﹡1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 用一般式求二次函数的表达式
1.已知二次函数y=ax2+4x+c,当x等于-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的表达式为( )
A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2
C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1
2.若抛物线经过点(3,0)和(2,-3),且以直线x=1为对称轴,则该抛物线的表达式为( )
A.y=-x2-2x-3 B.y=x2-2x+3
C.y=x2-2x-3 D.y=-x2+2x-3
3.(2024·黔西南州晴隆县模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),则二次函数的表达式是 .
4.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点,根据A,B,C三点的坐标求出二次函数的表达式为 .
5.(教材开发·P23练习改编)一个二次函数的图象经过(-1,-1),(0,0),(1,9)三点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)若另外三点(x1,21),(x2,21),(x1+x2,n)也在该二次函数图象上,求n的值.
知识点2 用顶点式求二次函数的表达式
6.(2024·铜仁碧江区质检)如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为( )
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
7.抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,且与y=x2的图象开口大小相同.则这条抛物线的表达式为( )
A.y=-(x+3)2+5 B.y=-(x-3)2-5
C.y=(x+3)2+5 D.y=(x-3)2-5
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.如果抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,-2),B(-1,1)两点,那么此抛物线经过( )
A.第一、二、三、四象限
B.第一、二、三象限
C.第一、二、四象限
D.第二、三、四象限
9.(2024·贵阳模拟)若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表,则当x=1时,y的值为( )
x -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
A.5 B.-3 C.-13 D.-27
10.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最大值为8,且形状与抛物线y=2x2-2x+3相同,则此函数表达式为 .
11.(2023·牡丹江中考)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线对应的函数表达式,并直接写出顶点P的坐标;
(2)求△BCP的面积.
12.(素养提升题)如图,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过P作PQ∥BC交AC于点Q.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求△CPQ面积的最大值,并求此时P点坐标.
易错点 忽略表达式的多种可能造成漏解
【案例】(2023·黔东南州质检)如果抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),且与y轴交于点C,若OC=2.则这条抛物线的表达式是( )
A.y=x2-x-2
B.y=-x2-x-2或y=x2+x+2
C.y=-x2+x+2
D.y=x2-x-2或y=-x2+x+2﹡1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 用一般式求二次函数的表达式
1.已知二次函数y=ax2+4x+c,当x等于-2时,函数值是-1;当x=1时,函数值是5.则此二次函数的表达式为(A)
A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2
C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1
2.若抛物线经过点(3,0)和(2,-3),且以直线x=1为对称轴,则该抛物线的表达式为(C)
A.y=-x2-2x-3 B.y=x2-2x+3
C.y=x2-2x-3 D.y=-x2+2x-3
3.(2024·黔西南州晴隆县模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),则二次函数的表达式是 y=x2-4x+3 .
4.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,C三点,根据A,B,C三点的坐标求出二次函数的表达式为 y=x2-2x-3 .
5.(教材开发·P23练习改编)一个二次函数的图象经过(-1,-1),(0,0),(1,9)三点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)若另外三点(x1,21),(x2,21),(x1+x2,n)也在该二次函数图象上,求n的值.
【解析】(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0),∵二次函数的图象经过点(0,0),(-1,-1),(1,9)三点,
∴ ,解得 ,
所以二次函数的表达式是y=4x2+5x;
(2)∵二次函数为y=4x2+5x,
∴对称轴为直线x=-=-,
∵三点(x1,21),(x2,21),(x1+x2,n)在该二次函数图象上,∴=-,∴x1+x2=-,
∴n=4×+5×=0.
知识点2 用顶点式求二次函数的表达式
6.(2024·铜仁碧江区质检)如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y与x的函数关系式为(D)
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
7.抛物线的对称轴为直线x=3,y的最大值为-5,且与y=x2的图象开口大小相同.则这条抛物线的表达式为(B)
A.y=-(x+3)2+5 B.y=-(x-3)2-5
C.y=(x+3)2+5 D.y=(x-3)2-5
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.如果抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,-2),B(-1,1)两点,那么此抛物线经过(D)
A.第一、二、三、四象限
B.第一、二、三象限
C.第一、二、四象限
D.第二、三、四象限
9.(2024·贵阳模拟)若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表,则当x=1时,y的值为(D)
x -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
A.5 B.-3 C.-13 D.-27
10.若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点,最大值为8,且形状与抛物线y=2x2-2x+3相同,则此函数表达式为 y=-2(x-2)2+8或y=-2(x+2)2+8 .
11.(2023·牡丹江中考)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线对应的函数表达式,并直接写出顶点P的坐标;
(2)求△BCP的面积.
【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),
∴,解得,
∴抛物线的表达式为y=x2-3x-4,
∴P,
(2)连接OP,
∵A(-1,0),B(4,0),C(0,-4),P,
∴S△OPC=×4×=3,
S△BOP=×4×=,
S△BOC=×4×4=8,
∴S△BPC=S△OPC+S△BOP-S△BOC=3+-8=.
12.(素养提升题)如图,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过P作PQ∥BC交AC于点Q.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)求△CPQ面积的最大值,并求此时P点坐标.
【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,
与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,
∴B(-3,0),∴,解得,
∴抛物线的表达式为y=x2+2x-3;
(2)见全解全析
易错点 忽略表达式的多种可能造成漏解
【案例】(2023·黔东南州质检)如果抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),且与y轴交于点C,若OC=2.则这条抛物线的表达式是(D)
A.y=x2-x-2
B.y=-x2-x-2或y=x2+x+2
C.y=-x2+x+2
D.y=x2-x-2或y=-x2+x+2
