﹡2.3 垂径定理
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 垂径定理及其推论
1.(定理应用题)如图,已知☉O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是( )
A.AE=OE B.CE=DE
C.OE=CE D.∠AOC=60°
2.(2023·宜昌中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=
CD=8,OD=6,则BD的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
3.如图所示,☉O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6,则直径AB的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.4
4.(2024·黔东南州质检)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,CD=10,BE=2,则☉O的半径OC= .
5.如图,已知AB是☉O的弦,∠AOB=120°,OC⊥AB,垂足为C,OC的延长线交☉O于点D.若∠APD是所对的圆周角,则∠APD的度数是 .
6.已知:如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D.
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
知识点2 垂径定理的实际应用
7.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16 m,半径OA=10 m,则中间柱CD的高度为( )
A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.(2023·凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC=( )
A.1 B.2 C.2 D.4
9.如图,将半径为4 cm的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为( )
A.4 cm B.2 cm
C. cm D. cm
10.如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是( )
A.1 B. C.2 D.4
11.如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是☉O中弦AB的中点,CD经过圆心O交☉O于点D,并且AB=4 m,CD=6 m,则☉O的半径长为 m.
12.已知☉O的半径为5,P为圆内的一点,OP=3,则过点P的弦长的最小值是
.
13.如图,☉P与y轴交于点M(0,-4),N(0,-10),圆心P的横坐标为-4.则☉P的半径为
.
14.(2024·黔南州长顺县质检)高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病.
(1)养殖场有4万只鸡.假设有一只鸡得了禽流感,如果不采取任何措施,那么第二天将新增病鸡10只,到第三天又将新增病鸡100只,以后每天新增病鸡数以此类推,请问到第四天,共有多少只鸡得了禽流感 到第几天,所有的鸡都会感染禽流感
(2)为防止禽流感蔓延,防疫部门规定,离疫点3千米范围内为捕杀区.所有的禽类全部捕杀.离疫点3~5千米范围内为免疫区,所有的禽类强制免疫;同时对捕杀区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理.现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区.如图所示,O为疫点,到公路AB的最短距离为1千米,OA=5千米,OC=3千米.问:这条公路在该免疫区内有多少千米 (结果保留根号)
易错点 忽略弦的不同位置造成漏解
【案例】☉O半径为10,弦AB=12,CD=16,且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.﹡2.3 垂径定理
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 垂径定理及其推论
1.(定理应用题)如图,已知☉O的直径AB⊥弦CD于点E,下列结论中一定正确的是(B)
A.AE=OE B.CE=DE
C.OE=CE D.∠AOC=60°
2.(2023·宜昌中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=
CD=8,OD=6,则BD的长为(B)
A.5 B.4 C.3 D.2
3.如图所示,☉O的直径AB垂直弦CD于点P,且P是半径OB的中点,CD=6,则直径AB的长是(D)
A.2 B.3 C.4 D.4
4.(2024·黔东南州质检)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,CD=10,BE=2,则☉O的半径OC= .
5.如图,已知AB是☉O的弦,∠AOB=120°,OC⊥AB,垂足为C,OC的延长线交☉O于点D.若∠APD是所对的圆周角,则∠APD的度数是 30° .
6.已知:如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D.
(1)求证:AC=BD;
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
【解析】(1)过点O作OE⊥AB于点E.则AE=BE ,CE=DE.∴AE-CE=BE-DE,
即AC=BD.
(2)连接OA,OC.由(1)可知,OE⊥AB且OE⊥CD,
∴CE===2,
AE===8.
∴AC=AE-CE=8-2.
知识点2 垂径定理的实际应用
7.某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示,已知AB=16 m,半径OA=10 m,则中间柱CD的高度为(B)
A.3 m B.4 m C.5 m D.6 m
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.(2023·凉山州中考)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC=(B)
A.1 B.2 C.2 D.4
9.如图,将半径为4 cm的圆折叠后,圆弧恰好经过圆心,则折痕的长为(A)
A.4 cm B.2 cm
C. cm D. cm
10.如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4,DE=4,则BC的长是(C)
A.1 B. C.2 D.4
11.如图是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分,如果C是☉O中弦AB的中点,CD经过圆心O交☉O于点D,并且AB=4 m,CD=6 m,则☉O的半径长为 m.
12.已知☉O的半径为5,P为圆内的一点,OP=3,则过点P的弦长的最小值是
8 .
13.如图,☉P与y轴交于点M(0,-4),N(0,-10),圆心P的横坐标为-4.则☉P的半径为
5 .
14.(2024·黔南州长顺县质检)高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病.
(1)养殖场有4万只鸡.假设有一只鸡得了禽流感,如果不采取任何措施,那么第二天将新增病鸡10只,到第三天又将新增病鸡100只,以后每天新增病鸡数以此类推,请问到第四天,共有多少只鸡得了禽流感 到第几天,所有的鸡都会感染禽流感
(2)为防止禽流感蔓延,防疫部门规定,离疫点3千米范围内为捕杀区.所有的禽类全部捕杀.离疫点3~5千米范围内为免疫区,所有的禽类强制免疫;同时对捕杀区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理.现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区.如图所示,O为疫点,到公路AB的最短距离为1千米,OA=5千米,OC=3千米.问:这条公路在该免疫区内有多少千米 (结果保留根号)
【解析】(1)第四天,共有1+10+100+1 000=1 111只鸡得了禽流感,
第五天,共有1 111+10 000=11 111只鸡得了禽流感,
那么到了第六天将会有十多万只鸡会得禽流感,而养殖场有4万只鸡,
所以到第六天,所有的鸡都会感染禽流感;
(2)见全解全析
易错点 忽略弦的不同位置造成漏解
【案例】☉O半径为10,弦AB=12,CD=16,且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
【解析】见全解全析
