2.5.2 圆的切线
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 切线的判定
1.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判别CE是切线的是(C)
A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°
2.如图,A,B是☉O上的两点,AC是过A点的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当
∠CAB的度数等于 60 度时,AC才能成为☉O的切线.
3.(2023·攀枝花中考)如图,AB为☉O的直径,如果圆上的点D恰使∠ADC=∠B,求证:直线CD与☉O相切.
【证明】如图,连接OD,
∵OA=OD,∴∠A=∠ODA,
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∵∠ADC=∠B,
∴∠ODA+∠ADC=90°,
即∠CDO=90°,∴CD⊥OD,
∵OD是☉O的半径,
∴直线CD与☉O相切.
知识点2 切线的性质
4.(2023·哈尔滨中考)如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OA,点C在☉O上,OC⊥OA,连接BC并延长,交☉O于点D,连接OD,若∠B=65°,则∠DOC的度数为(B)
A.45° B.50° C.65° D.75°
5.如图,直线AB与☉O相切于点A,AC,CD是☉O的两条弦,且CD∥AB,若☉O的半径为,CD=4,则弦AC的长为 2 .
知识点3 切线的判定与性质
6.(2023·安顺平坝县模拟)如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,下列说法不正确的是(A)
A.若DE=DO,则DE是☉O的切线
B.若AB=AC,则DE是☉O的切线
C.若CD=DB,则DE是☉O的切线
D.若DE是☉O的切线,则AB=AC
7.如图,在☉O中,AB为直径,点M为AB延长线上的一点,MC与☉O相切于点C,圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧,且使得MC=MD=AC,连接AD.现有下列结论:①MD与☉O相切;②四边形ACMD是菱形;③AB=MO;④∠ADM=120°.其中正确的结论是 ①②③④ (填序号).
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.如图,∠ACB=60°,半径为3的☉O切BC于点C,若将☉O在CB上向右滚动,则当滚动到☉O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为(B)
A.3 B.3 C.6π D.
9.(2023·徐州中考)如图,在☉O中,直径AB与弦CD交于点E.=2,连接AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB= 66 °.
10.(2023·湖州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在边AC上,以点O为圆心,OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D,交OA于点E,连接OB.
(1)求证:BD=BC;
(2)已知OC=1,∠A=30°,求AB的长.
【解析】(1)如图,连接OD,
∵半圆O与AB相切于点D,∴OD⊥AB,
∵∠ACB=90°,∴∠ODB=∠OCB=90°,
在Rt△ODB和Rt△OCB中,
∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL),∴BD=BC;
(2)见全解全析
11.(2023·资阳中考)如图,已知☉O的圆心O在△ABC的边AC上,与AC相交于A,E两点,且与边BC相切于点D,连接DE.
(1)若BA=BD,求证:AB是☉O的切线;
(2)若CD=4,CE=2,求☉O的半径.
【解析】(1)连接OD,则OD=OA,
∴∠OAD=∠ODA,
∵☉O的圆心O在AC上,且与边BC相切于点D,∴BC⊥OD,
∴∠ODB=90°,∵BA=BD,∴∠BAD=∠BDA,
∴∠OAB=∠OAD+∠BAD=∠ODA+∠BDA=∠ODB=90°,
∵OA是☉O的半径,且AB⊥OA,
∴AB是☉O的切线.
(2)见全解全析
模型一 见切线,连半径,得垂直
如图,若已知CD和☉O相切,切点为D,则连接OD,根据半径与切线垂直,得到Rt△COD,再利用直角三角形的有关性质解题.
模型二 连半径,证垂直,得切线
如图,当已知直线BC与☉A有公共点D时,只需连接AD,证AD⊥BC,便可得到BC是☉A的切线.
模型三 作垂线段,证d=r,得切线
如图,没有指明直线ED与☉O有公共点时,过圆心O作已知直线ED的垂线,证明垂线段=半径,可得ED是☉O的切线.2.5.2 圆的切线
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 切线的判定
1.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆上(不与A,B重合),DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列条件中能判别CE是切线的是( )
A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF
C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60°
2.如图,A,B是☉O上的两点,AC是过A点的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当
∠CAB的度数等于 度时,AC才能成为☉O的切线.
3.(2023·攀枝花中考)如图,AB为☉O的直径,如果圆上的点D恰使∠ADC=∠B,求证:直线CD与☉O相切.
知识点2 切线的性质
4.(2023·哈尔滨中考)如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OA,点C在☉O上,OC⊥OA,连接BC并延长,交☉O于点D,连接OD,若∠B=65°,则∠DOC的度数为( )
A.45° B.50° C.65° D.75°
5.如图,直线AB与☉O相切于点A,AC,CD是☉O的两条弦,且CD∥AB,若☉O的半径为,CD=4,则弦AC的长为 .
知识点3 切线的判定与性质
6.(2023·安顺平坝县模拟)如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,下列说法不正确的是( )
A.若DE=DO,则DE是☉O的切线
B.若AB=AC,则DE是☉O的切线
C.若CD=DB,则DE是☉O的切线
D.若DE是☉O的切线,则AB=AC
7.如图,在☉O中,AB为直径,点M为AB延长线上的一点,MC与☉O相切于点C,圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧,且使得MC=MD=AC,连接AD.现有下列结论:①MD与☉O相切;②四边形ACMD是菱形;③AB=MO;④∠ADM=120°.其中正确的结论是 (填序号).
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.如图,∠ACB=60°,半径为3的☉O切BC于点C,若将☉O在CB上向右滚动,则当滚动到☉O与CA也相切时,圆心O移动的水平距离为( )
A.3 B.3 C.6π D.
9.(2023·徐州中考)如图,在☉O中,直径AB与弦CD交于点E.=2,连接AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB= °.
10.(2023·湖州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在边AC上,以点O为圆心,OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D,交OA于点E,连接OB.
(1)求证:BD=BC;
(2)已知OC=1,∠A=30°,求AB的长.
11.(2023·资阳中考)如图,已知☉O的圆心O在△ABC的边AC上,与AC相交于A,E两点,且与边BC相切于点D,连接DE.
(1)若BA=BD,求证:AB是☉O的切线;
(2)若CD=4,CE=2,求☉O的半径.
模型一 见切线,连半径,得垂直
如图,若已知CD和☉O相切,切点为D,则连接OD,根据半径与切线垂直,得到Rt△COD,再利用直角三角形的有关性质解题.
模型二 连半径,证垂直,得切线
如图,当已知直线BC与☉A有公共点D时,只需连接AD,证AD⊥BC,便可得到BC是☉A的切线.
模型三 作垂线段,证d=r,得切线
如图,没有指明直线ED与☉O有公共点时,过圆心O作已知直线ED的垂线,证明垂线段=半径,可得ED是☉O的切线.
