2.2.2 圆周角
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 直径所对的圆周角
1.(2023·广东中考)如图,AB是☉O的直径,∠BAC=50°,则∠D=(B)
A.20° B.40° C.50° D.80°
2.如图,△ABC内接于☉O,AD是☉O的直径,若∠B=20°,则∠CAD的度数是(C)
A.60° B.65° C.70° D.75°
3.(2024·黔东南州麻江县质检)如图,点A,B,C,D都在☉O上,∠ABC=90°,AD=3, CD=2,则☉O的直径的长是 .
4.已知:如图,在△ABC中,AB为☉O的直径,BC,AC分别交☉O于D,E两点,若=,求证:AB=AC.
【证明】连接AD,∵AB为圆O的直径,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵=,
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(ASA).
∴AB=AC.
知识点2 圆内接四边形
5.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠BCD=121°,则∠BOD的度数为(C)
A.138°
B.121°
C.118°
D.112°
6.(2024·铜仁碧江区质检)如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,=.若∠C=110°,则∠ABC的度数等于(A)
A.55° B.60° C.65° D.70°
7.圆内接四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C的度数的比是1∶2∶3,那么这四边形最大角的度数是 135 度.
8.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°.
求证:(1)AD=CD;
(2)AB是☉O的直径.
【证明】见全解全析
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.(2024·六盘水县质检)如图,四边形ABCD内接于☉O,M为边CB延长线上一点.若∠AOC=98°,则∠ABM的度数是(B)
A.42° B.49° C.51° D.59°
10.如图,点C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上一点,连接AC,BC,OC.若AC=4,BC=3,则sin ∠BOC的值是(B)
A.1 B. C. D.
11.如图,在平面直角坐标系中,☉P经过点A (0,),O(0,0),B(1,0),点C在第一象限内的上,则∠BCO的度数为(C)
A.60° B.45° C.30° D.15°
12.(2024·黔西南州期中)如图,点A,B,C,D,E在☉O上,所对的圆心角为50°,则
∠C+∠E等于 155° .
13.如图,点A,C,D,B在☉O上,AC=BC,∠ACB=90°.若CD=a,tan∠CBD=,则AD的长是 2a .
14.(2023·安顺平坝县质检)如图所示,AB=AC,AB为☉O的直径,AC,BC分别交☉O于E,D,连接ED,BE.
(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;
(2)如果BC=12,AB=10,求BE的长.
【解析】(1)DE=BD,理由如下:
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠CAD=∠BAD,
∴=,
∴DE=BD;
(2)∵BC=12,BD=BC=6,
在Rt△ABD中,AB=10,∠ADB=90°,
∴AD===8,
∵AB为☉O的直径,
∴∠ADB=∠AEB=90°,
∴AD⊥BC,BE⊥AC,
∴S△ABC=BC·AD=AC·BE,
∵AB=AC=10,
∴AC·BE=CB·AD,
∴BE=.
模型 见到直径,构造直径所对的圆周角
如图,若已知AB是☉O的直径,可构造直径所对的圆周角,充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质,得到Rt△AEB和Rt△ADB.2.2.2 圆周角
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 圆周角的定义
1.下列图形中,是圆周角的是(B)
2.如图,所对的圆周角是 ∠ADC和∠ABC .
知识点2 圆周角定理
3.(概念应用题)如图,E,F,G为圆上的三点,∠FEG=50°,P点可能是圆心的是(C)
4.(2023·云南中考)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则
∠A=(B)
A.66° B.33° C.24° D.30°
5.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠ADC=30°,则∠BOC= 120 度.
知识点3 同弧(等弧)所对的圆周角
6.下列说法中,正确的有(A)
①相等的圆周角所对的弧相等;
②同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等;
③等弧所对圆周角相等;
④圆心角等于圆周角的2倍.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.(2024·铜仁印江县质检)如图,D为☉O上一点,=,∠AOB=50°,则∠ADC的度数是 25° .
8.(2023·贵阳花溪区期末)如图,在☉O中,B,C是的三等分点,弦AC,BD相交于点E.
(1)求证:AC=BD;
(2)连接AB,若∠BAC=30°,求∠BEC的度数.
【解析】(1)∵B,C是的三等分点,
∴==,
∴+=+,
∴=,∴AC=BD;
(2)∵∠BAC=30°,==,
∴∠BAC=∠CAD=∠BDA=30°,
∵∠AED+∠CAD+∠BDA=180°,
∴∠AED=180°-∠CAD-∠BDA=120°,
∴∠BEC=∠AED=120°.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.(2023·牡丹江中考)如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=4∠BOC,若∠ACB =60°,则∠BAC的度数是(C)
A.20° B.18° C.15° D.12°
10.(2023·吉林中考)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点O,B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是(D)
A.70° B.105° C.125° D.155°
11.(2023·遵义仁怀市模拟)已知,如图,点A,B,C三点都在☉O上,∠B=∠A,∠A= 45°,若△ABC的面积为2,则☉O的半径为(B)
A.4 B.2
C. D.
12.(2023·烟台中考)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为 52.5° .
13.如图,A,B,C是☉O上的三个点,四边形AOCD是平行四边形,连接AB,BC,若
∠B= 32°,则∠D= 64 °.
14.如图,边长为6的等边三角形ABC内接于☉O,点D为AC上的动点(点A,C除外),BD的延长线交☉O于点E,连接CE.
(1)求证:△CED∽△BAD;
(2)当DC=2AD时,求CE的长.
【解析】(1)∵∠CDE=∠BDA,∠A=∠E,∴△CED∽△BAD;
(2)如图,过点D作DF⊥EC于点F,
∵△ABC是边长为6的等边三角形,∴∠A=60°,AC=AB=6,
∵DC=2AD,∴AD=2,DC=4,
∵△CED∽△BAD,∴===3,
∴EC=3DE,
∵∠E=∠A=60°,DF⊥EC,
∴∠EDF=90°-60°=30°,∴DE=2EF,
设EF=x,则DE=2x,DF=x,EC=6x,
∴FC=5x,
在Rt△DFC中,DF2+FC2=DC2,
∴(x)2+(5x)2=42,
解得:x=或-(不符合题意,舍去),
∴CE=6x=.
易错点 忽略同弦所对圆周角的两种情况
【案例】AB是☉O的弦,∠AOB=80°,则弦AB所对的圆周角是(B)
A.40° B.140°或40°
C.20° D.20°或160°2.2.2 圆周角
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 圆周角的定义
1.下列图形中,是圆周角的是( )
2.如图,所对的圆周角是 .
知识点2 圆周角定理
3.(概念应用题)如图,E,F,G为圆上的三点,∠FEG=50°,P点可能是圆心的是( )
4.(2023·云南中考)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则
∠A=( )
A.66° B.33° C.24° D.30°
5.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠ADC=30°,则∠BOC= 度.
知识点3 同弧(等弧)所对的圆周角
6.下列说法中,正确的有( )
①相等的圆周角所对的弧相等;
②同圆或等圆中,同弦或等弦所对的圆周角相等;
③等弧所对圆周角相等;
④圆心角等于圆周角的2倍.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.(2024·铜仁印江县质检)如图,D为☉O上一点,=,∠AOB=50°,则∠ADC的度数是 .
8.(2023·贵阳花溪区期末)如图,在☉O中,B,C是的三等分点,弦AC,BD相交于点E.
(1)求证:AC=BD;
(2)连接AB,若∠BAC=30°,求∠BEC的度数.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.(2023·牡丹江中考)如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=4∠BOC,若∠ACB =60°,则∠BAC的度数是( )
A.20° B.18° C.15° D.12°
10.(2023·吉林中考)如图,AB,AC是☉O的弦,OB,OC是☉O的半径,点P为OB上任意一点(点P不与点O,B重合),连接CP.若∠BAC=70°,则∠BPC的度数可能是( )
A.70° B.105° C.125° D.155°
11.(2023·遵义仁怀市模拟)已知,如图,点A,B,C三点都在☉O上,∠B=∠A,∠A= 45°,若△ABC的面积为2,则☉O的半径为( )
A.4 B.2
C. D.
12.(2023·烟台中考)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为 .
13.如图,A,B,C是☉O上的三个点,四边形AOCD是平行四边形,连接AB,BC,若
∠B= 32°,则∠D= °.
14.如图,边长为6的等边三角形ABC内接于☉O,点D为AC上的动点(点A,C除外),BD的延长线交☉O于点E,连接CE.
(1)求证:△CED∽△BAD;
(2)当DC=2AD时,求CE的长.
易错点 忽略同弦所对圆周角的两种情况
【案例】AB是☉O的弦,∠AOB=80°,则弦AB所对的圆周角是( )
A.40° B.140°或40°
C.20° D.20°或160°2.2.2 圆周角
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 直径所对的圆周角
1.(2023·广东中考)如图,AB是☉O的直径,∠BAC=50°,则∠D=( )
A.20° B.40° C.50° D.80°
2.如图,△ABC内接于☉O,AD是☉O的直径,若∠B=20°,则∠CAD的度数是( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
3.(2024·黔东南州麻江县质检)如图,点A,B,C,D都在☉O上,∠ABC=90°,AD=3, CD=2,则☉O的直径的长是 .
4.已知:如图,在△ABC中,AB为☉O的直径,BC,AC分别交☉O于D,E两点,若=,求证:AB=AC.
知识点2 圆内接四边形
5.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,若∠BCD=121°,则∠BOD的度数为( )
A.138°
B.121°
C.118°
D.112°
6.(2024·铜仁碧江区质检)如图,四边形ABCD是半圆的内接四边形,AB是直径,=.若∠C=110°,则∠ABC的度数等于( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
7.圆内接四边形ABCD中,∠A,∠B,∠C的度数的比是1∶2∶3,那么这四边形最大角的度数是 度.
8.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠B=50°,∠ACD=25°,∠BAD=65°.
求证:(1)AD=CD;
(2)AB是☉O的直径.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
9.(2024·六盘水县质检)如图,四边形ABCD内接于☉O,M为边CB延长线上一点.若∠AOC=98°,则∠ABM的度数是( )
A.42° B.49° C.51° D.59°
10.如图,点C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上一点,连接AC,BC,OC.若AC=4,BC=3,则sin ∠BOC的值是( )
A.1 B. C. D.
11.如图,在平面直角坐标系中,☉P经过点A (0,),O(0,0),B(1,0),点C在第一象限内的上,则∠BCO的度数为( )
A.60° B.45° C.30° D.15°
12.(2024·黔西南州期中)如图,点A,B,C,D,E在☉O上,所对的圆心角为50°,则
∠C+∠E等于 .
13.如图,点A,C,D,B在☉O上,AC=BC,∠ACB=90°.若CD=a,tan∠CBD=,则AD的长是 .
14.(2023·安顺平坝县质检)如图所示,AB=AC,AB为☉O的直径,AC,BC分别交☉O于E,D,连接ED,BE.
(1)试判断DE与BD是否相等,并说明理由;
(2)如果BC=12,AB=10,求BE的长.
模型 见到直径,构造直径所对的圆周角
如图,若已知AB是☉O的直径,可构造直径所对的圆周角,充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质,得到Rt△AEB和Rt△ADB.
