第四章概率
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·贵阳花溪区质检)现有12个同类产品,其中有10个正品,2个次品,从中任意抽取3个,则下列事件为必然事件的是(D)
A.3个都是正品 B.至少有一个是次品
C.3个都是次品 D.至少有一个是正品
2.(2024·六盘水期末)“互补的两个角都是锐角”,这一事件是(A)
A.不可能事件 B.随机事件 C.必然事件 D.不确定事件
3.在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时,下列说法正确的是(C)
A.随着抛掷次数的增加,正面向上的频率越来越小
B.当抛掷的次数n很大时,正面向上的次数一定为
C.不同次数的试验,正面向上的频率可能会不相同
D.连续抛掷5次硬币都是正面向上,第6次抛掷出现正面向上的概率小于
4.某超市在“国庆黄金周”期间开展有奖促销活动,每买100元商品,可参加抽奖一次,中奖的概率为,小明这期间在该超市买商品获得六次抽奖机会,则小明(D)
A.能中奖一次 B.能中奖二次
C.至少能中奖一次 D.中奖次数不能确定
5.某学习小组做摸球试验,在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个,除颜色外都相同.将球搅匀后,随机摸出5个球,发现3个是红球,估计袋中红球的个数是(A)
A.12 B.9 C.8 D.6
6.(2023·泸州中考)从1,2,3,4,5,5六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为(B)
A. B. C. D.
7.(2023·连云港中考)如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形,在这个图形内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为(B)
A. B. C. D.
8.不透明袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球,则任意摸出一个球是红球的概率是(A)
A. B. C. D.
9.某校开展岗位体验劳动教育活动,设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位,每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验.甲、乙两名同学都参加了此项活动,则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为(A)
A. B. C. D.
10.袋子里有4个球,标有2,3,4,5,先抽取一个并记住,放回,然后再抽取一个,所抽取的两个球数字之和大于6的概率是(C)
A. B. C. D.
11.如图,两个转盘分别自由转动一次,当转盘停止后,指针各指向一个数字所在的扇形(如果指针恰好指在分格线上,那么重转一次,直到指针指向某一数字为止).将两指针所指的两个扇形中的数相加,和为6的概率是(C)
A. B. C. D.
12.(2024·遵义模拟)如图所示,电路连接完好,且各元件工作正常.随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让两个小灯泡同时发光的概率是(A)
A. B. C. D.0
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·金华中考)如表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况(单位:人),在该年级随机抽取一名学生,该生体重“标准”的概率是 .
“偏瘦” “标准” “超重” “肥胖”
80 350 46 24
14.扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下:
抽取的毛绒 玩具数n 20 50 100 200 500 1 000 1 500 2 000
优等品的 频数m 19 47 91 184 462 921 1 379 1 846
优等品 的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
从这批玩具中,任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 0.92 .(精确到0.01)
15.甲、乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏,随机出手一次,甲获胜的概率是 .
16.(2023·聊城中考)在一个不透明的袋子中,装有五个分别标有数字-,,0,2,π的小球,这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球,两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘,上面写有10个有理数.
(1)求转到正数的概率.
(2)求转到偶数的概率.
(3)求转到绝对值小于6的数的概率.
【解析】(1)正数有1,,6,8,9共5个,所以P(转到正数)==.
(2)偶数有0,-2,6,-10,8共5个,所以P(转到偶数)==.
(3)绝对值小于6的数有0,1,-1,-2,,-共6个,
所以P(转到绝对值小于6的数)==.
18.(10分)小颖和小红两位同学在做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,他们共做了60次试验,试验的结果如表所示:
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据试验得出,出现5点朝上的机会最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗 为什么
【解析】(1)3点朝上的频率为=; 5点朝上的频率为=.
(2)小颖和小红说法都错,因为试验是随机的,不能反映事物的概率.
19.(10分)(2023·锦州中考)垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一,为营造人人参与垃圾分类的良好氛围,某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动,决定从A,B,C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲,抽签规则:将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面,把三张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,先从中随机抽取一张卡片,记下名字,再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片,记下名字.
(1)从三张卡片中随机抽取一张,恰好是“B志愿者”的概率是 ;
(2)按照抽签规则,请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果,并求出A,B两名志愿者同时被抽中的概率.
【解析】(1)∵从三张卡片中随机抽取一张,恰好是“B志愿者”只有一种可能,∴P(恰好是“B志愿者”)=;
答案:
(2)见全解全析
20.(10分)(2023·无锡中考)为了深入推动大众旅游,满足人民群众美好生活需要,我市举办中国旅游日惠民周活动,活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱,里面放有4张相同的卡片,分别写有景区:A.宜兴竹海,B.宜兴善卷洞,C.阖闾城遗址博物馆,D.锡惠公园.抽奖规则如下:搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片,记录后放回,根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票.
(1)小明获得一次抽奖机会,他恰好抽到景区A门票的概率是 .
(2)小亮获得两次抽奖机会,求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率.
【解析】(1)一共有4种情况,恰好抽到景区A门票的概率是.
答案:
(2)见全解全析
21.(10分)在一只不透明的袋中,装着标有数字3,4,5,7的质地、大小均相同的小球,小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球,并计算这两个球上的数字之和,当和小于9时小明获胜,反之小东获胜.
(1)请用树状图或列表的方法,求小明获胜的概率;
(2)这个游戏公平吗 请说明理由.
【解析】见全解全析
22.(12分)在某个滚珠游戏中,放入的滚珠随机落入如图所示的田字格中的某一格(每个格子只能容纳一粒滚珠).
(1)现放入一粒滚珠,这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为 ;
(2)若依次放入两粒滚珠,求这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线分布的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
【解析】(1)∵放入的滚珠随机落入田字格中的某一格(每个格子只能容纳一粒滚珠),∴现放入一粒滚珠,这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为;
答案:
(2)见全解全析
23.(12分)明明家客厅里装有一种开关(如图所示),从左到右依次分别控制着A(楼梯),B(客厅),C(走廊),D(洗手间)四盏电灯,按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯.
(1)若明明任意按下一个开关,则下列说法中,正确的是 (填字母).
A.打开的一定是楼梯灯 B.打开的可能是卧室灯
C.打开的可能是客厅灯 D.打开走廊灯的概率是
(2)若任意按下一个开关后,再按下另三个开关中的一个,则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少 请用树状图法或列表法加以说明.
【解析】(1)∵明明家客厅里装有一种开关(如图所示),从左到右依次分别控制着A(楼梯),B(客厅),C(走廊),D(洗手间)四盏电灯,∴明明任意按下一个开关,打开的不一定是楼梯灯,打开的不可能是卧室灯,打开的可能是客厅灯,打开走廊灯的概率是,故选项A,B,D不符合题意,选项C符合题意;
答案:C
(2)见全解全析
24.(12分)在5张相同的小纸条上,分别写有语句:①函数表达式为y=x;②函数表达式为y=x2;③函数的图象关于原点对称;④函数的图象关于y轴对称;⑤函数值y随自变量x增大而增大.将这5张小纸条做成5支签,①②放在不透明的盒子A中搅匀,③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀.
(1)从盒子A中任意抽出1支签,抽到①的概率是 ;
(2)先从盒子A中任意抽出1支签,再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率.
【解析】(1)从盒子A中任意抽出1支签,抽到①的概率是.
答案:
(2)见全解全析
25.(12分)(2023·鄂州中考)2023年5月30日上午,神舟十六号载人飞船成功发射,举国振奋.为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展,鄂州市某中学九(1)班团支部组织了一场手抄报比赛.要求该班每位同学从A:“北斗”,B:“5G时代”,C:“东风快递”,D:“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题.比赛结束后,该班团支部统计了同学们所选主题的频数,绘制成如图两种不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题.
(1)九(1)班共有 名学生;并补全图1折线统计图;
(2)请阅读图2,求出D所对应的扇形圆心角的度数;
(3)若小林和小峰分别从A,B,C,D四个主题中任选一个主题,请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率.
【解析】(1)九(1)班共有学生人数为:20÷40%=50(名),
D的人数为:50-10-20-5=15(名),
补全折线统计图如图:
答案:50
(2)D所对应扇形圆心角的度数为:360°×=108°;
(3)画树状图如图:
共有16种等可能的结果,小林和小峰选择相同主题的结果有4种,
∴小林和小峰选择相同主题的概率为=.第四章概率
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·贵阳花溪区质检)现有12个同类产品,其中有10个正品,2个次品,从中任意抽取3个,则下列事件为必然事件的是( )
A.3个都是正品 B.至少有一个是次品
C.3个都是次品 D.至少有一个是正品
2.(2024·六盘水期末)“互补的两个角都是锐角”,这一事件是( )
A.不可能事件 B.随机事件 C.必然事件 D.不确定事件
3.在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时,下列说法正确的是( )
A.随着抛掷次数的增加,正面向上的频率越来越小
B.当抛掷的次数n很大时,正面向上的次数一定为
C.不同次数的试验,正面向上的频率可能会不相同
D.连续抛掷5次硬币都是正面向上,第6次抛掷出现正面向上的概率小于
4.某超市在“国庆黄金周”期间开展有奖促销活动,每买100元商品,可参加抽奖一次,中奖的概率为,小明这期间在该超市买商品获得六次抽奖机会,则小明( )
A.能中奖一次 B.能中奖二次
C.至少能中奖一次 D.中奖次数不能确定
5.某学习小组做摸球试验,在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个,除颜色外都相同.将球搅匀后,随机摸出5个球,发现3个是红球,估计袋中红球的个数是( )
A.12 B.9 C.8 D.6
6.(2023·泸州中考)从1,2,3,4,5,5六个数中随机选取一个数,这个数恰为该组数据的众数的概率为( )
A. B. C. D.
7.(2023·连云港中考)如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形,在这个图形内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
8.不透明袋中装有除颜色外完全相同的a个白球、b个红球,则任意摸出一个球是红球的概率是( )
A. B. C. D.
9.某校开展岗位体验劳动教育活动,设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位,每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验.甲、乙两名同学都参加了此项活动,则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为( )
A. B. C. D.
10.袋子里有4个球,标有2,3,4,5,先抽取一个并记住,放回,然后再抽取一个,所抽取的两个球数字之和大于6的概率是( )
A. B. C. D.
11.如图,两个转盘分别自由转动一次,当转盘停止后,指针各指向一个数字所在的扇形(如果指针恰好指在分格线上,那么重转一次,直到指针指向某一数字为止).将两指针所指的两个扇形中的数相加,和为6的概率是( )
A. B. C. D.
12.(2024·遵义模拟)如图所示,电路连接完好,且各元件工作正常.随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让两个小灯泡同时发光的概率是( )
A. B. C. D.0
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·金华中考)如表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况(单位:人),在该年级随机抽取一名学生,该生体重“标准”的概率是 .
“偏瘦” “标准” “超重” “肥胖”
80 350 46 24
14.扬州某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果如下:
抽取的毛绒 玩具数n 20 50 100 200 500 1 000 1 500 2 000
优等品的 频数m 19 47 91 184 462 921 1 379 1 846
优等品 的频率 0.950 0.940 0.910 0.920 0.924 0.921 0.919 0.923
从这批玩具中,任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 .(精确到0.01)
15.甲、乙两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏,随机出手一次,甲获胜的概率是 .
16.(2023·聊城中考)在一个不透明的袋子中,装有五个分别标有数字-,,0,2,π的小球,这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球,两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘,上面写有10个有理数.
(1)求转到正数的概率.
(2)求转到偶数的概率.
(3)求转到绝对值小于6的数的概率.
18.(10分)小颖和小红两位同学在做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,他们共做了60次试验,试验的结果如表所示:
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据试验得出,出现5点朝上的机会最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗 为什么
19.(10分)(2023·锦州中考)垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一,为营造人人参与垃圾分类的良好氛围,某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动,决定从A,B,C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲,抽签规则:将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面,把三张卡片背面朝上,洗匀后放在桌面上,先从中随机抽取一张卡片,记下名字,再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片,记下名字.
(1)从三张卡片中随机抽取一张,恰好是“B志愿者”的概率是 ;
(2)按照抽签规则,请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果,并求出A,B两名志愿者同时被抽中的概率.
20.(10分)(2023·无锡中考)为了深入推动大众旅游,满足人民群众美好生活需要,我市举办中国旅游日惠民周活动,活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱,里面放有4张相同的卡片,分别写有景区:A.宜兴竹海,B.宜兴善卷洞,C.阖闾城遗址博物馆,D.锡惠公园.抽奖规则如下:搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片,记录后放回,根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票.
(1)小明获得一次抽奖机会,他恰好抽到景区A门票的概率是 .
(2)小亮获得两次抽奖机会,求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率.
21.(10分)在一只不透明的袋中,装着标有数字3,4,5,7的质地、大小均相同的小球,小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球,并计算这两个球上的数字之和,当和小于9时小明获胜,反之小东获胜.
(1)请用树状图或列表的方法,求小明获胜的概率;
(2)这个游戏公平吗 请说明理由.
22.(12分)在某个滚珠游戏中,放入的滚珠随机落入如图所示的田字格中的某一格(每个格子只能容纳一粒滚珠).
(1)现放入一粒滚珠,这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为 ;
(2)若依次放入两粒滚珠,求这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线分布的概率.(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
23.(12分)明明家客厅里装有一种开关(如图所示),从左到右依次分别控制着A(楼梯),B(客厅),C(走廊),D(洗手间)四盏电灯,按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯.
(1)若明明任意按下一个开关,则下列说法中,正确的是 (填字母).
A.打开的一定是楼梯灯 B.打开的可能是卧室灯
C.打开的可能是客厅灯 D.打开走廊灯的概率是
(2)若任意按下一个开关后,再按下另三个开关中的一个,则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少 请用树状图法或列表法加以说明.
24.(12分)在5张相同的小纸条上,分别写有语句:①函数表达式为y=x;②函数表达式为y=x2;③函数的图象关于原点对称;④函数的图象关于y轴对称;⑤函数值y随自变量x增大而增大.将这5张小纸条做成5支签,①②放在不透明的盒子A中搅匀,③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀.
(1)从盒子A中任意抽出1支签,抽到①的概率是 ;
(2)先从盒子A中任意抽出1支签,再从盒子B中任意抽出1支签.求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率.
25.(12分)(2023·鄂州中考)2023年5月30日上午,神舟十六号载人飞船成功发射,举国振奋.为了使同学们进一步了解中国航天科技的快速发展,鄂州市某中学九(1)班团支部组织了一场手抄报比赛.要求该班每位同学从A:“北斗”,B:“5G时代”,C:“东风快递”,D:“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜爱的主题.比赛结束后,该班团支部统计了同学们所选主题的频数,绘制成如图两种不完整的统计图,请根据统计图中的信息解答下列问题.
(1)九(1)班共有 名学生;并补全图1折线统计图;
(2)请阅读图2,求出D所对应的扇形圆心角的度数;
(3)若小林和小峰分别从A,B,C,D四个主题中任选一个主题,请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率.
