2.5.4 三角形的内切圆
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 三角形的内切圆
1.(2024·毕节质检)在三角形ABC中,BC=14,AC=9,AB=13,它的内切圆分别和BC,AC,AB切于点D,E,F,那么AF,BD,CE的长分别为(A)
A.AF=4,BD=9,CE=5
B.AF=4,BD=5,CE=9
C.AF=5,BD=4,CE=9
D.AF=9,BD=4,CE=5
2.《九章算术》中有一题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何 ”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是(A)
A.6步 B.7步 C.8步 D.9步
3.(2023·湖北中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO,且AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= 35° .
4.如图,△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.
【解析】(1)∵☉O是△ABC的内切圆,
∴OD⊥BC,OE⊥AC,又∠C=90°,
∴四边形ODCE是矩形,
∵OD=OE,∴四边形ODCE是正方形;
(2)∵∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB==10,
由切线长定理得,AF=AE,BD=BF,CD=CE,
∴CD+CE=BC+AC-BD-AE=BC+AC-AB=4,则CE=2,即☉O的半径为2.
知识点2 三角形的内心
5.如图,在△ABC中,∠C=58°,点O为△ABC的内心,则∠AOB的度数为(A)
A.119° B.120° C.121° D.122°
6.用无刻度的直尺和圆规确定△ABC的内心,下列做法正确的是(C)
7.(2023·黔西南州望谟县质检)如图,AB是☉O的直径,点F是△ABC的内心,连接CF并延长交☉O于D,连接BD并延长至E,使得BD=DE,连接AE.
(1)求证:FD=BD;
(2)求证:AE是☉O的切线.
【解析】(1)连接BF,
∵F是△ABC的内心,
∴∠BCF=∠ACF,∠CBF=∠ABF.∵∠DBA=∠ACD,
∴∠DBA=∠BCF,
∵∠BFD=∠BCF+∠CBF,∠DBF=∠ABF+∠DBA,
∴∠DBF=∠BFD.∴FD=BD;
(2)见全解全析
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.(2023·聊城中考)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为(C)
A.15° B.17.5°
C.20° D.25°
9.(2023·攀枝花中考)已知△ABC的周长为l,其内切圆的面积为πr2,则△ABC的面积为(A)
A.lr B.πlr
C.lr D.πlr
10.如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB=108°,则
∠COD的度数是 72° .
11.如图,☉O内切于△ABC,∠BOC=105°,∠ACB=90°,AB=20,则AC= 10 .
12.如图,☉O是△ABC的外接圆,点E为△ABC内切圆的圆心,连接AE的延长线交BC于点F,交☉O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求证:直线DM是☉O的切线;
(2)若DF=2,且AF=4,求BD的长.
【解析】(1)如图所示,连接OD,
∵点E是△ABC的内心,
∴∠BAD=∠CAD,
∴=,
∴OD⊥BC.
又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,
∴∠BDM=∠DBC,
∴BC∥DM,∴OD⊥DM.
又∵OD为☉O半径,
∴直线DM是☉O的切线;
(2)∵=,
∴∠DBF=∠DAB,
又∵∠BDF=∠ADB(公共角),
∴△DBF∽△DAB,
∴=,即DB2=DF·DA,
∵DF=2,AF=4,
∴DA=DF+AF=6,
∴DB2=DF·DA=12,
∴DB=2.
模型 见内心,连接内心和顶点得角平分线
如图,若已知点O是△ABC的内心,可连接OB,OC,则BO平分∠ABC,CO平分
∠ACB,进而能进行角度计算.2.5.4 三角形的内切圆
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 三角形的内切圆
1.(2024·毕节质检)在三角形ABC中,BC=14,AC=9,AB=13,它的内切圆分别和BC,AC,AB切于点D,E,F,那么AF,BD,CE的长分别为( )
A.AF=4,BD=9,CE=5
B.AF=4,BD=5,CE=9
C.AF=5,BD=4,CE=9
D.AF=9,BD=4,CE=5
2.《九章算术》中有一题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何 ”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是( )
A.6步 B.7步 C.8步 D.9步
3.(2023·湖北中考)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO,且AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= .
4.如图,△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.
(1)求证:四边形ODCE是正方形;
(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.
知识点2 三角形的内心
5.如图,在△ABC中,∠C=58°,点O为△ABC的内心,则∠AOB的度数为( )
A.119° B.120° C.121° D.122°
6.用无刻度的直尺和圆规确定△ABC的内心,下列做法正确的是( )
7.(2023·黔西南州望谟县质检)如图,AB是☉O的直径,点F是△ABC的内心,连接CF并延长交☉O于D,连接BD并延长至E,使得BD=DE,连接AE.
(1)求证:FD=BD;
(2)求证:AE是☉O的切线.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
8.(2023·聊城中考)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为( )
A.15° B.17.5°
C.20° D.25°
9.(2023·攀枝花中考)已知△ABC的周长为l,其内切圆的面积为πr2,则△ABC的面积为( )
A.lr B.πlr
C.lr D.πlr
10.如图,☉O是四边形ABCD的内切圆,连接OA,OB,OC,OD.若∠AOB=108°,则
∠COD的度数是 .
11.如图,☉O内切于△ABC,∠BOC=105°,∠ACB=90°,AB=20,则AC= .
12.如图,☉O是△ABC的外接圆,点E为△ABC内切圆的圆心,连接AE的延长线交BC于点F,交☉O于点D;连接BD,过点D作直线DM,使∠BDM=∠DAC.
(1)求证:直线DM是☉O的切线;
(2)若DF=2,且AF=4,求BD的长.
模型 见内心,连接内心和顶点得角平分线
如图,若已知点O是△ABC的内心,可连接OB,OC,则BO平分∠ABC,CO平分
∠ACB,进而能进行角度计算.
