1.2 二次函数的图象与性质
第4课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.(2024·黔东南州从江县期中)对于二次函数y=x2-4x-1的图象,下列叙述正确的是(B)
A.开口向下
B.对称轴为直线x=2
C.顶点坐标为(-2,-5)
D.当x≥2时,y随x的增大而减小
2.抛物线y=-x2+x+1经平移后,不可能得到的抛物线是(D)
A.y=-x2+x
B.y=-x2-4
C.y=-x2+2 021x-2 022
D.y=-x2+x+1
3.已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当-1
3时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是(B)
A.y1C.y34.(2022·六盘水中考)如图是二次函数y=x2+bx+c的图象,该函数的最小值是 -4 .
知识点2 抛物线y=ax2+bx+c的图象与系数的关系
5.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为(C)
6.如图,根据二次函数y=ax2+bx+c的图象得到如下结论:①abc>0;②2a-b=0;
③a+b+c=0;④3a+c<0;⑤当x>-2时,y随x的增大而增大;⑥一定存在实数x0,使得a+bx0>a-b成立.上述结论正确的是(C)
A.①②⑤ B.②③④
C.②③⑥ D.③④⑤
7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图所示,下列说法中:①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c=0;④当-10,正确的是 ①③④ (填写序号).
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.(2023·株洲中考)如图所示,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的是(C)
A.b恒大于0 B.a,b同号
C.a,b异号 D.以上说法都不对
9.如图,抛物线L1:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移两个单位长度得到抛物线L2,则图中两个阴影部分的面积和为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
10.一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是(A)
11.已知函数y=ax2-(a-1)x-2a+1,当012.(2023·绍兴中考)在平面直角坐标系xOy中,一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界),这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:如图,函数y=(x-2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分),它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC,则b= 或- .
13.(2024·贵阳模拟)在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过点A,B.
(1)c= ;a,b之间的关系式为 ;
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围;
(3)如图,当a=-1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为1 若存在,求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)y=x+2,令x=0,则y=2,令y=0,则x=-2,故点A,B的坐标分别为(-2,0),(0,2),c=2,
则函数表达式为y=ax2+bx+2,
将点A的坐标代入上式并整理得,b=2a+1;
答案:2 b=2a+1
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,
则函数对称轴x=-≥0,而b=2a+1,
即-≥0,解得a≥-,
故a的取值范围为-≤a<0;
(3)见全解全析
易错点 忽视对称轴求最值
【案例】若函数y=3x2-(9+a)x+6+2a(x是自变量且x为整数),在x=6或x=7时取得最小值,则a的取值范围是 24第4课时
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知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.(2024·黔东南州从江县期中)对于二次函数y=x2-4x-1的图象,下列叙述正确的是( )
A.开口向下
B.对称轴为直线x=2
C.顶点坐标为(-2,-5)
D.当x≥2时,y随x的增大而减小
2.抛物线y=-x2+x+1经平移后,不可能得到的抛物线是( )
A.y=-x2+x
B.y=-x2-4
C.y=-x2+2 021x-2 022
D.y=-x2+x+1
3.已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当-13时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是( )
A.y1C.y34.(2022·六盘水中考)如图是二次函数y=x2+bx+c的图象,该函数的最小值是 .
知识点2 抛物线y=ax2+bx+c的图象与系数的关系
5.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为( )
6.如图,根据二次函数y=ax2+bx+c的图象得到如下结论:①abc>0;②2a-b=0;
③a+b+c=0;④3a+c<0;⑤当x>-2时,y随x的增大而增大;⑥一定存在实数x0,使得a+bx0>a-b成立.上述结论正确的是( )
A.①②⑤ B.②③④
C.②③⑥ D.③④⑤
7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图所示,下列说法中:①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c=0;④当-10,正确的是 (填写序号).
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8.(2023·株洲中考)如图所示,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴,则下列说法正确的是( )
A.b恒大于0 B.a,b同号
C.a,b异号 D.以上说法都不对
9.如图,抛物线L1:y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移两个单位长度得到抛物线L2,则图中两个阴影部分的面积和为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象是( )
11.已知函数y=ax2-(a-1)x-2a+1,当012.(2023·绍兴中考)在平面直角坐标系xOy中,一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界),这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:如图,函数y=(x-2)2(0≤x≤3)的图象(抛物线中的实线部分),它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC,则b= .
13.(2024·贵阳模拟)在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过点A,B.
(1)c= ;a,b之间的关系式为 ;
(2)当x<0时,若y=ax2+bx+c(a<0)的函数值随x的增大而增大,求a的取值范围;
(3)如图,当a=-1时,在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积为1 若存在,求出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
易错点 忽视对称轴求最值
【案例】若函数y=3x2-(9+a)x+6+2a(x是自变量且x为整数),在x=6或x=7时取得最小值,则a的取值范围是 .