
2
4
3
题号
1
A B
C D
√
D [根据机械振动的定义可知，A、B、C均在某一平衡位置附近往复运动，故A、B、C均为机械振动，不符合题意，故A、B、C错误；而D中的物体没有往复运动过程，不属于机械振动，符合题意，故D正确。]
2
4
3
题号
1
2．关于机械振动的位移和平衡位置的说法中正确的是( )
A．简谐运动的平衡位置就是物体振动范围的中心位置
B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
2
3
题号
1
4
√
B [简谐运动的平衡位置就是物体所受回复力为零的位置，不一定是振动范围的中心，故A错误；机械振动的位移是指以平衡位置为起点的位移，故B正确；机械振动的物体运动的路程越大发生的位移不一定大，故C错误；机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置的距离，偏离平衡位置最远时的位移叫振幅，故D错误。故选B。]
2
3
题号
1
4
3．(多选)弹簧振子在A、B之间做简谐运动，如图所示，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s。则( )
A．振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
D．振子过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
2
3
题号
4
1
√
√
2
3
题号
4
1
4．(新情境题，借助传感器分析简谐运动表达式)某实验小组利用数字实验系统探究弹簧振子的运动规律，装置如图所示，水平光滑导轨上的滑块与轻弹簧组成弹簧振子，滑块上固定有传感器的发射器。把弹簧拉长5 cm后由静止释放，滑块开始振动。他们分析位移—时间图像后发现，滑块的运动是简谐运动，滑块从最右端运动到最左端所用时间为1 s，则弹簧振子的振动频率为多少？以释放的瞬时为初始时刻、向右为正方向，求滑块运动的表达式。
2
4
3
题号
1
2
4
3
题号
1
[答案] 0.5 Hz x＝5cos πt(cm)
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．弹簧振子的运动具有什么特点？
提示：(1)围绕着“一个中心”位置；
(2)偏离“平衡位置”有最大位移；
(3)在两点间“往复”运动。
2．简谐运动中振动物体经过某一位置时，加速度和速度方向是否一致？
提示：不一定。振动物体经过某一位置时，加速度方向始终指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置。
3．如何判断一个振动过程是不是为一个全振动？
提示：在判断物体的运动过程是否为一次全振动时不仅要看物体是否回到原位置，而且要判断物体到达该位置的振动状态(速度、加速度、位移)是否与原位置相同。
4．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圆频率、初相位。1．简谐运动及其图像
1．知道什么是弹簧振子和简谐运动。
2．知道振幅、周期、频率、相位、全振动等概念。
3．理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦函数图线。理解简谐运动的表达式。
4．通过对简谐运动图像的描绘，认识简谐运动的特点。
5．通过对生活中振动实例的观察，体会振动对生活的影响。
知识点一 机械振动和弹簧振子
1．机械振动：物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动，叫作机械振动，简称振动。这个位置称为平衡位置。
注意：机械振动是机械运动的一种。
2．弹簧振子
如图所示，将弹簧上端固定，下端连接一个小球，小球可在竖直方向上运动。弹簧的质量比小球的质量小得多，可以忽略不计，若不计空气阻力，这样的系统称为弹簧振子。
弹簧振子在平衡位置两侧做什么运动？
提示：往复运动。
知识点二 简谐运动
1．定义
如果质点的位移与时间的关系严格遵从正弦函数的规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的运动叫作简谐运动。
2．特点
简谐运动是最简单、最基本的振动，弹簧振子的运动就是简谐运动。
知识点三 描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅。用A表示，国际单位为米(m)。
(2)物理含义：振幅是描述振动强弱的物理量；振动物体的运动范围是振幅的两倍。
2．全振动
一个完整的振动过程，称为一次全振动。振动物体完成一次全振动的时间总是相同的。此时，位移、速度第一次同时与初始状态相同，即物体从同一方向回到出发点。
3．周期(T)和频率(f)
(1)周期T：做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间。单位：秒(s)。
(2)频率f：物体完成全振动的次数与所用时间的比。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。
(3)周期T与频率f的关系式：T＝。
4．相位
相位是描述做周期性运动的物体在各个时刻所处状态的物理量。
知识点四 简谐运动的表达式
1．表达式：简谐运动的表达式可以写成
x＝A sin 或x＝A sin ＝A sin (2nft＋φ)。
2．表达式中各量的意义
(1)“A”表示简谐运动的振幅。
(2)“ω”是一个与频率成正比的物理量，叫简谐运动的圆频率。
(3)“T”表示简谐运动的周期，“f”表示简谐运动的频率，它们之间的关系为T＝。
(4)“t＋φ”或“2πft＋φ”表示简谐运动的相位。
(5)“φ”表示简谐运动的初相位，简称初相。
(1)相位ωt＋φ是随时间变化的一个变量。
(2)相位每增加2π就意味着完成了一次全振动。
1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)平衡位置即速度为零的位置。 (×)
(2)竖直弹簧振子的平衡位置是弹簧的原长位置。 (×)
(3)振动图像表示质点相对平衡位置的位移随时间变化的规律。 (√)
(4)由振动图像可判断任一时刻质点的速度方向。 (√)
(5)振幅就是指振子的位移。 (×)
(6)始末速度相同的一个过程一定是一次全振动。 (×)
(7)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关。 (×)
(8)按x＝5sin cm的规律振动的弹簧振子的振动周期为 s。 (√)
2：填空
如图所示的弹簧振子，O点为它的平衡位置，当振子从A点运动到C点时，振子离开平衡位置的位移是______________(选填“OC”“AC”或“CO”)，从A点直接运动到C点的过程中，振子位移变______________(选填“小”或“大”)，速度变______________(选填“小”或“大”)。
[答案] OC 小 大
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右运动了一段时间，最终停止运动。
(1)小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
(2)在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一次实验有何不同？
(3)猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小得多，也忽略不计，实验结果如何？
提示：(1)小球的运动具有往复性。小球因为受到阻力的作用最终停止运动。
(2)小球往复运动的次数增多，运动时间变长。
(3)小球将持续地做往复运动。
考点1 弹簧振子
1．振子模型：有水平弹簧振子和竖直弹簧振子，如图甲、乙所示。空气阻力及球与杆之间的摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比可以忽略。
甲 乙
2．振动系统看成弹簧振子的条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质 量集中于振子。
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点。
(3)摩擦力可以忽略。
(4)小球从平衡位置被拉开的距离在弹性限度内。
3．弹簧振子的振动分析
(1)位移及其变化
位移指相对平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置。当振子从平衡位置向最大位移处运动时，位移增大；当振子由最大位移处向平衡位置运动时，位移减小。
(2)速度及其变化
振子在平衡位置处速度最大，在最大位移处速度为零。振子由平衡位置向最大位移处运动时，速度减小；振子由最大位移处向平衡位置运动时，速度增大。
(3)涉及加速度变化的图像问题
水平弹簧振子所受弹簧的弹力是振子受到的合力，竖直弹簧振子所受的重力与弹力之和是振子受到的合力。不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子，均满足：在平衡位置处所受的合力为零，加速度为零；而在最大位移处所受的合力最大，加速度最大。
【典例1】 一弹簧振子做简谐运动，下列说法正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．振子每次通过同一位置时，加速度相同，速度也一定相同
D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
D [简谐运动中的位移、速度和加速度不是彼此独立的物理量，在同一位置，位移和加速度的方向是一定的，而速度方向有两种可能。表解如下：
选项 分析 判断
A 如图所示，设弹簧振子在A、B之间振动，O是它的平衡位置，并设向右为正方向。在振子由O向A运动的过程中，振子的位移、速度为负值，加速度为正值。 ×
B 振子通过平衡位置时，加速度为零，速度最大。 ×
C 振子每次通过同一位置时，速度大小相等，方向可能相同也可能相反，但加速度一定相同。 ×
D √
]
振动分析的三点注意
(1)位移、速度、加速度都是矢量，矢量相同，必须是大小和方向都相同。
(2)振子在某位置时对应的位移方向与加速度方向一定相反。
(3)除最大位移处外，振子连续两次经过同一位置时的速度大小相等，方向相反。
[跟进训练]
1．(多选)如图所示，有一弹簧振子，O点为平衡位置，当振子从A点运动到C点时，其相对于平衡位置( )
A．振子的位移大小为OC
B．振子的位移大小为AC
C．振子的位移方向向左
D．振子从A点运动到C点过程中，加速度方向与速度方向相同
AD [振子离开平衡位置，以O点为起点，C点为终点，故位移大小为OC，位移方向向右，振子从A点到O点做加速运动，加速度方向与速度方向相同，A、D正确。]
考点2 描述简谐运动的物理量
1．振幅与位移、路程、周期的关系
(1)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。
(2)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅。
(3)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。
2．对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。
(2)正确理解全振动的概念，还应注意把握全振动的四个特征。
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征：历时一个周期。
③路程特征：振幅的4倍。
④相位特征：增加2π。
【典例2】 如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A首次到B的时间为0.1 s，求：
(1)振子振动的振幅、周期和频率；
(2)振子由A首次到O的时间；
(3)振子在5 s内通过的路程及偏离平衡位置的位移大小。
思路点拨：解此题关键有两点：
(1)振子的振动范围是振幅的2倍；
(2)振动具有周期性，且一个周期内的路程是振幅的4倍。
[解析] (1)由题图可知，振子振动的振幅为10 cm，t＝0.1 s＝，所以T＝0.2 s。由f＝得f＝5 Hz。
(2)根据简谐运动的对称性可知，振子由A首次到O的时间与振子由O首次到B的时间相等，均为0.05 s。
(3)设弹簧振子的振幅为A，A＝10 cm。振子在1个周期内通过的路程为4A，故在t＝5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm；5 s内振子振动了25个周期，故5 s末振子仍处在A点，所以振子偏离平衡位置的位移大小为10 cm。
[答案] (1)10 cm 0.2 s 5 Hz (2)0.05 s (3)1 000 cm 10 cm
考点3 简谐运动及其图像、表达式
1．简谐运动：简谐运动的位移随时间按正弦函数的规律变化，所以不是匀变速运动，而是在变力作用下的非匀变速运动。
2．对表达式x＝A sin (ωt＋φ)的理解
(1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间。
(2)由于ω＝＝2πf，所以表达式也可写成：
x＝A sin 或x＝A sin (2πft＋φ)。
3．简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像即x -t图像是描述质点振动情况的一种手段，直观反映了质点的位移x随时间t变化的规律。
(2)x＝A sin (ωt＋φ)是用函数表达式的形式表示质点的振动情况。
(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。常解决的两类问题：一是根据振动方程作出振动图像；二是根据振动图像读出振幅、周期、初相，写出位移的函数表达式。
4．由简谐运动的图像获取的信息
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向
如图所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
(2)任意时刻质点的运动方向
根据下一时刻质点的位移确定运动方向，如图中的a点，下一时刻质点离平衡位置更远，故a点对应时刻质点向正方向远离平衡位置运动。
(3)任意时刻质点的速度、加速度、位移的变化情况根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小。
角度1 根据图像分析物理量
【典例3】 (多选)如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动周期是2×10-2s
B．第2个10-2s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
思路点拨：解此题的关键是从图像中正确获取周期和振幅的信息。
BCD [由题图可知，物体完成一次全振动需要的时间为4×10-2s，故周期为T＝4×10-2s，A错误；在第2个10-2s内，即在1×10-2s到2×10-2s内物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝＝Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体的最大位移为10 cm，故振幅为10 cm，D正确。]
振幅与路程的关系
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。一个周期内的路程为4倍的振幅。
(1)若从特殊位置开始计时，如平衡位置、最大位移处，周期内的路程等于振幅。
(2)若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间没有确定关系，路程可能大于、等于或小于振幅。
[跟进训练]
2．(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N位移是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
AC [物体经过平衡位置向正方向运动，先后经过P、Q两点，故位移增大，速度减小，A正确，B错误；物体从正方向最大位移处向负方向运动，先后经过M、N两点，且N点在平衡位置另一侧，故从M→N位移先减小后增大，C正确，D错误。]
角度2 简谐运动的表达式
【典例4】 A、B两个简谐运动的位移—时间图像如图所示。
请根据图像写出：
(1)A的振幅是______________cm，周期是______________s；B的振幅是______________ cm，周期是______________ s。
(2)写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
[解析] (1)由题图知，A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s。
(2)由题图知，t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φA＝π，由TA＝0.4 s，得wA＝＝5π rad/s。则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin (5πt＋π)cm。t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φB＝，由TB＝0.8 s，得wB＝＝2.5π rad/s, 则简谐运动的表达式为xB＝0.2sin cm。
[答案] (1)0.5 0.4 0.2 0.8
(2)xA＝0.5sin (5πt＋π) cm
xB＝0.2sin cm
[母题变式]
在上例中，t＝0.05 s时两质点的位移分别是多大？
[解析] 将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得xA＝0.5sin (5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm；
xB＝0.2sin cm＝0.2sin π cm。
[答案] xA＝－ cm xB＝0.2sin π cm
应用简谐运动的函数表达式解题的四点技巧
(1)明确振幅A、周期T、频率f的对应数值，其中T＝，f＝。
(2)把明确的物理量与所要求解的问题相对应，找到对应关系。
(3)同频率的两个简谐运动进行比较时，相位差的取值范围一般为－π≤Δφ≤π。
(4)比较相位或计算相位差时，一定要用同种函数来表示振动方程。
[跟进训练]
3．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的函数关系式为x＝5sin cm，则下列关于质点运动的说法正确的是( )
A．质点做简谐运动的振幅为10 cm
B．质点做简谐运动的周期为4 s
C．在t＝4 s时质点的速度最大
D．在t＝4 s时质点的加速度最大
C [由位移随时间变化的函数关系式x＝5sin cm，可知质点做简谐运动的振幅为5 cm，圆频率ω＝rad/s，则周期为T＝＝8 s，故A、B错误；在t＝4 s时质点的位移为零，说明质点正通过平衡位置，速度最大，加速度最小，故C正确，D错误。]
考点4 简谐运动的周期性和对称性
简谐运动是一种周期性的运动，简谐运动的物理量随时间周期性变化，如图所示，一物体以O为平衡位置，在A、B之间做简谐运动，其中OC＝OD，则有以下规律。
1．时间的对称
(1)物体来回通过相同两点间的时间相等，即tDB＝tBD。
(2)物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等，图中tDB＝tBD＝tCA＝tAC，tOD＝tD O＝tO C＝tC O。
2．速度的对称
(1)物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。
3．位移的对称
(1)物体经过同一点(如C点)时，位移相同。
(2)物体经过关于O点对称的两点(如C与D)时，位移大小相等、方向相反。
【典例5】 如图所示，水平方向的弹簧振子振动过程中，振子先后经过a、b两点时的速度相同，且从a到b历时0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，aO＝bO，c、d为振子最大位移处，则该振子的振动频率为( )
A．1 Hz B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
B [由题图可知，a、b两点关于平衡位置对称，从a到b历时t1＝0.2 s，从b再回到a的最短时间为0.4 s，即从b到c所用时间为t2＝s＝0.1 s，所以弹簧振子振动的周期为T＝4＝0.8 s，则振动频率为f＝＝1.25 Hz，故B正确，A、C、D错误。]
由于简谐运动是一种变加速运动，所以计算简谐运动的周期，往往要利用简谐运动的对称性，先计算出从平衡位置到最大位移处(或从最大位移处到平衡位置)的时间，即，再计算一个周期T的大小。
[跟进训练]
4．(多选)一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t＝0时振子的位移为－0.1 m，t＝1 s时位移为0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为 s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4 s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6 s
AD [若振幅为0.1 m，自题意知，Δt＝T(n＝0，1，2，…)，解得T＝s，(n＝0，1，2，…)，代入n＝1，则T＝ s，A项正确，代入T＝ s，则n＝0.75不符上式要求，B项错误；若振幅为0.2 m，t＝0时，由振子做简谐运动的表达式y＝0.2sin m可知，0.2sin φ0 m＝－0.1 m，解得φ0＝－或φ0＝－；t＝1 s时，有＝0.1 m，将T＝6 s代入0.2sin m＝0.1 m可知，D项正确；将T＝4 s代入0.2sin m≠0.1 m可知，C项错误。]
1．质点运动的位移x与时间t的关系如图所示，其中不属于机械振动的是( )
A B
C D
D [根据机械振动的定义可知，A、B、C均在某一平衡位置附近往复运动，故A、B、C均为机械振动，不符合题意，故A、B、C错误；而D中的物体没有往复运动过程，不属于机械振动，符合题意，故D正确。]
2．关于机械振动的位移和平衡位置的说法中正确的是( )
A．简谐运动的平衡位置就是物体振动范围的中心位置
B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
B [简谐运动的平衡位置就是物体所受回复力为零的位置，不一定是振动范围的中心，故A错误；机械振动的位移是指以平衡位置为起点的位移，故B正确；机械振动的物体运动的路程越大发生的位移不一定大，故C错误；机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置的距离，偏离平衡位置最远时的位移叫振幅，故D错误。故选B。]
3．(多选)弹簧振子在A、B之间做简谐运动，如图所示，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，完成30次全振动所用时间为60 s。则( )
A．振动周期是2 s，振幅是8 cm
B．振动频率是2 Hz
C．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
D．振子过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
CD [由题意可知振动周期T＝ s＝2 s，振幅A＝ cm＝4 cm，故A错误；频率f＝＝Hz＝0.5 Hz，故B错误；振子完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4 cm＝16 cm，故C正确；振子在3 s内通过的路程为·4A＝×4×4 cm＝24 cm，故D正确。]
4．(新情境题，借助传感器分析简谐运动表达式)某实验小组利用数字实验系统探究弹簧振子的运动规律，装置如图所示，水平光滑导轨上的滑块与轻弹簧组成弹簧振子，滑块上固定有传感器的发射器。把弹簧拉长5 cm后由静止释放，滑块开始振动。他们分析位移—时间图像后发现，滑块的运动是简谐运动，滑块从最右端运动到最左端所用时间为1 s，则弹簧振子的振动频率为多少？以释放的瞬时为初始时刻、向右为正方向，求滑块运动的表达式。
[解析] 滑块从最右端运动到最左端所用时间为1 s，知周期T＝2 s
则振动频率f＝＝0.5 Hz
ω＝2πf＝π rad/s
根据x＝A sin (ωt＋φ)知
A＝5 cm，φ＝
所以x＝5sin ＝5cos πt(cm)。
[答案] 0.5 Hz x＝5cos πt(cm)
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．弹簧振子的运动具有什么特点？
提示：(1)围绕着“一个中心”位置；
(2)偏离“平衡位置”有最大位移；
(3)在两点间“往复”运动。
2．简谐运动中振动物体经过某一位置时，加速度和速度方向是否一致？
提示：不一定。振动物体经过某一位置时，加速度方向始终指向平衡位置，但速度方向可能指向平衡位置，也可能背离平衡位置。
3．如何判断一个振动过程是不是为一个全振动？
提示：在判断物体的运动过程是否为一次全振动时不仅要看物体是否回到原位置，而且要判断物体到达该位置的振动状态(速度、加速度、位移)是否与原位置相同。
4．简谐运动的表达式中含有哪些物理信息？
提示：振幅、圆频率、初相位。
课时分层作业(六) 简谐运动及其图像
?题组一 弹簧振子及其运动分析
1．如图所示，一弹性小球被水平抛出，在两个互相竖直平行的平面间运动，小球落在地面之前的运动( )
A．是机械振动，但不是简谐运动
B．是简谐运动，但不是机械振动
C．是简谐运动，同时也是机械振动
D．不是简谐运动，也不是机械振动
D [简谐运动的位移随时间的关系严格遵从正弦函数规律，其运动表达式为x＝A sin ωt，小球的运动位移随时间的变化不遵从正弦函数的规律，所以不是简谐运动。机械振动是指物体或质点在其平衡位置两侧作有规律的往复运动，小球的运动也不符合，故小球在两墙壁间反弹运动不是简谐运动，也不是机械振动。故选D。]
2．(多选)弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，关于小球的平衡位置，下列说法正确的是( )
A．在小球运动的最低点
B．在弹簧处于原长时的位置
C．在小球速度最大时的位置
D．在小球原来静止时的位置
CD [平衡位置是振动系统不振动时，小球(振子)处于平衡状态时所处的位置，可知此时小球所受的重力大小与弹簧的弹力大小相等，即mg＝kx，也即小球原来静止的位置，故D正确，A、B错误；当小球处于平衡位置时，其加速度为零，速度最大，C正确。]
?题组二 简谐运动及其图像
3．如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，设向右为正方向，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经过周期，振子具有正方向的最大加速度，那么如图所示的四个振动图像中能正确反映振动情况的是( )
A B
C D
D [因为经过周期时，振子具有正方向的最大加速度，由简谐运动的特征a＝－可知，t＝时振子位于负向最大位移处，说明t＝0时刻振子的位移为0，且向负方向运动，故D正确，A、B、C错误。故选D。]
4．装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图所示。将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动。若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图像可能正确的是( )
A B
C D
D [试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，开始时，试管由正向最大位移处开始运动，故正确选项为D。]
?题组三 描述简谐运动的物理量
5．(多选)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，则( )
A．从B→O→C→O→B为一次全振动
B．从O→B→O→C→B为一次全振动
C．从C→O→B→O→C为一次全振动
D．B、C两点关于O点对称
ACD [O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，即A正确；若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，即B错误；若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，即C正确；因弹簧振子的系统摩擦不考虑，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确。]
6．如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的书写式激光笔，组成一弹簧振子，并将其悬挂于教室内一体机白板的前方，使弹簧振子沿竖直方向上下自由振动，白板以速率v水平向左匀速运动，激光笔在白板上留下如图所示的书写印迹，图中相邻竖直虚线的间距均为x0(未标出)，印迹上P、Q两点的纵坐标为y0和－y0，忽略空气阻力，重力加速度为g，则( )
A．激光笔在留下P、Q两点时加速度相同
B．激光笔在留下PQ段印迹的过程中，弹簧弹力对激光笔做功为－2mgy0
C．该弹簧振子的振幅为2y0
D．该弹簧振子的振动周期为
B [加速度是矢量，激光笔在留下P、Q两点时加速度大小相等，方向相反，故A错误；在激光笔留下PQ段印迹的过程中，根据动能定理可知，合力做功为零，但重力做正功为2mgy0，故弹力对激光笔做负功，为－2mgy0，故B正确；白板匀速运动，振子振动的周期等于白板运动位移2x0所用的时间，则周期为T＝，振幅为A＝y0，故C、D错误。故选B。]
?题组四 简谐运动的表达式
7．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3sin m
B．x＝4×10-3sin m
C．x＝8×10-3sin m
D．x＝4×10-3sin m
B [t＝0时刻振子具有正向最大加速度，说明此时振子的位移是负向最大，则位移与时间的函数关系式x＝A sin (ωt＋φ0)中，φ0＝－，圆频率ω＝＝ rad/s＝4π rad/s，则位移与时间的函数关系式为x＝0.4sin cm＝4×10-3sin m。B正确。]
8．(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin m。比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s
C．A振动的圆频率ωA等于B振动的圆频率ωB
D．A的相位始终超前B的相位
CD [振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误；A、B的圆频率ω＝100 rad/s，周期T＝＝ s≈6.28×10-2 s，B错误，C正确；Δφ＝φAO－φBO＝为定值，D正确。]
1．(多选)一个质点以O点为平衡位置，在A、B间做简谐运动，如图(a)所示，它的振动图像如图(b)所示，设向右为正方向，下列说法错误的是( )
A．该质点的振动方程为x＝0.05sin (2.5πt)m
B．0.2 s末质点的速度方向向右
C．0.2～0.3 s质点做加速运动
D．0.7 s时质点的位置在O与B之间
ABC [由题图(b)得质点振动的振幅为0.05 m，周期T＝0.8 s，故ω＝＝ rad/s＝2.5π rad/s，故该质点的振动方程为x＝0.05sin(2.5πt＋θ)m，且当t＝0时，x＝0.05 s，代入可得θ＝，故该质点的振动方程为x＝0.05sin(2.5πt＋)m，故A符合题意；根据振动图像得0.2 s末质点经过平衡位置向负向最大位移振动，所以此时速度方向从O指向A，方向向左，故B符合题意；0.2～0.3 s质点由平衡位置向负向最大位移振动，此过程速度的方向与所受力的方向相反，故质点在做减速运动，故C符合题意；0.7 s质点在平衡位置和正向最大位移处之间，所以在O与B之间，故D不符合题意。故选A、B、C。]
2．如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为( )
A．x＝R sin (ωt－) B．x＝R sin (ωt＋)
C．x＝2R sin (ωt－) D．x＝2R sin (ωt＋)
B [由图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为x＝R sin (ωt＋φ)，由图可知，当t＝0时，P的位移为R，代入振动方程解得φ＝，则P做简谐运动的表达式为x＝R sin ，故B正确，A、C、D错误。故选B。]
3．(新情境题)如图所示，固定着的钢条上端有一小球，在竖直平面内在虚线位置附近发生振动，图中是小球振动能达到的最左侧，振动周期为0.3 s。在小球振动到最左侧时，用周期为0.1 s的频闪光源照射，得到的图像是( )
A B C D
C [振动的周期是0.3 s，则圆频率ω＝＝ rad/s，以平衡位置向右为正方向，若初始时刻球在最左端，则初相位为－，0.1 s时刻对应的角度θ1＝×0.1 rad－ rad＝ rad，0.2 s时刻对应的角度θ2＝×0.2 rad－ rad＝π rad，可知，在0.1 s和0.2 s时刻小球将出现在同一个位置，都在平衡位置的右侧，所以在周期为0.1 s的频闪光源照射下得到的图像是C图。故C正确。]
4．(多选)(2023·山东卷)如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是( )
A．，3t B．，4t
C．t D．t
BC [作出质点的振动图像，如图所示，若平衡位置在A点的右侧，则有＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＝t，解得周期T＝；若平衡位置在A点的左侧，则有＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＝t，解得周期T＝4t，B、C正确，A、D错误。
]
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