第三章投影与视图
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.如图为一个几何体的表面展开图,则该几何体是(B)
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱柱 D.圆锥
2.如图,光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是(C)
3.(2024·安顺关岭县期末)如图正方体纸盒,展开后可以得到(D)
4.下列说法中正确的是(C)
A.物体在阳光下的投影只与物体的高度有关
B.李明的个子比王亮高,我们可以肯定,不论什么情况,李明的影子一定比王亮的影子长
C.物体在阳光照射下,不同时刻,影长可能发生变化,方向也可能发生变化
D.物体在阳光照射下,影子的长度和方向都是固定不变的
5.(2023·营口中考)如图是由五个相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的主视图是(B)
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是(C)
A.圆锥 B.三棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱
7.(2023·潍坊中考)在我国古代建筑中经常使用榫卯构件,如图是某种榫卯构件的示意图,其中卯的俯视图是(C)
8.下列图形中,主视图和左视图一样的是(D)
9.如图所示,圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm,侧面展开图为半圆形,则它的母线长为(D)
A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.24 cm
10.由一些形状大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示,则搭成这个几何体的小正方体的个数是(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
11.如图2是图1长方体的三视图,若用S表示面积,S主=a2,S左=a2+a,则S俯=(A)
A.a2+a B.2a2 C.a2+2a+1 D.2a2+a
12.如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为(A)
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.春天来了天气一天比一天暖和,在同一地点某一物体,今天上午11点的影子比昨天上午11点的影子 短 .(长,短)
14.如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体,从上面,左面,正面看会得到三个图形,其中看到的图形面积最小的是 左面 (填上面,左面,正面之一).
15.若一个圆锥的母线长为5 cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,则这个圆锥的底面半径为 cm.
16.(2024·六盘水钟山区质检)一个几何体的三种视图如图所示,这个几何体的表面积是 100π .(结果保留π)
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2023·安顺市西秀区期末)如图,在地面上竖直安装着AB,CD,EF三根立柱,在同一时刻同一光源下立柱AB,CD形成的影子为BG与DH.
(1)填空:判断此光源下形成的投影是: 投影.
(2)作出立柱EF在此光源下所形成的影子.
【解析】(1)如图所示:此光源下形成的投影是:中心投影,
答案:中心
(2)如图所示,线段FI为立柱EF在此光源下所形成的影子.
18.(10分)一个几何体的三视图如图所示,求该几何体的体积.
【解析】由三视图可判断该几何体由一个长方体和一个半圆柱组成,长方体的长宽高分别为:10,4,5,半圆柱的高为2,半径为3,∴长方体的体积为10×4×5=200,半圆柱的体积为×π×32×2=9π,∴该几何体的体积为V=200+9π.
19.(10分)(2023·六盘水市水城县质检)如图,是由8个形状大小相同的小正方体搭成的几何体.
(1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图;(涂成阴影)
(2)如果保持从左面和上面看到的形状图不变,那么最多可以再添加 个小正方体.
【解析】(1)如图所示:
(2)在俯视图上标注原来相应位置摆放小正方体的个数,保持从上面和从左面看到的形状图不变,可添加的数量和位置如图所示:
最多可以添加4个.
答案:4
20.(10分)如图所示是长方体的平面展开图,设AB=x,若AD=4x,AN=3x.
(1)求长方形DEFG的周长与长方形ABMN的周长(用字母x的式子表示);
(2)若长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8,求原长方体的体积.
【解析】(1)∵AB=x,若AD=4x,AN=3x,
∴长方形DEFG的周长为2(x+2x)=6x,
长方形ABMN的周长为2(x+3x)=8x.
(2)依题意得8x-6x=8,解得x=4.
原长方体的体积为x·2x·3x=6x3.
将x=4代入,可得体积6x3=384.
故原长方体的体积是384.
21.(10分)一个圆锥的高为3 cm,侧面展开图是半圆,求:
(1)圆锥的母线与底面半径之比;
(2)圆锥的表面积.
【解析】见全解全析
22.(12分)如图,广场上一个立体雕塑由两部分组成,底座是一个正方体,正上方是一个球体,且正方体的高度和球的高度相等.当阳光与地面的夹角成60°时,整个雕塑在地面上的影子AB长2米,求这个雕塑的高度.(结果精确到百分位,参考数据:≈1.73)
【解析】如图所示,设D为光线与☉O的切点,过D作DF⊥AB于F,
过O作OG⊥AB于G,过O作DF的垂线,交DF于H,交☉O于E,
则AE为☉O的切线,延长AE交BD于C,
设☉O的半径为r,则OG=3r=HF=AE,OD=r,
∵∠ABD=60°,∴∠ACB=30°,∠DOE=30°,
∴在Rt△ODH中,DH=OD=r,∴DF=r+3r,
又∵在Rt△ABC中,AB=2,∴AC=2,BC=4,
∴CE=CD=AC-AE=2-3r,
∵AC∥DF,∴=,即=,解得r≈1.06,
∴雕塑的高度为4r≈4×1.06=4.24(米).
23.(12分)(2023·安顺市普定县期末)如图,某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度,在某一时刻测得1 m长的竹竿竖直放置时影长为1.5 m,在同时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一教学楼,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,测得落在地面上的影长为18 m,留在墙上的影高为3 m,求旗杆的高度.
【解析】如图,过点C作CE⊥AB于点E,
∵CD⊥BD,AB⊥BD,∴∠B=∠BDC=∠BEC=90°,
∴四边形BECD为矩形,∴CE=BD=18 m,BE=CD=3 m,
根据题意可得=,即=,
解得AE=12,∴AB=AE+BE=12+3=15(m).
答:旗杆的高度为15 m.
24.(12分)用小立方块搭一个几何体,使它从正面和上面看到的形状如图所示,从上面看到的形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数,请问:
(1)b= ;c= ;
(2)这个几何体最少由 个小立方块搭成,最多由 个小立方块搭成;
(3)从左面看这个几何体的形状图共有 种,请在所给网格图中画出其中的任意一种.
【解析】(1)b=1,c=3;
(2)这个几何体最少由4+2+3=9个小立方块搭成;
这个几何体最多由6+2+3=11个小立方块搭成;
(3)能搭出满足条件的几何体共有7种情况,其中从左面看该几何体的形状图共有4种;小立方块最多时几何体的左视图如图所示:
答案:(1)1 3 (2)9 11 (3)4
25.(12分)如图,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到P处时发现,他在路灯B下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着他又走了6.5米到Q处,此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方(已知王琳身高1.8米,路灯B高9米).
(1)写出王琳站在P处在路灯B下的影子;
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长;
(3)计算路灯A的高度.
【解析】(1)线段CP为王琳站在P处在路灯B下的影子;
(2)由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD,
∴=,∴=,
解得QD=1.5米,∴王琳站在Q处在路灯A下的影长为1.5米;
(3)∵Rt△DFQ∽Rt△DAC,∴=,∴=,
解得AC=12米.
答:路灯A的高度为12米.第三章投影与视图
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.如图为一个几何体的表面展开图,则该几何体是( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱柱 D.圆锥
2.如图,光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是( )
3.(2024·安顺关岭县期末)如图正方体纸盒,展开后可以得到( )
4.下列说法中正确的是( )
A.物体在阳光下的投影只与物体的高度有关
B.李明的个子比王亮高,我们可以肯定,不论什么情况,李明的影子一定比王亮的影子长
C.物体在阳光照射下,不同时刻,影长可能发生变化,方向也可能发生变化
D.物体在阳光照射下,影子的长度和方向都是固定不变的
5.(2023·营口中考)如图是由五个相同的正方体搭成的几何体,这个几何体的主视图是( )
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )
A.圆锥 B.三棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱
7.(2023·潍坊中考)在我国古代建筑中经常使用榫卯构件,如图是某种榫卯构件的示意图,其中卯的俯视图是( )
8.下列图形中,主视图和左视图一样的是( )
9.如图所示,圆锥形烟囱帽的底面半径为12 cm,侧面展开图为半圆形,则它的母线长为( )
A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.24 cm
10.由一些形状大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示,则搭成这个几何体的小正方体的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.如图2是图1长方体的三视图,若用S表示面积,S主=a2,S左=a2+a,则S俯=( )
A.a2+a B.2a2 C.a2+2a+1 D.2a2+a
12.如图,夜晚,小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B,他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化,那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为( )
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.春天来了天气一天比一天暖和,在同一地点某一物体,今天上午11点的影子比昨天上午11点的影子 .(长,短)
14.如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体,从上面,左面,正面看会得到三个图形,其中看到的图形面积最小的是 (填上面,左面,正面之一).
15.若一个圆锥的母线长为5 cm,它的侧面展开图的圆心角为120°,则这个圆锥的底面半径为 cm.
16.(2024·六盘水钟山区质检)一个几何体的三种视图如图所示,这个几何体的表面积是 .(结果保留π)
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2023·安顺市西秀区期末)如图,在地面上竖直安装着AB,CD,EF三根立柱,在同一时刻同一光源下立柱AB,CD形成的影子为BG与DH.
(1)填空:判断此光源下形成的投影是: 投影.
(2)作出立柱EF在此光源下所形成的影子.
18.(10分)一个几何体的三视图如图所示,求该几何体的体积.
19.(10分)(2023·六盘水市水城县质检)如图,是由8个形状大小相同的小正方体搭成的几何体.
(1)分别画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图;(涂成阴影)
(2)如果保持从左面和上面看到的形状图不变,那么最多可以再添加 个小正方体.
20.(10分)如图所示是长方体的平面展开图,设AB=x,若AD=4x,AN=3x.
(1)求长方形DEFG的周长与长方形ABMN的周长(用字母x的式子表示);
(2)若长方形DEFG的周长比长方形ABMN的周长少8,求原长方体的体积.
22.(12分)如图,广场上一个立体雕塑由两部分组成,底座是一个正方体,正上方是一个球体,且正方体的高度和球的高度相等.当阳光与地面的夹角成60°时,整个雕塑在地面上的影子AB长2米,求这个雕塑的高度.(结果精确到百分位,参考数据:≈1.73)
23.(12分)(2023·安顺市普定县期末)如图,某数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度,在某一时刻测得1 m长的竹竿竖直放置时影长为1.5 m,在同时刻测量旗杆的影长时,因旗杆靠近一教学楼,影子不全落在地面上,有一部分落在墙上,测得落在地面上的影长为18 m,留在墙上的影高为3 m,求旗杆的高度.
24.(12分)用小立方块搭一个几何体,使它从正面和上面看到的形状如图所示,从上面看到的形状中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数,请问:
(1)b= ;c= ;
(2)这个几何体最少由 个小立方块搭成,最多由 个小立方块搭成;
(3)从左面看这个几何体的形状图共有 种,请在所给网格图中画出其中的任意一种.
25.(12分)如图,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到P处时发现,他在路灯B下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着他又走了6.5米到Q处,此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方(已知王琳身高1.8米,路灯B高9米).
(1)写出王琳站在P处在路灯B下的影子;
(2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长;
(3)计算路灯A的高度.
