1.4 二次函数与一元二次方程的联系
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数和一元二次方程之间的关系
1.(教材再开发·P28第1题拓展)抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交点的情况是(C)
A.无交点 B.一个交点
C.两个交点 D.无法确定
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况描述正确的是(B)
A.有两个相等的实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个同号的实数根
D.有两个无法确定符号的实数根
3.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(a,0),则a2-a+2 023= 2 024 .
4.(2023·黔东南州施秉县期末)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+bx+c=3的解是 -2或0 .
5.(2024·贵阳花溪区期中)已知抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3).
(1)求m的值,抛物线的顶点坐标以及抛物线与x轴的交点坐标.
(2)当x取何值时,抛物线在x轴上方
(3)当x取何值时,y随x的增大而增大
【解析】(1)由抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3),
得3=0+(m-1)×0+m,
解得m=3,
∴抛物线为y=-x2+2x+3.
由-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3,
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0).
∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
∴抛物线的顶点坐标为(1,4).
(2)函数的图象如图所示:
由图象可知,当-1(3)由图象可知,当x<1时,y随x的增大而增大.
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
6.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x=-3.4,则方程的另一个近似根(精确到0.1)为(D)
A.4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4
7.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表,则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是 6.18x 6.17 6.18 6.19 6.20
y -0.03 -0.01 0.02 0.04
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为(B)
A.4 B.6 C.8 D.10
9.(2023·衡阳中考)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1A.x3C.x110.(2023·自贡中考)经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,则线段AB的长为(B)
A.10 B.12 C.13 D.15
11.(2023·西宁中考)直线y1=ax+b和抛物线y2=ax2+bx(a,b是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中,直线y1=ax+b经过点(-4,0).下列结论:①抛物线y2=ax2+bx的对称轴是直线x=-2;②抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点;③关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x1=-4,x2=1;④若a>0,当x<-4或x>1时,y1>y2.其中正确的结论是(B)
A.①②③④ B.①②③
C.②③ D.①④
12.如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,与x轴的一个交点为A(-1,0),点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数y=kx+b的图象经过A,B两点,根据图象,则满足不等式(x+2)2+m≤kx+b的x的取值范围是
-4≤x≤-1 .
13.(2023·遵义凤冈县质检)已知二次函数y=x2-(m+2)x+2m-1.
(1)求证:不论m取何值,该函数图象与x轴总有两个公共点;
(2)若该函数的图象与y轴交于点(0,3),求当0【解析】(1)令y=0,则x2-(m+2)x+2m-1=0,
∴Δ=[-(m+2)2]-4(2m-1),
=m2+4m+4-8m+4,
=m2-4m+8=(m-2)2+4≥4,
∴Δ>0,
∴方程总有两个不相等的实数根,即抛物线与x轴总有两个交点;
(2)∵函数的图象与y轴交于点(0,3).
∴2m-1=3,∴m=2,
∴抛物线的表达式为y=x2-4x+3,
∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的开口向上,当x=2时,函数y的最小值为-1,
当x=0时,y=3,当x=5时,y=25-20+3=8,∴当0易错点 忽视分类讨论
【案例】函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为(C)
A.0 B.0或2
C.0或2或-2 D.2或-21.4 二次函数与一元二次方程的联系
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 二次函数和一元二次方程之间的关系
1.(教材再开发·P28第1题拓展)抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交点的情况是( )
A.无交点 B.一个交点
C.两个交点 D.无法确定
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况描述正确的是( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个异号的实数根
C.有两个同号的实数根
D.有两个无法确定符号的实数根
3.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(a,0),则a2-a+2 023= .
4.(2023·黔东南州施秉县期末)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+bx+c=3的解是 .
5.(2024·贵阳花溪区期中)已知抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3).
(1)求m的值,抛物线的顶点坐标以及抛物线与x轴的交点坐标.
(2)当x取何值时,抛物线在x轴上方
(3)当x取何值时,y随x的增大而增大
知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
6.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根x=-3.4,则方程的另一个近似根(精确到0.1)为( )
A.4.4 B.3.4 C.2.4 D.1.4
7.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表,则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是 .
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y -0.03 -0.01 0.02 0.04
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.抛物线y=x2-1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
9.(2023·衡阳中考)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1A.x3C.x110.(2023·自贡中考)经过A(2-3b,m),B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,则线段AB的长为( )
A.10 B.12 C.13 D.15
11.(2023·西宁中考)直线y1=ax+b和抛物线y2=ax2+bx(a,b是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中,直线y1=ax+b经过点(-4,0).下列结论:①抛物线y2=ax2+bx的对称轴是直线x=-2;②抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点;③关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x1=-4,x2=1;④若a>0,当x<-4或x>1时,y1>y2.其中正确的结论是( )
A.①②③④ B.①②③
C.②③ D.①④
12.如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,与x轴的一个交点为A(-1,0),点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称.已知一次函数y=kx+b的图象经过A,B两点,根据图象,则满足不等式(x+2)2+m≤kx+b的x的取值范围是
.
13.(2023·遵义凤冈县质检)已知二次函数y=x2-(m+2)x+2m-1.
(1)求证:不论m取何值,该函数图象与x轴总有两个公共点;
(2)若该函数的图象与y轴交于点(0,3),求当0易错点 忽视分类讨论
【案例】函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为( )
A.0 B.0或2
C.0或2或-2 D.2或-2
