3．动量守恒定律
1．通过实例了解系统、内力和外力的概念。
2．理解动量守恒的内容、表达式，掌握动量守恒的推导过程。
3．探究系统内动量守恒的条件。
4．体会应用动量守恒定律分析实际问题的方法，体会自然界的和谐与统一。
知识点一 系统、内力、外力
1．系统
把两个或多个物体作为一个整体来研究，这个整体叫作系统。
2．内力
系统中物体之间的相互作用力。
3．外力
来自系统外部的作用力。
大人和小孩在冰面上游戏，小孩用力推大人。以大人和小孩组成的系统，涉及重力、推力、摩擦力、支持力作用，哪些是外力？哪些是内力？
提示：重力、 摩擦力、支持力是外力；推力是内力。
知识点二 动量守恒定律
1．内容
如果一个系统不受外力或所受合外力为零，无论这一系统的内部发生了何种形式的相互作用，这个系统的总动量保持不变。
2．表达式
对于在一条直线上运动的两个物体组成的系统，常写成：p1＋p2＝p1′＋p2′或m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′。
3．适用条件
系统不受外力或所受的合外力为零。
如图所示，小车A、B静止在光滑水平面上，烧断细线后，两小车受弹簧弹力的作用而运动，系统动量守恒吗？
提示：守恒。
1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)某个力是内力还是外力是相对的，与系统的选取有关。 (√)
(2)只要合外力对系统做功为零，系统动量就守恒。 (×)
(3)系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零。 (√)
(4)只要系统内存在摩擦力，动量就一定不守恒。 (×)
(5)一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒。 (×)
2：填空
如图所示，游乐场上，两位同学各驾驶一辆碰碰车迎面相撞，此后，两车以共同的速度运动。设甲同学和他的车的总质量为120 kg，碰撞前水平向右运动，速度的大小为5 m/s；乙同学和他的车的总质量为180 kg，碰撞前水平向左运动，速度的大小为4 m/s。则碰撞后两车共同的运动速度大小为______________，方向______________。
碰碰车的碰撞示意图
[解析] 以碰前甲的速度为正方向，设碰撞后两车的共同速度为v，则系统碰撞前的总动量为
p＝m1v1＋m2v2＝120×5 kg·m/s＋180×(－4)kg·m/s＝－120 kg·m/s，
碰撞后的总动量为
p′＝(m1＋m2)v，
根据动量守恒定律可知p＝p′，
代入数据解得v＝－0.4 m/s，
即碰撞后两车以0.4 m/s的共同速度运动，
运动方向水平向左。
[答案] 0.4 m/s 向左
甲
乙
情境1：如图甲所示，在光滑水平面上发生正碰的两物体。
情境2：如图乙所示，速度为v0的物体滑上光滑水平面上的小车。
(1)图甲中，两物体受哪些力作用？系统动量守恒吗？
(2)图乙中，物体与小车组成的系统动量守恒吗？
提示：(1)两物体发生正碰时，它们之间的相互作用力是内力。物体还受到重力和桌面对它们的支持力，是外力。由于外力的合力为零，故系统动量守恒。
(2)物体和小车组成的系统，水平方向上合力为零，动量守恒；竖直方向上合力不为零，动量不守恒。
考点1 对动量守恒条件的理解
1．动量守恒中，研究对象：两个或两个以上的物体组成的相互作用的系统。
2．动量守恒条件
(1)理想条件：系统不受外力时，动量守恒。
(2)实际条件：系统所受的合外力为零时，动量守恒。
(3)近似条件：系统受外力，但外力远小于内力，则系统总动量近似守恒。
(4)推广条件：系统受力不符合以上三条中的任一条，则系统的总动量不守恒，但是，若系统在某一方向上符合以上三条中的某一条，则系统的动量沿这一方向的分量守恒。
【典例1】 如图所示将一个内、外侧均光滑的半圆形槽，置于光滑的水平面上，槽的左侧有一个竖直墙壁。现让一个小球自左端槽口A的正上方从静止开始下落，与半圆形槽相切从A点进入槽内，则以下说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中只有重力对它做功
B．小球在半圆形槽内运动的全过程中小球与槽组成的系统动量守恒
C．小球从最低点向右侧最高点运动过程中小球与槽组成的系统在水平方向动量守恒
D．小球离开半圆形槽右侧最高点以后将做竖直上抛运动
C [小球在半圆形槽内运动，从刚释放到最低点过程，只有重力做功，小球从最低点开始向上运动过程中，半圆槽向右运动，半圆槽对小球做功，故A错误；小球从刚释放到最低点过程，竖直墙对槽有水平向右的作用力，系统所受合外力不为零，系统动量不守恒；小球从最低点向右侧最高点运动过程中，半圆槽离开墙壁，小球与半圆槽组成的系统在水平方向上所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，故C正确，B错误；小球从最低点运动到半圆槽右侧最高点过程，小球与半圆槽组成的系统在水平方向动量守恒，小球到达半圆槽右侧最高点时小球与半圆槽具有水平向右的速度，小球离开半圆槽右侧最高点时，小球具有水平向右的速度与竖直向上的速度，小球做斜上抛运动，故D错误。故选C。]
系统动量是否守恒的判定方法
(1)选定研究对象及研究过程，分清外力与内力。
(2)分析系统受到的合外力是否为零，若系统所受的合外力为零，则系统动量守恒。
(3)若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒。系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化。
(4)多个物体情况下，选取不同的物体组成系统，会得出不同的结论。
[跟进训练]
1．短道速滑接力是很具观赏性的项目。比赛中“接棒”运动员在前面滑行，“交棒”运动员从后面追上，“交棒”运动员用力推前方“接棒”运动员完成接力过程。忽略运动员与冰面之间的摩擦，交接棒过程中两运动员的速度方向均在同一直线上。对两运动员交接棒的过程，下列说法正确的是( )
A．两运动员组成的系统机械能守恒
B．两运动员之间相互作用力的冲量相同
C．两运动员组成的系统动量守恒
D．两运动员之间相互作用力做的总功一定等于零
C [“交棒”运动员用力推前方“接棒”运动员完成接力过程，内力对系统做正功，系统机械能增加，A错误；两运动员之间相互作用力的冲量大小相等，方向相反，B错误；“交棒”运动员用力推前方“接棒”运动员完成接力过程，所受外力为零，两运动员组成的系统动量守恒，C正确；“交棒”运动员用力推前方“接棒”运动员完成接力过程，两运动员之间相互作用力做的功大于零，即内力对系统做正功，D错误。故选C。]
考点2 动量守恒定律的应用
1．对动量守恒定律的理解
(1)研究对象：两个或两个以上相互作用的物体组成的系统。
(2)对系统“总动量保持不变”的理解。
①系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等。
②系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能都在不断变化。
③系统的总动量指系统内各物体动量的矢量和，总动量不变指的是系统的总动量的大小和方向都不变。
2．动量守恒常见的表达式
(1)p＝p′，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′。
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。
(3)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。
(4)Δp＝0，系统总动量的增量为零。
【典例2】 如图所示，甲车质量m1＝20 kg，车上有质量M＝50 kg的人，甲车(连同车上的人)以v＝3 m/s的速度向右滑行，此时质量m2＝50 kg的乙车正以v0＝1.8 m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应当在什么范围以内才能避免两车相撞？(不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长，g取10 m/s2。)
甲 乙
思路点拨：(1)以人、甲车、乙车组成的系统水平动量守恒。
(2)人跳到乙车上后，如果两车同向，甲车的速度小于或等于乙车的速度就可以避免两车相撞。
[解析] 以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，以向右为正方向，由水平方向动量守恒得：
(m1＋M)v－m2v0＝(m1＋m2＋M)v′
解得v′＝1 m/s
以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，设人跳离甲车时速度为u，
得：(m1＋M)v＝m1v′＋Mu
解得u＝3.8 m/s
因此，只要人跳离甲车的速度u≥3.8 m/s就可避免两车相撞。
[答案] 大于等于3.8 m/s
[母题变式]
在[典例2]中，当人跳出甲车的水平速度(相对地面)为多少时才能使甲车静止？此时乙车的速度是多少？
[解析] 人跳到乙车上后，甲车的速度等于零时，
以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，设人与乙的共同速度为v共
由水平方向动量守恒得：
(m1＋M)v－m2v0＝(m2＋M)v共
解得v共＝1.2 m/s
以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，设人跳离甲车的速度为u′
得：(m1＋M)v＝Mu′
解得u′＝4.2 m/s
因此，人跳离甲车的速度u′＝4.2 m/s
[答案] 4.2 m/s 1.2 m/s
处理动量守恒问题的步骤
(1)分析题目涉及的物理过程，选择合适的系统、过程，这是正确解决此类题目的关键。
(2)判断所选定的系统、过程是否满足动量守恒的条件。
(3)确定物理过程及其系统内物体对应的初、末状态的动量。
(4)确定正方向，选取恰当的动量守恒的表达式求解。
[跟进训练]
2．(多选)A、B两物体在光滑水平面上沿同一直线运动，发生碰撞前后的v -t图线如图所示，由图线可以判断( )
A．A、B的动量变化量一定相同
B．A、B的质量之比为5∶3
C．A的动能增加量一定等于B的动能减少量
D．A对B做多少负功，B对A就做多少正功
CD [两物体碰撞过程动量变化量大小相等，方向相反，A错误；由题图可知，在碰撞前，vA＝1 m/s，vB＝5 m/s，碰撞后vA′＝6 m/s，vB′＝2 m/s，取碰撞前A的速度方向为正方向，由动量守恒定律得mAvA＋mBvB＝mAvA′＋mBvB′，解得mA∶mB＝3∶5，B错误；设A的质量为3m，B的质量为5m，碰撞过程中A的动能增加量为ΔEkA＝＝ J，碰撞过程中B的动能减少量为ΔEkB＝－mBvB′2＝ J，C正确；在碰撞过程中，A、B间的作用力为作用力与反作用力，大小相等、方向相反、位移大小相等，所以A对B做多少负功，B对A就做多少正功，D正确。故选CD。]
1．如图所示，物体m置于斜面M上，M与水平面间无摩擦，在m沿斜面由底端冲上顶端的过程中，m和M组成的系统( )
A．系统的动量守恒
B．在竖直方向上系统的动量分量守恒
C．在水平方向上系统的动量分量守恒
D．在任何方向上系统的动量分量都不守恒
C [由题意知，m沿斜面由底端冲上顶端的过程中，在竖直方向上m有向下的加速度，所以m和M组成的系统在竖直方向上系统的动量分量不守恒，而m和M组成的系统在水平方向上不受外力作用，所以m和M组成的系统在水平方向上系统的动量分量守恒，故选C。]
2．一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，木块A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示。则在子弹射入木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，下列说法正确的是( )
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能不守恒
D．无法判定动量、机械能是否守恒
C [动量守恒的条件是系统不受外力或所受外力的合力为零，本题中子弹、两木块、弹簧组成的系统，水平方向上不受外力，竖直方向上所受外力的合力为零，所以动量守恒。机械能守恒的条件是除重力、弹力对系统做功外，其他力对系统不做功，本题中子弹射入木块过程中克服摩擦力做功，有部分机械能转化为内能(发热)，所以系统的机械能不守恒，故C正确，A、B、D错误。]
3．质量m＝100 kg的小船静止在平静水面上，船两端载着m甲＝40 kg，m乙＝60 kg的游泳者，在同一水平线上甲朝左、乙朝右同时以相对于岸3 m/s的速度跃入水中，如图所示，则小船的运动方向和速度为( )
A．向左，小于1 m/s B．向左，大于1 m/s
C．向右，大于1 m/s D．向右，小于1 m/s
A [取甲的速度方向为正方向，根据动量守恒定律有m甲v甲＋m乙v乙＋mv＝0，代入数据得v＝0.6 m/s，v>0表示小船速度方向向左。故选A。]
4．(新情境题，以交通安全为背景，考查动量守恒的应用)冬季雨雪天气时，公路上容易发生交通事故。在结冰的公路上，一辆质量为1.8×103 kg的轻型货车尾随另一辆质量为1.2×103 kg的轿车同向行驶，因货车未及时刹车而发生追尾(即碰撞，如图甲、乙所示)。若追尾前瞬间货车速度大小为36 km/h，轿车速度大小为18 km/h，刚追尾后两车视为紧靠在一起，此时两车的速度为多大？
甲 乙
[解析] 设货车质量为m1，轿车质量为m2，碰撞前货车速度为v1，轿车速度为v2，碰撞后两车速度为v。选定两车碰撞前的速度方向为正方向。
由题意可知，m1＝1.8×103 kg，m2＝1.2×103 kg，
v1＝36 km/h，v2＝18 km/h。
由动量守恒定律得
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
解得v＝＝
km/h＝28.8 km/h
所以，刚追尾后两车的速度大小为28.8 km/h。
[答案] 28.8 km/h
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．动量守恒定律的研究对象是什么？
提示：相互作用的系统。
2．合外力对系统做功为零，系统动量就守恒吗？
提示：不一定守恒。
3．一个系统初、末动量大小相等，动量就守恒吗？
提示：不一定守恒。
课时分层作业(三) 动量守恒定律
?题组一 动量守恒的判断
1．如图所示，有一小车静止在光滑的水平面上，站在小车上的人将右边筐中的球一个一个地投入左边的筐中(球仍在车上)。以人、车和球作为系统，下列判断正确的是( )
A．由于系统所受合外力为零，故小车不会动
B．当球全部投入左边的筐中时，车仍然有向右的速度
C．由于系统水平方向动量守恒，故小车右移
D．若人屈膝跳起投球，则系统在竖直方向上动量守恒
C [在投球过程中，人和车(含球)系统所受合外力不为零，但水平方向所受合外力为零，系统水平方向动量守恒，球有水平向左的动量，则人和车系统获得向右的水平动量，因此车仍然有向右的速度，小车向右移动，故C正确，A错误；投球之前，人和车(含球)组成的系统动量为零，当球全部投入左边的筐中时，球的速度为零，根据动量守恒定律知，车的动量也为零，小车会停止，故B错误；若人屈膝跳起投球，系统在竖直方向上所受合外力不为零，则系统在竖直方向上动量不守恒，故D错误。故选C。]
2．如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直挡板上，一质量为m的光滑弧形槽静止放在光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，一质量也为m的小物块从槽上高h处开始下滑，下列说法正确的是( )
A．在下滑过程中，物块和槽组成的系统机械能守恒
B．在下滑过程中，物块和槽组成的系统动量守恒
C．在压缩弹簧的过程中，物块和弹簧组成的系统动量守恒
D．被弹簧反弹后，物块能回到槽上高h处
A [对物块和槽组成的系统，在下滑过程中没有机械能损失，系统的机械能守恒，A正确；在下滑的过程中，物块在竖直方向有加速度，物块和槽组成的系统所受合外力不为零，不符合动量守恒的条件，故系统的动量不守恒，但系统在水平方向上动量守恒，B错误；在压缩弹簧的过程中，对于物块和弹簧组成的系统，由于挡板对弹簧有向左的弹力，所以系统受到的合外力不为零，则系统动量不守恒，C错误；因为物块与槽在水平方向上动量守恒，且两者质量相等，根据动量守恒定律知物块离开槽时物块与槽的速度大小相等、方向相反，物块被弹簧反弹后，与槽的速度相同，即两者做速度相同的匀速直线运动，所以物块不会再滑上弧形槽，D错误。]
3．(多选)如图所示，A、B两物体的质量关系为mA>mB，A、B之间用一段细绳相连并有一被压缩的弹簧，放在平板小车C上后，A、B、C均处于静止状态。若地面光滑，则在细绳被剪断后，A、B从C上滑离之前，A、B在C上向相反方向滑动过程中( )
A．若A、B与C之间的摩擦力大小相同，则A、B组成的系统动量守恒，A、B、C组成的系统动量也守恒
B．若A、B与C之间的摩擦力大小不相同，则A、B组成的系统动量不守恒，A、B、C组成的系统动量也不守恒
C．若A、B与C之间的摩擦力大小不相同，则A、B组成的系统动量不守恒，但A、B、C组成的系统动量守恒
D．以上说法均不对
AC [当A、B两物体组成一个系统时，弹簧的弹力为内力，而A、B与C之间的摩擦力为外力。当A、B与C之间的摩擦力等大、反向时，A、B组成的系统所受合外力为零，则A、B组成的系统动量守恒。当A、B与C之间的摩擦力大小不相等时，A、B组成的系统所受合外力不为零，则A、B组成的系统动量不守恒。而对于A、B、C组成的系统，由于弹簧的弹力及A、B与C之间的摩擦力均为内力，故不论A、B与C之间的摩擦力的大小是否相等，A、B、C组成的系统所受合外力均为零，故A、B、C组成的系统动量守恒，故A、C正确，B、D错误。]
?题组二 动量守恒定律的应用
4．(多选) “天宫”空间站电推进系统的工作原理是先将氙气等惰性气体转化为带电离子，再将这些离子由静止加速并喷出，以产生推力，如图所示。已知单位时间内能喷出总质量为m、速度为v的离子，不计离子喷出对空间站质量的影响，下列说法正确的是( )
A．推进系统工作时整个空间站系统的动量守恒
B．推进系统工作时整个空间站系统的机械能守恒
C．推进系统工作时产生的推力大小为mv
D．推进系统工作时产生的推力大小为2mv
AC [电推进系统工作时，推进力对系统做正功，系统的机械能增加，但系统所受合外力为0，由此可判断出系统的动量守恒，故A正确，B错误；对离子由动量定理得Ft＝mv－0，解得F＝，其中t＝1 s，可知推进系统工作时产生的推力大小为mv，故C正确，D错误。故选AC。]
5．如图所示，质量为m＝0.5 kg 的小球在距离车底部一定高度处以初速度v0＝15 m/s向左平抛，落在以v＝7.5 m/s的速度沿光滑水平面向右匀速行驶的小车中，小车足够长，质量为M＝4 kg，g取10 m/s2，则当小球与小车相对静止时，小车的速度大小是( )
A．4 m/s B．5 m/s
C．8.5 m/s D．9.5 m/s
B [小球和小车在水平方向上动量守恒，取向右为正方向，有Mv－mv0＝(M＋m)v′，解得v′＝5 m/s，故B正确]
6．(多选)滑板运动中一个动作为人越过横杆，滑板从横杆底下穿过，若人的质量为50 kg，人需要跳过一个高为0.65 m的横杆，但考虑人过杆的时候可以曲腿，所以人起跳时只需要重心上升0.45 m，假如起跳时人与板的作用时间为0.25 s，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力及滑板与地面间的摩擦力作用，下列说法正确的是( )
A．人若要安全过杆，起跳的竖直分速度至少为3 m/s
B．起跳过程中人与板之间的作用力至少为1 100 N
C．人从开始起跳到落回到滑板的过程中，人与滑板构成的系统动量守恒
D．人从开始起跳到落回到滑板的过程中，人与滑板构成的系统水平方向上动量守恒
ABD [依题意，人跳起后做竖直上抛运动，有H＝，解得人若要安全过杆，起跳的竖直分速度至少为v0＝3 m/s，故A正确；取竖直向上为正方向，人起跳过程，由动量定理可得(F－G)t＝mv0，解得F＝1 100 N，即起跳过程中人与板之间的作用力至少为1 100 N，故B正确；人从开始起跳到落回到滑板的过程中，人与滑板水平方向不受外力，所以二者构成的系统水平方向上动量守恒，故C错误，D正确。故选ABD。]
7．我国自行研制的“歼-20”战斗机挂弹飞行时，接到命令，进行导弹发射训练，当战斗机水平飞行的速度为v0时，将总质量为M的导弹释放，刚释放时，导弹向战斗机飞行的反方向喷出对地速率为v1、质量为m的燃气，则喷气后导弹相对地面的速率v为( )
A． B．
C． D．
D [以导弹飞行的方向为正方向，导弹被战斗机释放后导弹喷出燃气前后瞬间，根据动量守恒定律得Mv0＝(M－m)v－mv1，解得v＝，D正确。]
?题组三 动量守恒定律的临界问题
8．如图所示，甲、乙两个小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为M甲＝30 kg，乙和他的冰车总质量M乙也是30 kg，游戏时甲推着一个质量m＝15 kg的箱子和他一起以大小为v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时乙迅速把它抓住。若不计冰面的摩擦，问甲至少要以多大的速度(相对地面)将箱子推出，才能避免与乙相撞( )
A．2.2 m/s B．5.2 m/s
C．6 m/s D．10 m/s
B [设甲以速度v将箱子推出后恰好与乙不相撞，推出箱子后甲的速度为v甲，抓住箱子后乙的速度为v乙，取向右为正方向，根据动量守恒定律，对于甲和箱子，有(M甲＋m)v0＝M甲v甲＋mv，对于乙和箱子，有mv－M乙v0＝(m＋M乙)v乙；当甲与乙恰好不相撞时，v甲＝v乙，联立各式解得v＝5.2 m/s，故B正确。]
9．如图所示，在某次3 000 m接力赛练习中，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙的速度大小为12 m/s，甲的速度大小为10 m/s，此时乙沿水平方向猛推甲一把，使甲以13 m/s的速度向前冲出。在乙推甲的过程中，忽略运动员与冰面间在水平方向上的相互作用，已知甲、乙运动员的质量均为60 kg，乙推甲的时间为0.8 s，在乙推甲的过程中，求：
(1)乙对甲的平均作用力大小；
(2)乙推甲后瞬间乙的速度。
[解析] (1)取运动员甲初始运动方向为正方向，乙推甲的过程中，对运动员甲，由动量定理有
Ft＝mv甲2－mv甲1
解得F＝225 N。
(2)取运动员甲初始运动方向为正方向，乙推甲的过程中，两者所组成的系统动量守恒，有
mv乙1＋mv甲1＝mv乙2＋mv甲2
解得v乙2＝9 m/s
方向与运动员甲初始运动方向相同。
[答案] (1)225 N (2)9 m/s，方向与甲运动员初始运动方向相同
1．(多选)如图所示，质量为M的楔形物体静止在光滑的水平地面上，其斜面光滑且足够长，与水平方向的夹角为θ。一个质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上以初速度v0开始运动，当小物块沿斜面向上运动到最高点时，速度大小为v，距地面的高度为h，则下列关系式中正确的是( )
A．mv0＝(m＋M)v
B．mv0cos θ＝(m＋M)v
C．mgh＝m(v0sin θ)2
D．mgh＋(m＋M)v2＝
BD [小物块上升到最高点时，速度与楔形物体的速度相同，系统水平方向动量守恒，全过程机械能守恒。以向右为正方向，在小物块上升过程中，由水平方向系统动量守恒得mv0·cos θ＝(m＋M)v，A错误，B正确；由机械能守恒定律得mgh＋(m＋M)v2＝，C错误，D正确。]
2．(多选)如图所示，一个小孩在冰面上进行“滑车”练习，开始小孩站在A车前端与车以共同速度v0＝9 m/s 向右做匀速直线运动，在A车正前方有一辆静止的B车，为了避免两车相撞，在A车接近B车时，小孩迅速从A车跳上B车，又立即从B车跳回A车，此时A、B两车恰好不相撞，已知小孩的质量m＝25 kg，A车和B车质量均为mA＝mB＝100 kg，若小孩跳离A车与跳离B车时对地速度的大小相等、方向相反，不计一切摩擦，则下列说法正确的是( )
A．小孩跳离A车和B车时对地速度的大小为10 m/s
B．小孩跳离A车的过程中对A车冲量的大小为250 kg·m/s
C．整个过程中，小孩对B车所做的功为1 050 J
D．小孩跳回A车后，他和A车的共同速度大小为5 m/s
AD [因为A、B恰好不相撞，则最后具有相同的速度。在小孩跳车的过程中，把小孩、A车、B车看成一个系统，该系统所受合外力为零，动量守恒，规定向右为正方向，由动量守恒定律得(m＋mA)v0＝(m＋mA＋mB)v，代入数据解得v＝5 m/s，方向向右，D正确；设小孩跳离A车和B车的速度大小为Δv，则在与B车相互作用的过程中，由动量守恒定律得mΔv＝mBv－mΔv，代入数据解得Δv＝10 m/s，A正确；设小孩跳离A车后，A车的速度为vA，则由动量守恒定律有(m＋mA)v0＝mΔv＋mAvA，解得vA＝8.75 m/s，方向向右，根据动量定理，该过程中小孩对A车的冲量大小等于A车动量的变化量大小，即I＝|Δp|＝mAv0－mAvA＝25 kg·m/s，B错误；整个过程中，小孩对B车做的功等于B车动能的变化量，即W＝mBv2＝1 250 J，C错误。]
3．如图所示，光滑水平直轨道上有三个滑块A、B、C，质量分别为mA＝mC＝2m，mB＝m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的轻弹簧(弹簧与滑块不拴接)。开始时A、B以共同速度v0运动，C静止。某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在一起，最终三个滑块速度恰好相同。求B与C碰撞前B的速度。
[解析] 对A、B组成的系统合外力为零，作用前的动量p1＝(2m＋m)v0，
作用后的动量p2＝2mvA＋mvB，
根据动量守恒定律p1＝p2，得
(2m＋m)v0＝2mvA＋mvB。
对B、C组成的系统合外力为零，作用前的动量
p1′＝mvB＋0，
作用后的动量p2′＝(m＋2m)vC，
根据动量守恒定律得p1′＝p2′，
mvB＝(m＋2m)vC，
而vA＝vC，
联立解得vB＝v0。
[答案] v0
4．如图所示，在光滑的水平杆上套有一个质量为m的滑环，滑环通过一根不可伸缩的轻绳悬挂着一个质量为M的物块(可视为质点)，绳长为L。将滑环固定时，给物块一个水平冲量，物块摆起后刚好碰到水平杆；若滑环不固定，仍给物块以同样的水平冲量，求物块摆起的最大高度。
[解析] 滑环固定时，根据机械能守恒定律，有
MgL＝，解得v0＝
滑环不固定时，物块的初速度仍为v0，在物块摆起至最大高度h时，它们的速度都为v，在此过程中物块和滑环组成的系统机械能守恒，水平方向动量守恒，则：
Mv0＝(m＋M)v
＝(m＋M)v2＋Mgh
由以上各式，可得h＝L。
[答案] L
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3．动量守恒定律
第一章 动量与动量守恒定律
学习任务
1．通过实例了解系统、内力和外力的概念。
2．理解动量守恒的内容、表达式，掌握动量守恒的推导过程。
3．探究系统内动量守恒的条件。
4．体会应用动量守恒定律分析实际问题的方法，体会自然界的和谐与统一。
知识点一 系统、内力、外力
1．系统
把两个或多个物体作为一个______来研究，这个整体叫作系统。
2．内力
系统中物体之间的相互作用力。
3．外力
来自系统______的作用力。
必备知识·自主预习储备
整体
外部
思考 大人和小孩在冰面上游戏，小孩用力推大人。以大人和小孩组成的系统，涉及重力、推力、摩擦力、支持力作用，哪些是外力？哪些是内力？
提示：重力、 摩擦力、支持力是外力；推力是内力。
知识点二 动量守恒定律
1．内容
如果一个系统不受______或所受________为零，无论这一系统的内部发生了何种形式的相互作用，这个系统的总动量保持不变。
2．表达式
对于在一条直线上运动的两个物体组成的系统，常写成：p1＋p2＝____________或m1v1＋m2v2＝________________。
3．适用条件
系统不受______或所受的________为零。
外力
合外力
p1′＋p2′
m1v1′＋m2v2′
外力
合外力
思考 如图所示，小车A、B静止在光滑水平面上，烧断细线后，两小车受弹簧弹力的作用而运动，系统动量守恒吗？
提示：守恒。
体验 1：思考辨析(正确的打√，错误的打×)
(1)某个力是内力还是外力是相对的，与系统的选取有关。 ( )
(2)只要合外力对系统做功为零，系统动量就守恒。 ( )
(3)系统动量守恒也就是系统的动量变化量为零。 ( )
(4)只要系统内存在摩擦力，动量就一定不守恒。 ( )
(5)一个系统初、末状态动量大小相等，即动量守恒。 ( )
√
×
√
×
×
2：填空
如图所示，游乐场上，两位同学各驾驶一辆碰碰车迎面相撞，此后，两车以共同的速度运动。设甲同学和他的车的总质量为120 kg，碰撞前水平向右运动，速度的大小为5 m/s；乙同学和他的车的总质量为180 kg，碰撞前水平向左运动，速度的大小为4 m/s。则碰撞后两车共同的运动速度大小为______________，方向________。
碰碰车的碰撞示意图
0.4 m/s
向左
[解析] 以碰前甲的速度为正方向，设碰撞后两车的共同速度为v，则系统碰撞前的总动量为
p＝m1v1＋m2v2＝120×5 kg·m/s＋180×(－4)kg·m/s＝－120 kg·m/s，
碰撞后的总动量为p′＝(m1＋m2)v，
根据动量守恒定律可知p＝p′，
代入数据解得v＝－0.4 m/s，
即碰撞后两车以0.4 m/s的共同速度运动，
运动方向水平向左。
关键能力·情境探究达成
情境1：如图甲所示，在光滑水平面上发生正碰的两物体。
甲
情境2：如图乙所示，速度为v0的物体滑上光滑水平面上的小车。
乙
(1)图甲中，两物体受哪些力作用？系统动量守恒吗？
(2)图乙中，物体与小车组成的系统动量守恒吗？
提示：(1)两物体发生正碰时，它们之间的相互作用力是内力。物体还受到重力和桌面对它们的支持力，是外力。由于外力的合力为零，故系统动量守恒。
(2)物体和小车组成的系统，水平方向上合力为零，动量守恒；竖直方向上合力不为零，动量不守恒。
考点1 对动量守恒条件的理解
1．动量守恒中，研究对象：两个或两个以上的物体组成的相互作用的系统。
2．动量守恒条件
(1)理想条件：系统不受外力时，动量守恒。
(2)实际条件：系统所受的合外力为零时，动量守恒。
(3)近似条件：系统受外力，但外力远小于内力，则系统总动量近似守恒。
(4)推广条件：系统受力不符合以上三条中的任一条，则系统的总动量不守恒，但是，若系统在某一方向上符合以上三条中的某一条，则系统的动量沿这一方向的分量守恒。
【典例1】 如图所示将一个内、外侧均光滑的半圆形槽，置于光滑的水平面上，槽的左侧有一个竖直墙壁。现让一个小球自左端槽口A的正上方从静止开始下落，与半圆形槽相切从A点进入槽内，则以下说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中只有重力对它做功
B．小球在半圆形槽内运动的全过程中小球与槽组成的系统动量守恒
C．小球从最低点向右侧最高点运动过程中小球与槽
组成的系统在水平方向动量守恒
D．小球离开半圆形槽右侧最高点以后将做竖直上抛运动
√
C [小球在半圆形槽内运动，从刚释放到最低点过程，只有重力做功，小球从最低点开始向上运动过程中，半圆槽向右运动，半圆槽对小球做功，故A错误；小球从刚释放到最低点过程，竖直墙对槽有水平向右的作用力，系统所受合外力不为零，系统动量不守恒；小球从最低点向右侧最高点运动过程中，半圆槽离开墙壁，小球与半圆槽组成的系统在水平方向上所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，故C正确，B错误；小球从最低点运动到半圆槽右侧最高点过程，小球与半圆槽组成的系统在水平方向动量守恒，小球到达半圆槽右侧最高点时小球与半圆槽具有水平向右的速度，小球离开半圆槽右侧最高点时，小球具有水平向右的速度与竖直向上的速度，小球做斜上抛运动，故D错误。故选C。]
规律方法 系统动量是否守恒的判定方法
(1)选定研究对象及研究过程，分清外力与内力。
(2)分析系统受到的合外力是否为零，若系统所受的合外力为零，则系统动量守恒。
(3)若外力在某一方向上合力为零，则在该方向上系统动量守恒。系统动量严格守恒的情况很少，在分析具体问题时要注意把实际过程理想化。
(4)多个物体情况下，选取不同的物体组成系统，会得出不同的结论。
[跟进训练]
1．短道速滑接力是很具观赏性的项目。比赛中“接棒”运动员在前面滑行，“交棒”运动员从后面追上，“交棒”运动员用力推前方“接棒”运动员完成接力过程。忽略运动员与冰面之间的摩擦，交接棒过程中两运动员的速度方向均在同一直线上。对两运动员交接棒的过程，下列说法正确的是( )
A．两运动员组成的系统机械能守恒
B．两运动员之间相互作用力的冲量相同
C．两运动员组成的系统动量守恒
D．两运动员之间相互作用力做的总功一定等于零
√
C [“交棒”运动员用力推前方“接棒”运动员完成接力过程，内力对系统做正功，系统机械能增加，A错误；两运动员之间相互作用力的冲量大小相等，方向相反，B错误；“交棒”运动员用力推前方“接棒”运动员完成接力过程，所受外力为零，两运动员组成的系统动量守恒，C正确；“交棒”运动员用力推前方“接棒”运动员完成接力过程，两运动员之间相互作用力做的功大于零，即内力对系统做正功，D错误。故选C。]
考点2 动量守恒定律的应用
1．对动量守恒定律的理解
(1)研究对象：两个或两个以上相互作用的物体组成的系统。
(2)对系统“总动量保持不变”的理解。
①系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等。
②系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能都在不断变化。
③系统的总动量指系统内各物体动量的矢量和，总动量不变指的是系统的总动量的大小和方向都不变。
2．动量守恒常见的表达式
(1)p＝p′，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′。
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。
(3)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。
(4)Δp＝0，系统总动量的增量为零。
【典例2】 如图所示，甲车质量m1＝20 kg，车上有质量M＝50 kg的人，甲车(连同车上的人)以v＝3 m/s的速度向右滑行，此时质量m2＝50 kg的乙车正以v0＝1.8 m/s的速度迎面滑来，为了避免两车相撞，当两车相距适当距离时，人从甲车跳到乙车上，求人跳出甲车的水平速度(相对地面)应当在什么范围以内才能避免两车相撞？(不计地面和小车的摩擦，且乙车足够长，g取10 m/s2。)
甲 乙
思路点拨：(1)以人、甲车、乙车组成的系统水平动量守恒。
(2)人跳到乙车上后，如果两车同向，甲车的速度小于或等于乙车的速度就可以避免两车相撞。
[解析] 以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，以向右为正方向，由水平方向动量守恒得：
(m1＋M)v－m2v0＝(m1＋m2＋M)v′
解得v′＝1 m/s
以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，设人跳离甲车时速度为u，
得：(m1＋M)v＝m1v′＋Mu
解得u＝3.8 m/s
因此，只要人跳离甲车的速度u≥3.8 m/s就可避免两车相撞。
[答案] 大于等于3.8 m/s
[母题变式]
在[典例2]中，当人跳出甲车的水平速度(相对地面)为多少时才能使甲车静止？此时乙车的速度是多少？
[解析] 人跳到乙车上后，甲车的速度等于零时，
以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象，设人与乙的共同速度为v共
由水平方向动量守恒得：
(m1＋M)v－m2v0＝(m2＋M)v共
解得v共＝1.2 m/s
以人与甲车为一系统，人跳离甲车过程水平方向动量守恒，设人跳离甲车的速度为u′
得：(m1＋M)v＝Mu′
解得u′＝4.2 m/s
因此，人跳离甲车的速度u′＝4.2 m/s
[答案] 4.2 m/s 1.2 m/s
规律方法 处理动量守恒问题的步骤
(1)分析题目涉及的物理过程，选择合适的系统、过程，这是正确解决此类题目的关键。
(2)判断所选定的系统、过程是否满足动量守恒的条件。
(3)确定物理过程及其系统内物体对应的初、末状态的动量。
(4)确定正方向，选取恰当的动量守恒的表达式求解。
[跟进训练]
2．(多选)A、B两物体在光滑水平面上沿同一直线运动，发生碰撞前后的v -t图线如图所示，由图线可以判断( )
A．A、B的动量变化量一定相同
B．A、B的质量之比为5∶3
C．A的动能增加量一定等于B的动能减少量
D．A对B做多少负功，B对A就做多少正功
√
√
学习效果·随堂评估自测
1．如图所示，物体m置于斜面M上，M与水平面间无摩擦，在m沿斜面由底端冲上顶端的过程中，m和M组成的系统( )
A．系统的动量守恒
B．在竖直方向上系统的动量分量守恒
C．在水平方向上系统的动量分量守恒
D．在任何方向上系统的动量分量都不守恒
√
2
4
3
题号
1
C [由题意知，m沿斜面由底端冲上顶端的过程中，在竖直方向上m有向下的加速度，所以m和M组成的系统在竖直方向上系统的动量分量不守恒，而m和M组成的系统在水平方向上不受外力作用，所以m和M组成的系统在水平方向上系统的动量分量守恒，故选C。]
2
4
3
题号
1
2．一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A并留在其中，木块A、B用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如图所示。则在子弹射入木块A及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统，下列说法正确的是( )
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量不守恒，机械能守恒
C．动量守恒，机械能不守恒
D．无法判定动量、机械能是否守恒
2
3
题号
1
4
√
C [动量守恒的条件是系统不受外力或所受外力的合力为零，本题中子弹、两木块、弹簧组成的系统，水平方向上不受外力，竖直方向上所受外力的合力为零，所以动量守恒。机械能守恒的条件是除重力、弹力对系统做功外，其他力对系统不做功，本题中子弹射入木块过程中克服摩擦力做功，有部分机械能转化为内能(发热)，所以系统的机械能不守恒，故C正确，A、B、D错误。]
2
3
题号
1
4
3．质量m＝100 kg的小船静止在平静水面上，船两端载着m甲＝40 kg，m乙＝60 kg的游泳者，在同一水平线上甲朝左、乙朝右同时以相对于岸3 m/s的速度跃入水中，如图所示，则小船的运动方向和速度为( )
A．向左，小于1 m/s B．向左，大于1 m/s
C．向右，大于1 m/s D．向右，小于1 m/s
2
3
题号
4
1
√
A [取甲的速度方向为正方向，根据动量守恒定律有m甲v甲＋m乙v乙＋mv＝0，代入数据得v＝0.6 m/s，v>0表示小船速度方向向左。故选A。]
4．(新情境题，以交通安全为背景，考查动量守恒的应用)冬季雨雪天气时，公路上容易发生交通事故。在结冰的公路上，一辆质量为1.8×103 kg的轻型货车尾随另一辆质量为1.2×103 kg的轿车同向行驶，因货车未及时刹车而发生追尾(即碰撞，如图甲、乙所示)。若追尾前瞬间货车速度大小为36 km/h，轿车速度大小为18 km/h，刚追尾后两车视为紧靠在一起，此时两车的速度为多大？
2
4
3
题号
1
甲 乙
2
4
3
题号
1
[答案] 28.8 km/h
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．动量守恒定律的研究对象是什么？
提示：相互作用的系统。
2．合外力对系统做功为零，系统动量就守恒吗？
提示：不一定守恒。
3．一个系统初、末动量大小相等，动量就守恒吗？
提示：不一定守恒。
