素养培优课(二) 波的图像与振动图像、波的多解问题
1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。
2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
考点1 波的图像与振动图像的综合问题
振动图像和波的图像从形状上看都是正弦曲线，但两种图像的物理意义、坐标中描述的物理量、研究的内容等方面有着本质的区别和联系，现比较如下：
振动图像 波的图像
不同点 物理意义 表示一质点的各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
研究对象 一振动质点 沿波传播方向所有质点
研究内容 一质点位移随时间变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律
图像
图线随 时间变 化情况 图线随时间延伸，原有部分图形不变 整个波形沿波的传播方向平移，不同时刻波形不同
比喻 单人舞的录像 抓拍的集体舞照片
相同点及联系 图像形状 正弦曲线
可获得 的信息 质点振动的振幅、位移、加速度的方向
联系 质点的振动是组成波动的基本要素
【典例1】 一列简谐横波沿x轴负方向传播，如图所示，其中图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是该波中某振动质点的位移随时间变化的图像(两图用同一时刻作为起点)。
甲 乙
(1)图乙可能是图甲中哪个质点的振动图像______________(填正确选项即可)；若该波沿x轴正方向传播，则图乙可能是图甲中哪个质点的振动图像______________ (填正确选项即可)。
A．x＝0处的质点 B．x＝1 m处的质点
C．x＝2 m处的质点 D．x＝3 m处的质点
(2)画出x＝3 m处的质点的振动图像。
思路点拨：题中给出了t＝1 s时的波形图和介质中某质点的振动图像，可根据波的传播方向和质点振动方向的关系进行分析。
[解析] (1)当t＝1 s时，由题图乙可知，此时该质点在平衡位置，正要沿y轴负方向运动，由于该波沿x轴负方向传播，由题图甲知此时x＝0处的质点在平衡位置，且正沿y轴负方向运动，故A正确。若该波沿x轴正方向传播，由题图甲可知，t＝1 s时x＝2 m处的质点在平衡位置，且正沿y轴负方向运动，故C正确。
(2)在t＝1 s时，x＝3 m处的质点在正向最大位移处，可得振动图像如图所示。
[答案] (1)A C (2)见解析图
(1)如果已知波形图和波的传播方向，可以确定质点的振动方向；如果已知质点的振动方向和波的图像，可以确定波的传播方向。
(2)在分析和解答这类问题时，要看清是哪一时刻的波形图，对应着振动图像中哪一时刻质点正在向哪一方向振动，最后由振动方向与波的传播方向的关系求解。
[跟进训练]
1．图甲为一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，图乙为该波中平衡位置坐标为x＝6 m处质点P的振动图像，则下列说法正确的是( )
A．该波的传播方向沿x轴正方向
B．在t＝0.5 s时刻，图甲中质点P相对平衡位置的位移为10 cm
C．在t＝1 s时刻，平衡位置在x＝5 m处的质点的位移为10 cm
D．从t＝0时刻开始至t＝6 s时刻结束，在这段时间内，平衡位置在x＝5 m处的质点通过的路程为120 cm
D [在题图乙上读出t＝0时刻质点P的振动方向沿y轴正方向，在题图甲上判断出该波的传播方向沿x轴负方向，故A错误；t＝0.5 s时刻，根据题图乙，可知质点P相对平衡位置的距离为y＝A sin (ωt)＝20sin cm＝10 cm，故B错误；根据题图甲可知波长λ＝8 m，根据题图乙可知周期T＝4 s，则波速v＝＝2 m/s，在t＝1 s时刻，波向左传播的距离为vt＝2 m，即题图甲中x＝7 m处质点的振动形式传播到了x＝5 m处，根据数学知识，可知题图甲x＝7 m处质点的位移为A sin ＝10 cm，所以t＝1 s时刻x＝5 m处的质点的位移为10 cm，故C错误；6 s＝1.5T，波上的质点每0.5T振动的路程为2A，所以平衡位置在x＝5 m处的质点通过的路程为6A＝6×20 cm＝120 cm，故D正确。]
考点2 波的多解问题
由于振动具有周期性，介质中振动的质点会在不同时刻多次达到同一位置，故波在传播过程中容易出现多解问题。
1．造成波的多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．波动问题的几种可能性
(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)两种可能。
(3)只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能。
(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
【典例2】 一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，问：
(1)这列波的可能波速的表达式？
(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速多大？
(3)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
思路点拨：(1)由图可直接读出振幅和波长。
(2)由于波形的周期性和双向性，可分两种情况写出通项。
(3)根据题设给定的时间或波速代入通项进行判断。
[解析] (1)由题图可知，波长λ＝8 m，因未明确波的传播方向和Δt与T的关系，故有两组系列解。
当波向右传播时：
v右＝＝ m/s＝4(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…) ①
当波向左传播时：
v左＝＝ m/s＝4(4n＋3) m/s(n＝0，1，2，…)。 ②
(2)明确了波的传播方向，并限定3T＜Δt＜4T，设此时间内波传播距离为s，则有3λ＜s＜4λ
即n＝3，代入②式
v左＝4(4n＋3) m/s＝4×(4×3＋3) m/s＝60 m/s。
(3)给定的波速v＝68 m/s，则给定时间Δt内波传播距离x＝v·Δt＝68×0.5 m＝34 m＝ λ，故波向右传播。
[答案] (1)v右＝4(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…) v左＝4(4n＋3) m/s(n＝0，1，2，…) (2)60 m/s (3)向右传播
解决波的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT(n＝0，1，2，…)，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ(n＝0，1，2，…)。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，熟知波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向上、向下(或向左、向右)两方向振动的可能。
[跟进训练]
2．一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2 s时的波形如图(a)所示，x＝2 m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是( )
(a) (b)
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
A [根据题图(b)可知t＝2 s时x＝2 m处的质点正经过平衡位置向下振动，又因为该波向负方向传播，结合题图(a)，利用“上下坡”法可知x＝2 m为半波长的奇数倍，即有＝2 m(n＝1，2，3，…)，而由图(b)可知该波的周期为T＝4 s，所以该波的波速为v＝＝ m/s(n＝1，2，3，…)，当n＝3时可得波速为v＝ m/s。故选A。]
素养培优练(二) 波的图像与振动图像、波的多解问题
一、选择题
1．根据如图所示的甲、乙两图像，分别判断它们属于何种图像( )
甲 乙
A．甲是振动图像，乙是波的图像
B．甲是波的图像，乙是振动图像
C．都是波的图像
D．都是振动图像
B [波的图像横轴为x轴，表示介质中各振动质点的平衡位置，振动图像横轴为t轴，表示时间。故B正确。]
2．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示。当t＝7 s时，简谐波的波的图像可能正确的是( )
A B
C D
AC [由振动图像可知波的振幅A＝20 cm，波的周期T＝12 s，从振动图像上可以看出t＝7 s时平衡位置位于原点O的质点相对平衡位置的位移为y7＝－A，且向下运动，故B、D项错误。A图该质点位移符合条件，且当波沿x轴负方向传播时向下运动，符合题意，A项正确；C图该质点位移符合条件，且当波沿x轴正方向传播时向下运动，符合题意，C项正确。]
3．(多选)一列简谐横波沿x轴传播，如图所示，实线为t1＝2 s时的波形图，虚线为t2＝5 s时的波形图。以下关于平衡位置在O处质点的振动图像，可能正确的是( )
A B
C D
AC [由题图可知波长λ＝4 m，若波沿x轴正向传播，则t1到t2时间内波形平移的距离为Δx＝3＋4n(m)(n＝0，1，2，…)，则波速v＝，将Δt＝t2－t1代入数据可得v＝1＋n(m/s)(n＝0，1，2，…)，由T＝代入数据可解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，若n＝0，则T＝4 s，由实线波形图可知t1＝2 s时质点O在平衡位置且向y轴正向运动，由振动图像可知A正确，B错误；若波沿x轴负向传播，则t1到t2时间内波形平移的距离为Δx＝1＋4n(m)(n＝0，1，2，…)，则波速v＝，将Δt＝t2－t1代入数据可得v＝n(m/s)(n＝0，1，2，…)，由T＝代入数据可解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，若n＝0，则T＝12 s，由实线波形图可知t1＝2 s时质点O在平衡位置且向y轴负向运动，由振动图像可知C正确，D错误。]
4．(多选)如图甲所示，S是上下振动的波源，它所产生的横波分别沿直线向左、右两边传播，形成两列简谐横波，在波源左、右两侧有Q、P两点，与波源S在同一水平直线上，它们的振动图像分别是图乙和图丙，且SP＝18 m，SQ＝16 m，则这两列波的波速可能值是( )
A．17 m/s B．12 m/s
C．10 m/s D．2 m/s
CD [由于波向左传播、向右传播具有对称性，可在S点右侧找Q点的对称点Q′来处理，Q′和P之间有nλ＋＝2 m(n＝0，1，2，…)，可得λ＝ m(n＝0，1，2，…)，周期为T＝0.4 s，因此可得v＝＝ m/s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，v＝10 m/s，当n＝2时，v＝2 m/s，故选C、D。]
5．(多选)如图所示，一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b是x轴上相距l＝3 m(l<λ)的两质点。某时刻质点a的位移达到正最大值，质点b恰好处在平衡位置且向负方向运动，经t＝1 s，质点a恰好处在平衡位置且向负方向运动，质点b的位移达到负向最大值，则该简谐横波传播的速度可能为( )
A．1 m/s B．3 m/s
C．5 m/s D．7 m/s
AC [由题意可知l＝λ＝3 m，在1 s内波传播的距离为x＝ m(n＝0，1，2，…)，则波速v＝＝(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)，则波速可能为1 m/s或者5 m/s，故选A、C。]
6．(多选)图甲为一列简谐波在t＝0时刻的波形图，Q、P为介质中的两个质点，图乙为质点P的振动图像，下列说法中正确的是( )
A．该波传播的速度大小为10 m/s
B．该波沿x轴正向传播
C．t＝0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴负方向
D．t＝0.05 s时，质点Q的加速度大小小于质点P的加速度大小
AD [根据波的图像可知波长为λ＝4 m，根据振动图像可知周期为T＝0.4 s，所以波速为v＝＝10 m/s，故A正确；从振动图像上可以看出P质点在t＝0时刻从平衡位置向下振动，所以波应该沿x轴负方向传播，故B错误；由于波向左传播，波的周期为0.4 s，可知t＝0.1 s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向，故C错误；根据波的传播方向可以知道0～0.05 s的时间内，P从平衡位置向下运动，而Q从原来位置向平衡位置移动，分析可知，t＝0.05 s时Q更衡位置，所以在t＝0.05 s时，质点Q的加速度大小小于质点P的加速度大小，故D正确。]
7．如图所示，甲图为t＝1 s时某向左传播的横波的波形图像，乙图为该波传播方向上某一质点的振动图像，距该质点Δx＝0.5 m处质点的振动图像可能是( )
A B
C D
A [从题图甲可以得到波长为2 m，从题图乙可以得到周期为2 s，即波速为1 m/s；由题图乙的振动图像可以找到t＝1 s时，该质点位移为负，并且向下运动，再经过T就到达波谷，在题图甲中，大致标出这个质点，距该质点Δx＝0.5 m处的质点有左右两个点，若是该点左侧的点，在t＝1 s时位移为正方向且向下运动，对应选项中振动图像t＝1 s时，只有A选项正确；若是该点右侧的点，在t＝1 s时位移为负方向且向上运动，对应选项中振动图像t＝1 s时，没有选项正确。故选A。]
8．如图所示是沿x轴传播的一列横波的波形图，实线表示某时刻的波形，虚线表示0.2 s后的波形，则下列说法正确的是( )
A．若波沿x轴负方向传播，它传播的距离可能是1 m
B．若波沿x轴负方向传播，它传播的距离可能是5 m
C．若波沿x轴正方向传播，它的周期可能是0.08 s
D．若波沿x轴正方向传播，它的周期可能是0.16 s
D [若波沿x轴负方向传播，Δt时间内波传播的距离为Δx＝λ(n＝0，1，2，…)，其中λ＝4 m，得到Δx＝(4n＋3) m(n＝0，1，2，…)，可能的距离为3 m、7 m、11 m、…，故A、B错误；当波沿x轴正方向传播时，Δt和周期T的关系为Δt＝T(n＝0，1，2，…)，所以T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，T＝0.8 s，当n＝1时，T＝0.16 s，当n＝2时，T＝ s，故C错误，D正确。]
9．一列沿着x轴正方向传播的简谐横波，在t1＝0.3 s时的部分波形如图中的实线所示，在t2＝0.5 s时的部分波形如图中的虚线所示，下列说法正确的是( )
A．此列波的波长为1.2 m
B．波速的表达式为v＝(2＋8n)m/s(n＝0，1，2，…)
C．波动周期的表达式为T＝ s(n＝0，1，2，…)
D．若波速为10 m/s，则坐标原点处的质点从t2＝0.5 s 开始再经过0.44 s运动的路程为 m
C [由题图看出波长λ＝1.6 m，A项错误；波向右传播，Δt＝0.2 s时间内，波向右传播的距离为Δx＝＋nλ(n＝0，1，2，…)，波速为v＝，综合可得v＝(4＋8n)m/s(n＝0，1，2，…)，B项错误；由v＝解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，C项正确；由题图可知波的振幅为0.3 m，当v＝10 m/s，由v＝可得T＝0.16 s，则坐标原点处的质点从t2＝0.5 s开始再经过0.44 s发生的路程为s＝×4×0.3 m＝3.3 m，D项错误。]
10．如图甲所示，一列简谐横波在x轴上传播，图乙和图丙分别为x轴上a、b两质点的振动图像，且xab＝6 m。下列说法正确的是( )
甲 乙 丙
A．波一定沿x轴正方向传播
B．波长一定是8 m
C．波速一定是6 m/s
D．波速可能是2 m/s
D [由题中振动图像无法比较a、b两质点振动的先后，所以无法判断波的传播方向，A项错误；若波沿x轴正方向传播时，由题中振动图像得出t＝0时刻，a质点经过平衡位置向下运动，而b质点位于波峰，结合波形可知xab＝λ，n＝0，1，2，…，解得波长λ＝＝ m，则波速为v＝＝ m/s；同理可知，若波沿x轴负方向传播时，波长为λ＝ m，波速为v＝ m/s，n＝0，1，2，…，故B项错误；由以上分析可知，波速不一定等于6 m/s，C项错误；若波速v＝ m/s，n＝0，1，2，…，可知当n＝0时，v＝2 m/s，D项正确。]
二、非选择题
11．一列沿x轴负方向传播的简谐横波，在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为(－1 m，0)和(－9 m，0)，已知t＝0.7 s时，P点第二次出现波峰。
(1)这列波的传播速度为多大？
(2)从t＝0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？
(3)当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？
[解析] (1)由题意可知该波的波长为λ＝4 m
P点与最近波峰的水平距离为3 m，距离下一个波峰的水平距离为s＝7 m，所以v＝＝10 m/s。
(2)Q点与最近波峰的水平距离为s1＝11 m
故Q点第一次出现波峰的时间为t1＝＝1.1 s。
(3)该波中各质点振动的周期为T＝＝0.4 s
Q点第一次出现波峰时P点振动了t2＝0.9 s＝2T＋T＝
质点每振动经过的路程为10 cm，当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程s′＝9A＝90 cm＝0.9 m。
[答案] (1)10 m/s (2)1.1 s (3)0.9 m
12．一列简谐横波在沿x轴的传播方向上，有两个质点a和b，其平衡位置之间的距离为6 m，这两个质点的振动图像分别如图甲中的实线和虚线所示，且质点a离波源较近。
(1)如果a、b间距离小于一个波长，请在图乙中画出a、b间在t＝3 s时的波形图；
(2)求出所有可能的波长值；
(3)求出所有可能的波速大小。
甲 乙
[解析] (1)由题图甲可知t＝3 s时b在平衡位置且沿着y轴正方向运动，而a位于波谷。根据a、b间距离小于一个波长且质点a离波源较近，可得波形图，如图所示。
(2)质点a离波源较近，则波向右传播。结合(1)问可知λ＝6 m(n＝0，1，2，…)，由此可得λ＝ m(n＝0，1，2，…)。
(3)由题图甲可知，T＝6 s。
根据λ＝vT得v＝ m/s(n＝0，1，2，…)。
[答案] (1)见解析图 (2) m(n＝0，1，2，…) (3) m/s(n＝0，1，2，…)
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第三章 机械波
素养培优课(二) 波的图像与振动图像、波的多解问题
培优目标
1．理解波的图像与振动图像的意义及它们之间的关系。
2．理解波的多解性，会分析波的综合问题。
关键能力·情境探究达成
考点1 波的图像与振动图像的综合问题
振动图像和波的图像从形状上看都是正弦曲线，但两种图像的物理意义、坐标中描述的物理量、研究的内容等方面有着本质的区别和联系，现比较如下：
振动图像 波的图像
不同点 物理意义 表示一质点的各时刻的位移 表示某时刻各质点的位移
振动图像 波的图像
不同点 研究对象 一振动质点 沿波传播方向所有质点
研究内容 一质点位移随时间变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律
图像
振动图像 波的图像
不同点 图线随
时间变
化情况 图线随时间延伸，原有部分图形不变 整个波形沿波的传播方向平移，不同时刻波形不同
比喻 单人舞的录像 抓拍的集体舞照片
振动图像 波的图像
相同点及联系 图像形状 正弦曲线
可获得
的信息 质点振动的振幅、位移、加速度的方向
联系 质点的振动是组成波动的基本要素
【典例1】 一列简谐横波沿x轴负方向传播，如图所示，其中图甲是t＝1 s时的波形图，图乙是该波中某振动质点的位移随时间变化的图像(两图用同一时刻作为起点)。
甲 乙
(1)图乙可能是图甲中哪个质点的振动图像______(填正确选项即可)；若该波沿x轴正方向传播，则图乙可能是图甲中哪个质点的振动图像_____ (填正确选项即可)。
A．x＝0处的质点 B．x＝1 m处的质点
C．x＝2 m处的质点 D．x＝3 m处的质点
(2)画出x＝3 m处的质点的振动图像。
思路点拨：题中给出了t＝1 s时的波形图和介质中某质点的振动图像，可根据波的传播方向和质点振动方向的关系进行分析。
A
C
见解析图
[解析] (1)当t＝1 s时，由题图乙可知，此时该质点在平衡位置，正要沿y轴负方向运动，由于该波沿x轴负方向传播，由题图甲知此时x＝0处的质点在平衡位置，且正沿y轴负方向运动，故A正确。若该波沿x轴正方向传播，由题图甲可知，t＝1 s时x＝2 m处的质点在平衡位置，且正沿y轴负方向运动，故C正确。
(2)在t＝1 s时，x＝3 m处的质点在正向最大位移处，可得振动图像如图所示。
规律方法 (1)如果已知波形图和波的传播方向，可以确定质点的振动方向；如果已知质点的振动方向和波的图像，可以确定波的传播方向。
(2)在分析和解答这类问题时，要看清是哪一时刻的波形图，对应着振动图像中哪一时刻质点正在向哪一方向振动，最后由振动方向与波的传播方向的关系求解。
[跟进训练]
1．图甲为一列简谐横波在t＝0时刻的波形图，图乙为该波中平衡位置坐标为x＝6 m处质点P的振动图像，则下列说法正确的是( )
A．该波的传播方向沿x轴正方向
B．在t＝0.5 s时刻，图甲中质点P相对平衡位置的位移为10 cm
C．在t＝1 s时刻，平衡位置在x＝5 m处的质点的位移为10 cm
D．从t＝0时刻开始至t＝6 s时刻结束，在这段时间内，平衡位置在x＝5 m处的质点通过的路程为120 cm
√
考点2 波的多解问题
由于振动具有周期性，介质中振动的质点会在不同时刻多次达到同一位置，故波在传播过程中容易出现多解问题。
1．造成波的多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解。
②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解。
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定。
②振动方向双向性：质点振动方向不确定。
2．波动问题的几种可能性
(1)质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下(或向左、向右)两种可能。
(3)只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能。
(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
【典例2】 一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知Δt＝t2－t1＝0.5 s，问：
(1)这列波的可能波速的表达式？
(2)若波向左传播，且3T<Δt<4T，波速多大？
(3)若波速v＝68 m/s，则波向哪个方向传播？
思路点拨：(1)由图可直接读出振幅和波长。
(2)由于波形的周期性和双向性，可分两种情况写出通项。
(3)根据题设给定的时间或波速代入通项进行判断。
[答案] (1)v右＝4(4n＋1) m/s(n＝0，1，2，…) v左＝4(4n＋3) m/s (n＝0，1，2，…) (2)60 m/s (3)向右传播
规律方法 解决波的多解问题的方法
(1)解决周期性多解问题时，往往采用从特殊到一般的思维方法，即找到一个周期内满足条件的特例，在此基础上再加上时间nT(n＝0，1，2，…)，或找到一个波长内满足条件的特例，在此基础上再加上距离nλ(n＝0，1，2，…)。
(2)解决双向性多解问题时，养成全面思考的习惯，熟知波有向正、负(或左、右)两方向传播的可能，质点有向上、向下(或向左、向右)两方向振动的可能。
[跟进训练]
2．一列沿x轴负方向传播的简谐横波，t＝2 s时的波形如图(a)所示，x＝2 m处质点的振动图像如图(b)所示，则波速可能是( )
√
(a) (b)
