1.2 二次函数的图象与性质
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=ax2的图象及画法
1.(教材再开发·P10第2题拓展)如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出①y=-3x2,②y=-x2,③y=-x2的图象,则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 .(填序号)
2.画出下列函数的图象:
(1)y=4x2;
(2)y=-4x2;
(3)y=x2.
知识点2 二次函数y=ax2的图象与性质
3.(2024·安顺西秀区质检)对于函数y=5x2,下列结论正确的是( )
A.y随x的增大而增大
B.图象开口向下
C.图象关于y轴对称
D.无论x取何值,y的值总是正的
4.下列关于函数y=-x2的图象说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点(0,0),其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.当-3≤x≤-1时,二次函数y=-2x2的最大值是 .
6.已知抛物线y=(m+1)x2开口向上,则m的取值范围是 y2.
8.已知二次函数y=ax2的图象经过点A(,-),B(3,m).
(1)求a与m的值;
(2)写出该图象上点B的对称点C的坐标;
(3)当x取何值时,y随x的增大而减小
(4)当x取何值时,y有最大值(或最小值)
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.(2024·遵义绥阳县质检)对于抛物线y=x2与y=-x2,下列说法中错误的是( )
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线各自关于y轴对称
D.两条抛物线没有公共点
10.在同一坐标系内,函数y=kx2和y=kx+2(k≠0)的图象大致为( )
11.(易错警示题)如图所示三个二次函数的图象中,分别对应的是①y=a1x2;
②y=a2x2;③y=a3x2,则a1,a2,a3的大小关系是( )
A.a1>a2>a3 B.a1>a3>a2
C.a3>a2>a1 D.a2>a1>a3
12.对于二次函数y=ax2,已知当x由1增加到2时,函数值减少4,则常数a的值是
.
13.(2024·铜仁万山区质检)已知二次函数y=x2,在-1≤x≤4内,函数的最小值为
.
14.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=x2与y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 .
15.(素养提升题)已知抛物线y1=-x2,抛物线y2=ax2经过点.
(1)求抛物线y2的关系式;
(2)正比例函数y=kx(k>0)与抛物线y1和抛物线y2分别交于A,B两点,则OA,OB是否有某种确定的数量关系,证明你的结论.
易错点 二次函数增减性的理解错误
【案例1】已知二次函数y=x2,当a≤x≤b时,m≤y≤n,则下列说法正确的是( )
A.当n-m=1时,b-a有最小值
B.当n-m=1时,b-a有最大值
C.当b-a=1时,n-m无最小值
D.当b-a=1时,n-m有最大值
【案例2】已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2,对任意给定一个x值都有y甲≥y乙,关于m,n的关系正确的是 (填序号).
①m0,n<0;③m<0,n>0;④m>n>0.1.2 二次函数的图象与性质
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=ax2的图象及画法
1.(教材再开发·P10第2题拓展)如图所示,在同一平面直角坐标系中,作出①y=-3x2,②y=-x2,③y=-x2的图象,则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是 ①③② .(填序号)
2.画出下列函数的图象:
(1)y=4x2;
(2)y=-4x2;
(3)y=x2.
【解析】列表如下:
x -2 -1 0 1 2
y=4x2 16 4 0 4 16
y=-4x2 -16 -4 0 -4 -16
y=x2 1 0 1
描点、连线可得图象为
知识点2 二次函数y=ax2的图象与性质
3.(2024·安顺西秀区质检)对于函数y=5x2,下列结论正确的是(C)
A.y随x的增大而增大
B.图象开口向下
C.图象关于y轴对称
D.无论x取何值,y的值总是正的
4.下列关于函数y=-x2的图象说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点(0,0),其中正确的有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.当-3≤x≤-1时,二次函数y=-2x2的最大值是 -2 .
6.已知抛物线y=(m+1)x2开口向上,则m的取值范围是 m>-1 .
7.已知二次函数y=-x2,当x18.已知二次函数y=ax2的图象经过点A(,-),B(3,m).
(1)求a与m的值;
(2)写出该图象上点B的对称点C的坐标;
(3)当x取何值时,y随x的增大而减小
(4)当x取何值时,y有最大值(或最小值)
【解析】(1)把点A代入函数表达式得,a=-,解得a=-,
所以函数表达式为y=-x2,把点B(3,m)代入函数表达式得,m=-×9=-.
(2)点C的坐标为.
(3)当x>0时,y随x的增大而减小.
(4)当x=0时,y有最大值为0.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.(2024·遵义绥阳县质检)对于抛物线y=x2与y=-x2,下列说法中错误的是(D)
A.两条抛物线关于x轴对称
B.两条抛物线关于原点对称
C.两条抛物线各自关于y轴对称
D.两条抛物线没有公共点
10.在同一坐标系内,函数y=kx2和y=kx+2(k≠0)的图象大致为(D)
11.(易错警示题)如图所示三个二次函数的图象中,分别对应的是①y=a1x2;
②y=a2x2;③y=a3x2,则a1,a2,a3的大小关系是(A)
A.a1>a2>a3 B.a1>a3>a2
C.a3>a2>a1 D.a2>a1>a3
12.对于二次函数y=ax2,已知当x由1增加到2时,函数值减少4,则常数a的值是
- .
13.(2024·铜仁万山区质检)已知二次函数y=x2,在-1≤x≤4内,函数的最小值为
0 .
14.如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y=x2与y=-x2的图象,则阴影部分的面积是 8 .
15.(素养提升题)已知抛物线y1=-x2,抛物线y2=ax2经过点.
(1)求抛物线y2的关系式;
(2)正比例函数y=kx(k>0)与抛物线y1和抛物线y2分别交于A,B两点,则OA,OB是否有某种确定的数量关系,证明你的结论.
【解析】(1)∵抛物线y2=ax2经过点,∴4a=-,解得a=-,
∴抛物线函数关系式为y2=-x2;
(2)联立正比例函数和抛物线y1=-x2可得
解得x=0或x=-6k,∴A(-6k,-6k2),
∴OA==6k.
联立正比例函数与抛物线y2=-x2可得,解得x=0或x=-12k,
∴B(-12k,-12k2),∴OB==12k,∴OB=2OA.
易错点 二次函数增减性的理解错误
【案例1】已知二次函数y=x2,当a≤x≤b时,m≤y≤n,则下列说法正确的是(B)
A.当n-m=1时,b-a有最小值
B.当n-m=1时,b-a有最大值
C.当b-a=1时,n-m无最小值
D.当b-a=1时,n-m有最大值
【案例2】已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2,对任意给定一个x值都有y甲≥y乙,关于m,n的关系正确的是 ②④ (填序号).
①m0,n<0;③m<0,n>0;④m>n>0.
