第二章圆
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.P为☉O内一点,且OP=2,若☉O的半径为3,则过点P的最短的弦是( )
A.1 B.2 C. D.2
2.(2023·宜宾中考)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC=35°,则
∠AOB等于( )
A.140° B.120° C.110° D.70°
3.(2023·宿迁中考)在同一平面内,已知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,点P为圆上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是( )
A.2 B.5 C.6 D.8
4.已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP=( )
A. B.4 C. D.5
5.下列说法:①三角形的外心到三角形三边的距离相等;②若两个扇形的圆心角相等,则它们所对的弧长也相等;③三点确定一个圆;④平分弧的直径垂直于弦;⑤等弧所对的圆周角相等;⑥在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等;其中正确的个数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.(2023·广西中考)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37 m,拱高约为7 m,则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A.20 m B.28 m C.35 m D.40 m
7.如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是( )
A. B. C. D.
8.如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A逆时针旋转2α,得到△AB'C',连接B'C并延长交AB于点D,当B'D⊥AB时,的长是( )
A.π B.π C.π D.π
9.如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是( )
A.3 B.4 C.3 D.4
10.(2023·武汉中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E,若=,则sin C的值是( )
A. B. C. D.
11.如图,边长为的正方形ABCD内接于☉O,PA,PD分别与☉O相切于点A和点D,PD的延长线与BC的延长线交于点E,则图中阴影部分的面积为( )
A.5-π B.5- C.- D.-
12.(2023·乐山中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A,B两点,C,D是半径为1的☉O上两动点,且CD=,P为弦CD的中点.当C,D两点在圆上运动时,△PAB面积的最大值是( )
A.8 B.6 C.4 D.3
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·深圳中考)如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,∠BAC的平分线与☉O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD= °.
14.如图,在☉O中,AB是☉O的弦,☉O的半径为3 cm.C为☉O上一点,∠ACB=60°,则AB的长为 cm.
15.(2024·贵阳南明区质检)如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,若
∠AIB=125°,则∠AOB的度数为 .
16.(2023·南京中考)如图,☉O与正六边形ABCDEF的边CD,EF分别相切于点C,F.若AB=2,则☉O的半径长为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)在直径为100 cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,若油面宽AB=80 cm,求油的最大深度.
18.(10分)(2023·武汉中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,BC=,求☉O的半径.
19.(10分)(2024·贵州一模)如图,已知☉O是四边形ABCD的外接圆,AB为直径,点C为的中点,过点C作AD的垂线,交AD的延长线于点E,连接AC.
(1)写出图中一个与∠CAD相等的角 ;
(2)试判断CE与☉O的位置关系,并说明理由;
(3)探究AE,DE,AB之间的数量关系,并说明理由.
20.(10分)(2024·毕节质检)如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,连接BD,∠BDE=∠A.
(1)判断DE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=16,tan A=,求☉O的半径.
21.(10分)(2023·贵州中考)如图,已知☉O是等边三角形ABC的外接圆,连接CO并延长交AB于点D,交☉O于点E,连接EA,EB.
(1)写出图中一个度数为30°的角: ,图中与△ACD全等的三角形是 ;
(2)求证:△AED∽△CEB;
(3)连接OA,OB,判断四边形OAEB的形状,并说明理由.
22.(12分)牂牁江“余月郎山,西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上,月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞,洞顶上经常有猴子爬来爬去,如图是月亮洞的截面示意图.
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28 m,洞高AB约是12 m,通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮,求半径OC的长(结果精确到0.1 m);
(2)若∠COD=162°,点M在上,求∠CMD的度数,并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.
23.(12分)(1)请在图1中作出△ABC的外接圆☉O(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图2,☉O是△ABC的外接圆,AE是☉O的直径,点B是的中点,过点B的切线与AC的延长线交于点D.
①求证:BD⊥AD;
②若AC=6,tan ∠ABC=,求☉O的半径.
24.(12分)(2022·贵阳中考)如图,AB为☉O的直径,CD是☉O的切线,C为切点,连接BC,DE垂直平分OB,垂足为E,且交于点F,交BC于点P,连接BF,CF.
(1)求证:∠DCP=∠DPC;
(2)当BC平分∠ABF时,求证:CF∥AB;
(3)在(2)的条件下,OB=2,求阴影部分的面积.
25.(12分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N).
已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).
(1)求d(点O,△ABC);
(2)记函数y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围;
(3)☉T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(☉T,△ABC)=1,直接写出t的取值范围.第二章圆
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.P为☉O内一点,且OP=2,若☉O的半径为3,则过点P的最短的弦是(D)
A.1 B.2 C. D.2
2.(2023·宜宾中考)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为的中点.若∠BAC=35°,则
∠AOB等于(A)
A.140° B.120° C.110° D.70°
3.(2023·宿迁中考)在同一平面内,已知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,点P为圆上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是(B)
A.2 B.5 C.6 D.8
4.已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP=(D)
A. B.4 C. D.5
5.下列说法:①三角形的外心到三角形三边的距离相等;②若两个扇形的圆心角相等,则它们所对的弧长也相等;③三点确定一个圆;④平分弧的直径垂直于弦;⑤等弧所对的圆周角相等;⑥在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等;其中正确的个数有(B)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
6.(2023·广西中考)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37 m,拱高约为7 m,则赵州桥主桥拱半径R约为(B)
A.20 m B.28 m C.35 m D.40 m
7.如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是(C)
A. B. C. D.
8.如图,在△ABC中,CA=CB=4,∠BAC=α,将△ABC绕点A逆时针旋转2α,得到△AB'C',连接B'C并延长交AB于点D,当B'D⊥AB时,的长是(B)
A.π B.π C.π D.π
9.如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是(C)
A.3 B.4 C.3 D.4
10.(2023·武汉中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E,若=,则sin C的值是(B)
A. B. C. D.
11.如图,边长为的正方形ABCD内接于☉O,PA,PD分别与☉O相切于点A和点D,PD的延长线与BC的延长线交于点E,则图中阴影部分的面积为(C)
A.5-π B.5- C.- D.-
12.(2023·乐山中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A,B两点,C,D是半径为1的☉O上两动点,且CD=,P为弦CD的中点.当C,D两点在圆上运动时,△PAB面积的最大值是(D)
A.8 B.6 C.4 D.3
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·深圳中考)如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,∠BAC的平分线与☉O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD= 35 °.
14.如图,在☉O中,AB是☉O的弦,☉O的半径为3 cm.C为☉O上一点,∠ACB=60°,则AB的长为 3 cm.
15.(2024·贵阳南明区质检)如图,点I和O分别是△ABC的内心和外心,若
∠AIB=125°,则∠AOB的度数为 140° .
16.(2023·南京中考)如图,☉O与正六边形ABCDEF的边CD,EF分别相切于点C,F.若AB=2,则☉O的半径长为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)在直径为100 cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,若油面宽AB=80 cm,求油的最大深度.
【解析】如图,过O作OC⊥AB于点C,并延长交☉O于点D,连接OA,
依题意得CD就是油的最大深度.根据垂径定理得:AC=AB=40 cm,OA=50 cm.
在Rt△OAC中,根据勾股定理得:OC===30(cm),
∴CD=OD-OC=50-30=20(cm).
答:油的最大深度是20 cm.
18.(10分)(2023·武汉中考)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,BC=,求☉O的半径.
【解析】(1)∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,∠ACB=2∠BAC,
∴∠AOB=2∠BOC;
(2)过点O作半径OD⊥AB于点E,连接DB,
∴AE=BE,∵∠AOB=2∠BOC,∠DOB=∠AOB,
∴∠DOB=∠BOC.∴BD=BC.∵AB=4,BC=,
∴BE=2,DB=,
在Rt△BDE中,∠DEB=90°,∴DE==1,
在Rt△BOE中,∠OEB=90°,OB2=(OB-1)2+22,解得OB=,
即☉O的半径是.
19.(10分)(2024·贵州一模)如图,已知☉O是四边形ABCD的外接圆,AB为直径,点C为的中点,过点C作AD的垂线,交AD的延长线于点E,连接AC.
(1)写出图中一个与∠CAD相等的角 ;
(2)试判断CE与☉O的位置关系,并说明理由;
(3)探究AE,DE,AB之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)∠BAC(答案不唯一)
(2)CE与☉O相切.
理由如下:如图,连接OC,
点C为的中点,即=.∴∠CAD=∠CAB.
∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAB,
∴∠CAD=∠ACO,∴AE∥OC.
∴∠CED+∠ECO=180°.∵CE⊥AE,
∴∠CED=90°.∴∠ECO=90°,∴CE⊥OC.
又∵OC为半径,∴CE与☉O相切.
(3)见全解全析
20.(10分)(2024·毕节质检)如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,连接BD,∠BDE=∠A.
(1)判断DE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC=16,tan A=,求☉O的半径.
【解析】(1)DE与☉O相切.理由如下:
连接DO,如图,∵∠BDE=∠A,∠A=∠ADO,
∴∠ADO=∠EDB,
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠ODB=90°,
∴∠ODB+∠EDB=90°,即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,∵OD为☉O的半径,∴DE为☉O的切线;
(2)见全解全析
21.(10分)(2023·贵州中考)如图,已知☉O是等边三角形ABC的外接圆,连接CO并延长交AB于点D,交☉O于点E,连接EA,EB.
(1)写出图中一个度数为30°的角: ,图中与△ACD全等的三角形是 ;
(2)求证:△AED∽△CEB;
(3)连接OA,OB,判断四边形OAEB的形状,并说明理由.
【解析】(1)∵☉O是等边三角形ABC的外接圆,
∴点O是等边三角形ABC的外心,
∴CE⊥AB,∠1=∠2=30°.∴∠ADC=∠BDC=90°,
又∵AC=BC,CD=CD,∴Rt△ACD≌Rt△BCD(HL).
答案:∠1(答案不唯一) △BCD
(2)(3)见全解全析
22.(12分)牂牁江“余月郎山,西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上,月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞,洞顶上经常有猴子爬来爬去,如图是月亮洞的截面示意图.
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28 m,洞高AB约是12 m,通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮,求半径OC的长(结果精确到0.1 m);
(2)若∠COD=162°,点M在上,求∠CMD的度数,并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.
【解析】(1)设OA=OC=R m,∵OA⊥CD,∴CB=BD=CD=14 m,
在Rt△COB中,OC2=OB2+CB2,∴R2=142+(R-12)2,
∴R=,∴OC=≈14.2 m.
(2)见全解全析
23.(12分)(1)请在图1中作出△ABC的外接圆☉O(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图2,☉O是△ABC的外接圆,AE是☉O的直径,点B是的中点,过点B的切线与AC的延长线交于点D.
①求证:BD⊥AD;
②若AC=6,tan ∠ABC=,求☉O的半径.
【解析】见全解全析
24.(12分)(2022·贵阳中考)如图,AB为☉O的直径,CD是☉O的切线,C为切点,连接BC,DE垂直平分OB,垂足为E,且交于点F,交BC于点P,连接BF,CF.
(1)求证:∠DCP=∠DPC;
(2)当BC平分∠ABF时,求证:CF∥AB;
(3)在(2)的条件下,OB=2,求阴影部分的面积.
【解析】(1)连接OC,如图1,
∵CD是☉O的切线,C为切点,∴∠DCO=90°,即∠OCB+∠DCP=90°,∵DE⊥OB,∴∠DEB=90°,
∴∠OBC+∠BPE=90°,
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∴∠DCP=∠BPE,
∵∠BPE=∠DPC,∴∠DCP=∠DPC;
(2)(3)见全解全析
25.(12分)对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N).
已知点A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2).
(1)求d(点O,△ABC);
(2)记函数y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.若d(G,△ABC)=1,直接写出k的取值范围;
(3)☉T的圆心为T(t,0),半径为1.若d(☉T,△ABC)=1,直接写出t的取值范围.
【解析】(1)如图所示,点O到△ABC的距离的最小值为2,
∴d(点O,△ABC)=2;
(2)y=kx(k≠0)经过原点,在-1≤x≤1范围内,函数图象为线段,
当y=kx(-1≤x≤1,k≠0)经过(1,-1)时,k=-1,此时d(G,△ABC)=1;
当y=kx(-1≤x≤1,k≠0)经过(-1,-1)时,k=1,此时d(G,△ABC)=1;
∴-1≤k≤1,∵k≠0,∴-1≤k≤1且k≠0;
(3)见全解全析
