2.6 弧长与扇形面积
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 弧长公式的直接应用
1.(2023·兰州中考)如图1是一段弯管,弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧,圆弧的半径OA=20 cm,圆心角∠AOB=90°,则的长为(B)
A.20π cm B.10π cm
C.5π cm D.2π cm
2.(2023·沈阳中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,☉O的半径为3,∠D=120°,则的长是(C)
A.π B.π C.2π D.4π
3.如图,点A,B,C都在方格纸的格点上,△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到△AB'C',则点B运动的路径的长为 .
知识点2 弧长公式的逆向应用
4.(教材再开发·P78练习第2题改编)
(2023·贵阳云岩区质检)把长度为2π的一根铁丝弯成圆心角是120°的一条弧,那么这条弧所在圆的半径是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2024·黔西南州兴仁市质检)一个扇形的半径为8 cm,弧长为π cm,则扇形的圆心角为 120° .
6.如图,已知☉O半径为8 cm,点A为半径OB延长线上一点,射线AC切☉O于点C,弧BC的长为πcm,求线段AB的长(结果精确到0.01 cm,参考数据:sin50°≈0.77, cos50°≈0.64,tan50°≈1.19).
【解析】∵l===π,
∴n=50°,即∠AOC=50°.
∵AC为圆的切线,∴∠ACO=90°.
∴AO=≈12.45(cm)
∴AB=AO-OB=12.45-8=4.45(cm).
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.(2023·青岛中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=58°,∠ACD=40°.若☉O的半径为5,则的长为(C)
A.π B.π C.π D.π
8.某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图.已知矩形的宽为2 m,高为2 m,则改建后门洞的圆弧长是(C)
A. m B. m
C. m D. (+2)m
9.(2023·通辽中考)如图,在扇形AOB中,∠AOB=60°,OD平分∠AOB交于点D,点C是半径OB上一动点,若OA=1,则阴影部分周长的最小值为(A)
A.+ B.+
C.2+ D.2+
10.(2023·镇江中考)如图,扇形OAB的半径为1,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点P,∠BOP=35°,则的长l= π (结果保留π).
11.如图,在半径为1的☉O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若
∠BAE=65°,∠COD=70°,则与的长度之和为 π (结果保留π).
12.如图,用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与轮滑之间没有滑动,则重物上升了 4π cm.(结果保留π)
13.如图,已知DC是☉O的直径,点B为CD延长线上一点,AB是☉O的切线,点A为切点,且AB=AC.
(1)求∠ACB的度数;
(2)若☉O的半径为3,求圆弧的长.
【解析】(1)连接OA,
∵AB是☉O的切线,点A为切点,
∴∠BAO=90°,又∵AB=AC,OA=OC,
∴∠B=∠ACB=∠OAC,
设∠ACB=x°,则在△ABC中,
x°+x°+x°+90°=180°,解得x=30,
∴∠ACB的度数为30°;
(2)∵∠ACB=∠OAC=30°,
∴∠AOC=120°,∴==2π.2.6 弧长与扇形面积
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 扇形面积公式的直接应用
1.(2023·锦州中考)如图,点A,B,C在☉O上,∠ABC=40°,连接OA,OC.若☉O的半径为3,则扇形AOC(阴影部分)的面积为(D)
A.π B.π
C.π D.2π
2.如图,在矩形ABCD中,AB=2BC=2,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转,使得点B落在边CD上的点B'处,线段AB扫过的面积为 .
3.如图,AB为☉O的直径,AB=AC,BC交☉O于点D,AC交☉O于点E.
(1)求证:BD=CD;
(2)若AB=4,∠BAC=45°,求阴影部分的面积.
【解析】(1)连接AD,∵AB为☉O直径,∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,又∵AB=AC,
∴BD=CD;
(2)连接OE,∵AB=4,∠BAC=45°,
∴∠BOE=90°,BO=EO=2,∴∠AOE=90°,
∴S阴影=S△BOE+S扇形OAE=×2×2+=π+2.
知识点2 扇形面积公式的逆向应用
4.扇形的弧长为10π cm,面积为120π cm2,则扇形的半径是(B)
A.12 cm B.24 cm
C.28 cm D.30 cm
5.(2023·永州中考)已知扇形的半径为6,面积为6π,则扇形圆心角的度数为 60 度.
6.(教材再开发·P80例4改编)如图:两个同心圆的半径所截得的弧长AB=6π cm,弧长CD=10π cm,且AC=12 cm.
(1)求两圆的半径长.
(2)阴影部分的面积是多少
【解析】(1)设OA=r cm,则OC=(r+12)cm,扇形的圆心角是n度.
根据题意得,解得:
则两圆的半径长分别是18 cm,30 cm;
(2)阴影部分的面积是:×10π×30-×6π×18=96π cm2.
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.(2023·广元中考)如图,半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若CD=CE,则图中阴影部分面积为(B)
A. B.
C. D.
8.(2023·滨州中考)如图,某玩具品牌的标志由半径为1 cm的三个等圆构成,且三个等圆☉O1,☉O2,☉O3相互经过彼此的圆心,则图中三个阴影部分的面积之和为(C)
A.π cm2 B.π cm2
C.π cm2 D.π cm2
9.(2024·毕节七星关区期末)如图,在矩形ABCD中,已知AB=8 cm,将矩形绕点A逆时针旋转90°,到达AB'C'D'的位置,则在转动过程中,边CD扫过的图形的面积S=
16π .
10.如图,等腰Rt△ABC中,AB=AC=,以A为圆心,以AB为半径作;以BC为直径作.则图中阴影部分的面积是 π-2 .(结果保留π)
11.(素养提升题)一园林设计师要使用长度为4l的材料建造如图①的花圃,该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇形组成的,每个扇形面如图②.它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成的,为使得绿化效果最佳,还须使得扇形面积最大.
(1)求使图①花圃面积最大时,R-r的值及此时花圃的面积,其中R,r分别为大圆和小圆的半径;
(2)若扇环的周长L=160 m,r=10 m,求使图②面积最大时的θ值.
【解析】见全解全析
模型 和差法求阴影部分的面积
如图,阴影部分为不规则图形,不改变图形的位置,将它的面积用规则图形的面积的和或差表示出来.2.6 弧长与扇形面积
第1课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 弧长公式的直接应用
1.(2023·兰州中考)如图1是一段弯管,弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧,圆弧的半径OA=20 cm,圆心角∠AOB=90°,则的长为( )
A.20π cm B.10π cm
C.5π cm D.2π cm
2.(2023·沈阳中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,☉O的半径为3,∠D=120°,则的长是( )
A.π B.π C.2π D.4π
3.如图,点A,B,C都在方格纸的格点上,△ABC绕点A顺时针方向旋转90°后得到△AB'C',则点B运动的路径的长为 .
知识点2 弧长公式的逆向应用
4.(教材再开发·P78练习第2题改编)
(2023·贵阳云岩区质检)把长度为2π的一根铁丝弯成圆心角是120°的一条弧,那么这条弧所在圆的半径是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2024·黔西南州兴仁市质检)一个扇形的半径为8 cm,弧长为π cm,则扇形的圆心角为 .
6.如图,已知☉O半径为8 cm,点A为半径OB延长线上一点,射线AC切☉O于点C,弧BC的长为πcm,求线段AB的长(结果精确到0.01 cm,参考数据:sin50°≈0.77, cos50°≈0.64,tan50°≈1.19).
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.(2023·青岛中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=58°,∠ACD=40°.若☉O的半径为5,则的长为( )
A.π B.π C.π D.π
8.某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图.已知矩形的宽为2 m,高为2 m,则改建后门洞的圆弧长是( )
A. m B. m
C. m D. (+2)m
9.(2023·通辽中考)如图,在扇形AOB中,∠AOB=60°,OD平分∠AOB交于点D,点C是半径OB上一动点,若OA=1,则阴影部分周长的最小值为( )
A.+ B.+
C.2+ D.2+
10.(2023·镇江中考)如图,扇形OAB的半径为1,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点P,∠BOP=35°,则的长l= (结果保留π).
11.如图,在半径为1的☉O上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE.若
∠BAE=65°,∠COD=70°,则与的长度之和为 (结果保留π).
12.如图,用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升,滑轮旋转了120°,假设绳索粗细不计,且与轮滑之间没有滑动,则重物上升了 cm.(结果保留π)
13.如图,已知DC是☉O的直径,点B为CD延长线上一点,AB是☉O的切线,点A为切点,且AB=AC.
(1)求∠ACB的度数;
(2)若☉O的半径为3,求圆弧的长.2.6 弧长与扇形面积
第2课时
基础达标练 课时训练 夯实基础
知识点1 扇形面积公式的直接应用
1.(2023·锦州中考)如图,点A,B,C在☉O上,∠ABC=40°,连接OA,OC.若☉O的半径为3,则扇形AOC(阴影部分)的面积为( )
A.π B.π
C.π D.2π
2.如图,在矩形ABCD中,AB=2BC=2,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转,使得点B落在边CD上的点B'处,线段AB扫过的面积为 .
3.如图,AB为☉O的直径,AB=AC,BC交☉O于点D,AC交☉O于点E.
(1)求证:BD=CD;
(2)若AB=4,∠BAC=45°,求阴影部分的面积.
知识点2 扇形面积公式的逆向应用
4.扇形的弧长为10π cm,面积为120π cm2,则扇形的半径是( )
A.12 cm B.24 cm
C.28 cm D.30 cm
5.(2023·永州中考)已知扇形的半径为6,面积为6π,则扇形圆心角的度数为 度.
6.(教材再开发·P80例4改编)如图:两个同心圆的半径所截得的弧长AB=6π cm,弧长CD=10π cm,且AC=12 cm.
(1)求两圆的半径长.
(2)阴影部分的面积是多少
综合能力练 巩固提升 迁移运用
7.(2023·广元中考)如图,半径为5的扇形AOB中,∠AOB=90°,C是上一点,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,若CD=CE,则图中阴影部分面积为( )
A. B.
C. D.
8.(2023·滨州中考)如图,某玩具品牌的标志由半径为1 cm的三个等圆构成,且三个等圆☉O1,☉O2,☉O3相互经过彼此的圆心,则图中三个阴影部分的面积之和为( )
A.π cm2 B.π cm2
C.π cm2 D.π cm2
9.(2024·毕节七星关区期末)如图,在矩形ABCD中,已知AB=8 cm,将矩形绕点A逆时针旋转90°,到达AB'C'D'的位置,则在转动过程中,边CD扫过的图形的面积S=
.
10.如图,等腰Rt△ABC中,AB=AC=,以A为圆心,以AB为半径作;以BC为直径作.则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
11.(素养提升题)一园林设计师要使用长度为4l的材料建造如图①的花圃,该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇形组成的,每个扇形面如图②.它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成的,为使得绿化效果最佳,还须使得扇形面积最大.
(1)求使图①花圃面积最大时,R-r的值及此时花圃的面积,其中R,r分别为大圆和小圆的半径;
(2)若扇环的周长L=160 m,r=10 m,求使图②面积最大时的θ值.
模型 和差法求阴影部分的面积
如图,阴影部分为不规则图形,不改变图形的位置,将它的面积用规则图形的面积的和或差表示出来.
