第1章 二次函数单元复习整合练
主干快速填 思维导图 扫描考点
答案:(1) 加 ; (2) 减 ; (3) 向上 ; (4) 向下 ; (5) y轴左侧 ;
(6) y轴右侧 ; (7) (-,) ; (8) 减小 ; (9) 增大 ;
(10) 增大 ; (11) 减小 ; (12) ; (13) ; (14) 横坐标 .
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二次函数的图象和性质
1.(2023·扬州中考)已知二次函数y=ax2-2x+(a为常数,且a>0),下列结论:①函数图象一定经过第一、二、四象限;②函数图象一定不经过第三象限;③当x<0时,y随x的增大而减小;④当x>0时,y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是(B)
A.①② B.②③ C.② D.③④
2.(2023·凉山州中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是(C)
A.abc<0
B.4a-2b+c<0
C.3a+c=0
D.am2+bm+a≤0(m为实数)
3.(2023·牡丹江中考)将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度,再向右平移 2或4 个单位长度后,得到的新抛物线经过原点.
4.(2023·娄底中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(1,0),点B(3,0),与y轴相交于点C,点D在抛物线上,当CD∥x轴时,CD= 4 .
二次函数与一次函数的关系
5.(2023·河南中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象一定不经过(C)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.(2023·新疆中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx-3相交于点A,B.结合图象,判断下列结论:
①当-2y2;②x=3是方程ax2+bx-3=0的一个解;③若(-1,t1),(4,t2)是抛物线上的两点,则t1A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
7.(2022·北部湾中考)已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求点A,点B的坐标;
(2)如图,过点A的直线l:y=-x-1与抛物线的另一个交点为C,点P为抛物线对称轴上的一点,连接PA,PC,设点P的纵坐标为m,当PA=PC时,求m的值;
(3)将线段AB先向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到线段MN,若抛物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0)与线段MN只有一个交点,请直接写出a的取值范围.
【解析】(1)当y=0时,-x2+2x+3=0,
∴x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),B(3,0);
(2)∵抛物线对称轴为x==1,
∴设P(1,m),由-x2+2x+3=-x-1得,x3=-1(舍去),x4=4,
当x=4时,y=-4-1=-5,∴C(4,-5),
由PA2=PC2得,22+m2=(4-1)2+(m+5)2,∴m=-3;
(3)由题意可得M(0,5),N(4,5),
当a>0时,∵y=-a(x-1)2+4a,
∴抛物线的顶点为(1,4a),
∴,∴a≥,
当a<0时,(-16+8+3)a≥5,∴a≤-1,
综上所述,a≥或a≤-1.
二次函数的实际应用
8.(2023·天津中考)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(2023·长春中考)2023年5月28日,C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”,是国际民航中高级别的礼仪).如图①,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②,当两辆消防车喷水口A,B的水平距离为80米时,两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米,喷水口A,B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A',B'到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点H'距地面 19 米.
10.(2023·潍坊中考)为研究某种化学试剂的挥发情况,某研究团队在两种不同的场景下做对比实验,收集了该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据(0≤x≤20),并分别绘制在直角坐标系中,如图所示.
(1)从y=ax+21(a≠0),y=(k≠0),y=-0.04x2+bx+c中,选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系,并求出相应的函数表达式;
(2)查阅文献可知,该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中,该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长
【解析】(1)观察两种场景可知,场景A为y=-0.04x2+bx+c,场景B为y=ax+21(a≠0),
把(10,16),(20,3)代入y=-0.04x2+bx+c得:,解得,
∴y=-0.04x2-0.1x+21,
把(5,16)代入y=ax+21得:5a+21=16,
解得a=-1,
∴y=-x+21;
答:场景A的函数表达式为y=-0.04x2-0.1x+21,场景B的函数表达式为y=-x+21;
(2)见全解全析
11.(2023·湖北中考)加强劳动教育,落实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下,建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中1 000 m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现:甲种蔬菜种植成本y(单位;元/m2)与其种植面积x(单位:m2)的函数关系如图所示,其中200≤x≤700;乙种蔬菜的种植成本为50元/m2.
(1)当x= m2时,y=35元/m2;
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使W最小
(3)学校计划今后每年在这1 000 m2土地上,均按(2)中方案种植蔬菜,因技术改进,预计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%,乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%,当a为何值时,2025年的总种植成本为28 920元
【解析】(1)当200≤x≤600时,设甲种蔬菜种植成本y(单位;元/m2)与其种植面积x(单位:m2)的函数关系式为y=kx+b,
把(200,20),(600,40)代入得,
,解得,
∴y=x+10,
当600∴当y=35时,35=x+10,
解得x=500;
答案:500
(2)(3)见全解全析
二次函数的综合应用
12.(2023·贵州中考)如图①是一座抛物线形拱桥,小星学习二次函数后,受到该图启示设计了一建筑物造型,它的截面图是抛物线的一部分(如图②所示),抛物线的顶点在C处,对称轴OC与水平线OA垂直,OC=9,点A在抛物线上,且点A到对称轴的距离OA=3,点B在抛物线上,点B到对称轴的距离是1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,为更加稳固,小星想在OC上找一点P,加装拉杆PA,PB,同时使拉杆的长度之和最短,请你帮小星找到点P的位置并求出坐标;
(3)为了造型更加美观,小星重新设计抛物线,其表达式为y=-x2+2bx+b-1(b>0),当4≤x≤6时,函数y的值总大于等于9.求b的取值范围.
【解析】(1)设抛物线的表达式为y=ax2+9,
把点A(3,0)代入,得:9a+9=0,解得:a=-1,
∴抛物线的表达式为:y=-x2+9;
(2)作A点关于y轴的对称点A'(-3,0),连接A'B交OC于点P,则P点即为所求;
把x=1代入y=-x2+9,得:y=8,∴B(1,8)
设直线A'B的表达式为y=kx+m,
∴,解得:,
∴y=2x+6,
令x=0,得y=6,∴P点的坐标为(0,6);
(3)见全解全析
13.(2022·黔东南州中考)如图,抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点C,连接AC.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DM⊥x轴,垂足为点M,DM交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出点N的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)已知点E是抛物线对称轴上的点,在坐标平面内是否存在点F,使以点B,C,E,F为顶点的四边形为矩形,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A,B(3,0),
∴A的坐标为(-1,0),
∴,解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3;
(2)(3)见全解全析
阶段测评 请做“单元测评挑战卷(五)”
教学总结与教学反思
1.本章教学,授课教师先带领学生复习什么是一次函数,然后设计具体的问题情境让学生自己“推导”出一个二次函数,在此基础上,逐步归纳出二次函数的一般解析式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).通过结合二次函数与一元二次方程及实际问题的应用练习,巩固二次函数的知识.
2.教学设计上“步步为营”,学生的思维能力“层层提高”,合理设计具有针对性问题,借助学生已有的知识背景开展教学.在解决“老”问题的过程中巧妙地“埋设”新问题,环环相扣,引人入胜,充分激励学生的求知欲、调动学生学习的主动性.
3.教学过程中教师不仅注重对知识的梳理和巩固,更应注重提炼出让学生终生受用的思考方法,使学生的思维水平有所提高,这样不仅提高了学生独立发现问题,解决问题的能力,避免学习落入程式化,也让学生体验到了成功的喜悦.
4.学生的能力得到发展,除了课堂互动教学外,教师应在课后补充练习题,对大部分学生来说可以开阔视野,提高探究能力.第1章 二次函数单元复习整合练
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二次函数的图象和性质
1.(2023·扬州中考)已知二次函数y=ax2-2x+(a为常数,且a>0),下列结论:①函数图象一定经过第一、二、四象限;②函数图象一定不经过第三象限;③当x<0时,y随x的增大而减小;④当x>0时,y随x的增大而增大.其中所有正确结论的序号是( )
A.①② B.②③ C.② D.③④
2.(2023·凉山州中考)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.abc<0
B.4a-2b+c<0
C.3a+c=0
D.am2+bm+a≤0(m为实数)
3.(2023·牡丹江中考)将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度,再向右平移 个单位长度后,得到的新抛物线经过原点.
4.(2023·娄底中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(1,0),点B(3,0),与y轴相交于点C,点D在抛物线上,当CD∥x轴时,CD= .
二次函数与一次函数的关系
5.(2023·河南中考)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象一定不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
6.(2023·新疆中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx-3相交于点A,B.结合图象,判断下列结论:
①当-2y2;②x=3是方程ax2+bx-3=0的一个解;③若(-1,t1),(4,t2)是抛物线上的两点,则t1A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
7.(2022·北部湾中考)已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求点A,点B的坐标;
(2)如图,过点A的直线l:y=-x-1与抛物线的另一个交点为C,点P为抛物线对称轴上的一点,连接PA,PC,设点P的纵坐标为m,当PA=PC时,求m的值;
(3)将线段AB先向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到线段MN,若抛物线y=a(-x2+2x+3)(a≠0)与线段MN只有一个交点,请直接写出a的取值范围.
二次函数的实际应用
8.(2023·天津中考)如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(2023·长春中考)2023年5月28日,C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场,穿过隆重的“水门礼”(寓意“接风洗尘”,是国际民航中高级别的礼仪).如图①,在一次“水门礼”的预演中,两辆消防车面向飞机喷射水柱,喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图②,当两辆消防车喷水口A,B的水平距离为80米时,两条水柱在抛物线的顶点H处相遇.此时相遇点H距地面20米,喷水口A,B距地面均为4米.若两辆消防车同时后退10米,两条水柱的形状及喷水口A',B'到地面的距离均保持不变,则此时两条水柱相遇点H'距地面 19 米.
10.(2023·潍坊中考)为研究某种化学试剂的挥发情况,某研究团队在两种不同的场景下做对比实验,收集了该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据(0≤x≤20),并分别绘制在直角坐标系中,如图所示.
(1)从y=ax+21(a≠0),y=(k≠0),y=-0.04x2+bx+c中,选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系,并求出相应的函数表达式;
(2)查阅文献可知,该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上述实验中,该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长
11.(2023·湖北中考)加强劳动教育,落实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下,建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中1 000 m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现:甲种蔬菜种植成本y(单位;元/m2)与其种植面积x(单位:m2)的函数关系如图所示,其中200≤x≤700;乙种蔬菜的种植成本为50元/m2.
(1)当x= m2时,y=35元/m2;
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元,如何分配两种蔬菜的种植面积,使W最小
(3)学校计划今后每年在这1 000 m2土地上,均按(2)中方案种植蔬菜,因技术改进,预计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%,乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%,当a为何值时,2025年的总种植成本为28 920元
二次函数的综合应用
12.(2023·贵州中考)如图①是一座抛物线形拱桥,小星学习二次函数后,受到该图启示设计了一建筑物造型,它的截面图是抛物线的一部分(如图②所示),抛物线的顶点在C处,对称轴OC与水平线OA垂直,OC=9,点A在抛物线上,且点A到对称轴的距离OA=3,点B在抛物线上,点B到对称轴的距离是1.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图②,为更加稳固,小星想在OC上找一点P,加装拉杆PA,PB,同时使拉杆的长度之和最短,请你帮小星找到点P的位置并求出坐标;
(3)为了造型更加美观,小星重新设计抛物线,其表达式为y=-x2+2bx+b-1(b>0),当4≤x≤6时,函数y的值总大于等于9.求b的取值范围.
13.(2022·黔东南州中考)如图,抛物线y=ax2+2x+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点C,连接AC.
(1)求此抛物线的表达式;
(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DM⊥x轴,垂足为点M,DM交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出点N的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)已知点E是抛物线对称轴上的点,在坐标平面内是否存在点F,使以点B,C,E,F为顶点的四边形为矩形,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
教学总结与教学反思
1.本章教学,授课教师先带领学生复习什么是一次函数,然后设计具体的问题情境让学生自己“推导”出一个二次函数,在此基础上,逐步归纳出二次函数的一般解析式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).通过结合二次函数与一元二次方程及实际问题的应用练习,巩固二次函数的知识.
2.教学设计上“步步为营”,学生的思维能力“层层提高”,合理设计具有针对性问题,借助学生已有的知识背景开展教学.在解决“老”问题的过程中巧妙地“埋设”新问题,环环相扣,引人入胜,充分激励学生的求知欲、调动学生学习的主动性.
3.教学过程中教师不仅注重对知识的梳理和巩固,更应注重提炼出让学生终生受用的思考方法,使学生的思维水平有所提高,这样不仅提高了学生独立发现问题,解决问题的能力,避免学习落入程式化,也让学生体验到了成功的喜悦.
4.学生的能力得到发展,除了课堂互动教学外,教师应在课后补充练习题,对大部分学生来说可以开阔视野,提高探究能力.
