2.4 过不共线三点作圆
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 确定圆的条件
1.(2023·江西中考)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为(D)
A.3 B.4
C.5 D.6
2.(教材再开发·P63练习第2题改编)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)
A.第①块 B.第②块
C.第③块 D.第④块
3.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C都在格点上,过A,B,C三点作一圆弧,则圆心的坐标是 (2,1) .
4.如图,∠D=∠B=90°.求证:A,B,C,D四点在同一个圆上.
【证明】取AC的中点O,连接OD,OB,∵∠ABC是直角,O为AC的中点,
∴OD=AC.
∵∠ADC都是直角,O为AC的中点,∴OB=AC,∴OA=OB=OC=OD,
∴A,B,C,D四点在以O为圆心,以AC为半径的同一个圆上.
知识点2 三角形的外接圆与外心
5.(2023·巴中中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠C=25°,则∠BAO=(D)
A.25° B.50° C.60° D.65°
6.(2023·毕节黔西县模拟)如图,☉A过点O(0,0),C(4,0),D(0,3),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则tan ∠OBD的值为 .
7.(2023·贵阳云岩区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(4,0),B(3,3),点P是△OAB的外接圆的圆心,则点P的坐标为 (2,1) .
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.(生活情境题)如图,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在(A)
A.△ABC三边垂直平分线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三条中线的交点
9.(2023·遵义市汇川区模拟)如图,△ABC内接于☉O,∠A=50°.E是边BC的中点,连接OE并延长,交☉O于点D,连接BD,则∠D的大小为(B)
A.55° B.65° C.60° D.75°
10.三角形两边的长分别是 8 和 6,第三边的长是方程 x2-12x+20=0 的一个实数根,则三角形的外接圆半径是(B)
A.4 B.5 C.6 D.8
11.已知直线l:y=x-4,点A(0,2),点B(2,0),设点P为直线l上一动点,当P的坐标为 (3,-1) 时,过P,A,B三点不能作出一个圆.
12.(2023·广安中考)如图,△ABC内接于☉O,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦BC的长度为 7 .
13.如图,在边长为1的正方形网格中,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在格点上,则cos∠ACB的值是 .
14.(2024·贵阳修文县期末)如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证:DE=DB;
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.
【解析】(1)∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE,
∵∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠EBC+∠CBD,∠CBD=∠CAD,
∴∠BED=∠EBD,∴DE=DB;
(2)连接CD,∵∠BAC=90°,
∴BC是直径,
∴∠BDC=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,∴=,∴BD=CD,∵BD=4,
∴BC==4,
∴△ABC外接圆的半径为2.
易错点 忽略圆内接三角形的多种可能而漏解
【案例1】点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为(C)
A.40° B.100°
C.40°或140° D.40°或100°
【案例2】若点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=4,则△ABC的边BC上的高为 4-2或4+2 . 2.4 过不共线三点作圆
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 确定圆的条件
1.(2023·江西中考)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
2.(教材再开发·P63练习第2题改编)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )
A.第①块 B.第②块
C.第③块 D.第④块
3.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C都在格点上,过A,B,C三点作一圆弧,则圆心的坐标是 .
4.如图,∠D=∠B=90°.求证:A,B,C,D四点在同一个圆上.
知识点2 三角形的外接圆与外心
5.(2023·巴中中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,若∠C=25°,则∠BAO=( )
A.25° B.50° C.60° D.65°
6.(2023·毕节黔西县模拟)如图,☉A过点O(0,0),C(4,0),D(0,3),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则tan ∠OBD的值为 .
7.(2023·贵阳云岩区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(4,0),B(3,3),点P是△OAB的外接圆的圆心,则点P的坐标为 .
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.(生活情境题)如图,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在( )
A.△ABC三边垂直平分线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三条中线的交点
9.(2023·遵义市汇川区模拟)如图,△ABC内接于☉O,∠A=50°.E是边BC的中点,连接OE并延长,交☉O于点D,连接BD,则∠D的大小为( )
A.55° B.65° C.60° D.75°
10.三角形两边的长分别是 8 和 6,第三边的长是方程 x2-12x+20=0 的一个实数根,则三角形的外接圆半径是( )
A.4 B.5 C.6 D.8
11.已知直线l:y=x-4,点A(0,2),点B(2,0),设点P为直线l上一动点,当P的坐标为 时,过P,A,B三点不能作出一个圆.
12.(2023·广安中考)如图,△ABC内接于☉O,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦BC的长度为 .
13.如图,在边长为1的正方形网格中,☉O是△ABC的外接圆,点A,B,O在格点上,则cos∠ACB的值是 .
14.(2024·贵阳修文县期末)如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证:DE=DB;
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.
易错点 忽略圆内接三角形的多种可能而漏解
【案例1】点O是△ABC的外心,若∠BOC=80°,则∠BAC的度数为( )
A.40° B.100°
C.40°或140° D.40°或100°
【案例2】若点O是等腰△ABC的外心,且∠BOC=60°,底边BC=4,则△ABC的边BC上的高为 .
