第一章二次函数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点( )
A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2)
2.将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线是( )
A.y=(x-3)2+4 B.y=(x+3)2+4
C.y=(x-3)2-4 D.y=(x+3)2-4
3.下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是( )
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与x轴没有交点
C.当x<2时,y随x的增大而增大
D.图象的顶点坐标是(2,-3)
4.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限,则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个
5.(2023·丽水中考)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是( )
A.5 B.10 C.1 D.2
6.二次函数y=ax2+bx+c,若ab<0,a-b2>0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1
A.y1=-y2 B.y1>y2
C.y17.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax+b和反比例函数y=(c≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
8.(2023·陕西中考)如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:
x … -3 0 3 5 …
y … 16 -5 -8 0 …
则下列关于这个二次函数的结论中,正确的是( )
A.图象的顶点在第一象限
B.有最小值-8
C.图象与x轴的一个交点是(-1,0)
D.图象开口向下
9.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)和点(0,-3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是( )
A.a>0
B.a+b=3
C.抛物线经过点(-1,0)
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根
10.如图,△ABC中,BC=6,BC边上的高为3,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且EF∥BC.设点E到BC的距离为x,△DEF的面积为y,则y关于x的函数图象大致是( )
11.如图,已知将抛物线y=x2-1沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域(包括边界),在这个区域内有5个整点(点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”).现将抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)沿x轴向下翻折,所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)恰有11个整点,则a的取值范围是( )
A.a≤-1 B.a≤-
C.-112.(2023·通辽中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0),(2,0),其中00;③2b+3c<0;④不等式ax2+bx+c<-x+c的解集为0A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·广州中考)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=x2-3上,且0”或“=”)
14.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为x=-1,则当y<0时,x的取值范围是 .
15.把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件: .
16.(2024·黔东南州质检)某快餐店销售A,B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是 元.
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2024·贵阳花溪区期中)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3),
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
18.(10分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=1,图象交x轴于A(3,0),B(-1,0)两点,交y轴于点C(0,3),根据图象解答下列问题:
(1)直接写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)直接写出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)直接写出不等式ax2+bx+c<3的解集.
19.(10分)(2024·遵义质检)如图,7×8网格的每个小正方形边长均为1,将抛物线y1=x2-1的图象向右平移2个单位长度得到抛物线y2.
(1)请直接写出抛物线y2的函数表达式 ;
(2)图中阴影部分的面积为 ;
(3)若将抛物线y2沿x轴翻折,求翻折后的抛物线表达式.
20.(10分)(2023·鸡西中考)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点.交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线上是否存在一点P,使得S△PBC=S△ABC,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
21.(10分)为了落实劳动教育,某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植,经过试验,其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2≤x≤8,且x为整数)构成一种函数关系.每平方米种植2株时,平均单株产量为4千克;以同样的栽培条件,每平方米种植的株数每增加1株,单株产量减少0.5千克.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)每平方米种植多少株时,能获得最大的产量 最大产量为多少千克
22.(12分)某城门的截面由一段抛物线和一个正方形(OMNE为正方形)的三条边围成,已知城门宽度为4米,最高处距地面6米.如图所示,现以O点为原点,OM所在的直线为x轴,OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求上半部分抛物线的函数表达式,并写出其自变量的取值范围;
(2)有一辆宽3米,高4.5米的消防车需要通过该城门,请问该消防车能否正常进入
23.(12分)(2024·贵州一模)如图①是位于安顺的坝陵河大桥,某兴趣小组受到该桥的启示,设计了一座桥的模型,它的两桥塔AD,BC之间的悬索DPC是抛物线型(如图②所示),悬索上设置有若干条垂直于水平线AB的吊索,图中,AD=BC=10 cm, AB=32 cm,悬索上最低点P到AB的垂直距离PO=2 cm,(悬索DPC与AB在同一平面内)
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系,求此抛物线的函数表达式;
(2)根据设计要求,从抛物线的顶点P开始,每相隔2 cm有一条吊索,当吊索高度大于或等于4 cm时,需加固.求此条抛物线有多少条吊索需要加固;
(3)若抛物线经过两点E(m,y1),F(m+2,y2),抛物线在E,F之间的部分为图象G(包括E,F两点),图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t,当t=1时,求m的值.
24.(12分)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中.
(1)若它的图象过点(2,1),则t的值为多少
(2)当0≤x≤3时,y的最小值为-2,求t的值;
(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上,且a25.(12分)(2024·黔南州期末)抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和B(4,0),与y轴交于点C,连接BC.点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交BC于M,交x轴于N.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)过点C作CH⊥PN于点H,BN=3CH.
①求点P的坐标;
②连接CP,在y轴上是否存在点Q,使得△CPQ为直角三角形 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.第一章二次函数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点(A)
A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2)
2.将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的抛物线是(A)
A.y=(x-3)2+4 B.y=(x+3)2+4
C.y=(x-3)2-4 D.y=(x+3)2-4
3.下列关于二次函数y=(x-2)2-3的说法正确的是(D)
A.图象是一条开口向下的抛物线
B.图象与x轴没有交点
C.当x<2时,y随x的增大而增大
D.图象的顶点坐标是(2,-3)
4.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限,则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为(C)
A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个
5.(2023·丽水中考)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是(D)
A.5 B.10 C.1 D.2
6.二次函数y=ax2+bx+c,若ab<0,a-b2>0,点A(x1,y1),B(x2,y2)在该二次函数的图象上,其中x1A.y1=-y2 B.y1>y2
C.y17.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则一次函数y=ax+b和反比例函数y=(c≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(A)
8.(2023·陕西中考)如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:
x … -3 0 3 5 …
y … 16 -5 -8 0 …
则下列关于这个二次函数的结论中,正确的是(C)
A.图象的顶点在第一象限
B.有最小值-8
C.图象与x轴的一个交点是(-1,0)
D.图象开口向下
9.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0)和点(0,-3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是(C)
A.a>0
B.a+b=3
C.抛物线经过点(-1,0)
D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个不相等的实数根
10.如图,△ABC中,BC=6,BC边上的高为3,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且EF∥BC.设点E到BC的距离为x,△DEF的面积为y,则y关于x的函数图象大致是(A)
11.如图,已知将抛物线y=x2-1沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域(包括边界),在这个区域内有5个整点(点M满足横、纵坐标都为整数,则把点M叫做“整点”).现将抛物线y=a(x+1)2+2(a<0)沿x轴向下翻折,所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)恰有11个整点,则a的取值范围是(D)
A.a≤-1 B.a≤-
C.-112.(2023·通辽中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(x1,0),(2,0),其中00;③2b+3c<0;④不等式ax2+bx+c<-x+c的解集为0A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·广州中考)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=x2-3上,且0”或“=”)
14.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其与x轴的一个交点坐标为(-3,0),对称轴为x=-1,则当y<0时,x的取值范围是 -315.把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件: m>3 .
16.(2024·黔东南州质检)某快餐店销售A,B两种快餐,每份利润分别为12元、8元,每天卖出份数分别为40份、80份.该店为了增加利润,准备降低每份A种快餐的利润,同时提高每份B种快餐的利润.售卖时发现,在一定范围内,每份A种快餐利润每降1元可多卖2份,每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份.如果这两种快餐每天销售总份数不变,那么这两种快餐一天的总利润最多是 1 264 元.
三、解答题(共98分)
17.(10分)(2024·贵阳花溪区期中)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3),
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
【解析】(1)设函数表达式为y=a(x-h)2+k,把顶点(-1,2)和点(1,-3)代入表达式,得:a=-,
所以抛物线的表达式为y=-(x+1)2+2;
(2)由(1)的函数表达式可得:抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-1.
18.(10分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=1,图象交x轴于A(3,0),B(-1,0)两点,交y轴于点C(0,3),根据图象解答下列问题:
(1)直接写出方程ax2+bx+c=0的两个根;
(2)直接写出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)直接写出不等式ax2+bx+c<3的解集.
【解析】(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交x轴于A(3,0),B(-1,0)两点,
∴ax2+bx+c=0的两个根为x1=3,x2=-1;
(2)由图象可知,不等式ax2+bx+c>0的解集是-1(3)∵点C(0,3),∴点C关于对称轴的对称点为(2,3),
∴不等式ax2+bx+c<3的解集为x<0或x>2.
19.(10分)(2024·遵义质检)如图,7×8网格的每个小正方形边长均为1,将抛物线y1=x2-1的图象向右平移2个单位长度得到抛物线y2.
(1)请直接写出抛物线y2的函数表达式 ;
(2)图中阴影部分的面积为 ;
(3)若将抛物线y2沿x轴翻折,求翻折后的抛物线表达式.
【解析】(1)将抛物线y1=x2-1的图象向右平移2个单位长度得到抛物线y2,则y2=(x-2)2-1,即y2=x2-4x+3;
答案:y2=x2-4x+3
(2)由题意,得阴影部分的面积为2×4=8;
答案:8
(3)将抛物线y2沿x轴翻折,翻折后的抛物线表达式为-y=x2-4x+3,即y=-x2+4x-3.
20.(10分)(2023·鸡西中考)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点.交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线上是否存在一点P,使得S△PBC=S△ABC,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由抛物线与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,
代入抛物线y=ax2+bx+3得,,解得;
∴抛物线的表达式为y=-x2-2x+3;
(2)见全解全析
21.(10分)为了落实劳动教育,某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植,经过试验,其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2≤x≤8,且x为整数)构成一种函数关系.每平方米种植2株时,平均单株产量为4千克;以同样的栽培条件,每平方米种植的株数每增加1株,单株产量减少0.5千克.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)每平方米种植多少株时,能获得最大的产量 最大产量为多少千克
【解析】(1)∵每平方米种植的株数每增加1株,单株产量减少0.5千克,
∴y=4-0.5(x-2)=-0.5x+5.
答:y关于x的函数表达式为y=-0.5x+5,(2≤x≤8,且x为整数);
(2)设每平方米小番茄产量为W千克,
根据题意得W=x(-0.5x+5)=-0.5x2+5x=-0.5(x-5)2+12.5,∵-0.5<0,
∴当x=5时,W取最大值,最大值为12.5.
答:每平方米种植5株时,能获得最大的产量,最大产量为12.5千克.
22.(12分)某城门的截面由一段抛物线和一个正方形(OMNE为正方形)的三条边围成,已知城门宽度为4米,最高处距地面6米.如图所示,现以O点为原点,OM所在的直线为x轴,OE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求上半部分抛物线的函数表达式,并写出其自变量的取值范围;
(2)有一辆宽3米,高4.5米的消防车需要通过该城门,请问该消防车能否正常进入
【解析】(1)由题意知,抛物线的顶点为(2,6),
∴设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+6,又∵抛物线经过点E(0,4),
∴4=4a+6,∴a=-,
∴抛物线的函数表达式为y=-(x-2)2+6,
即y=-x2+2x+4(0≤x≤4);
(2)见全解全析
23.(12分)(2024·贵州一模)如图①是位于安顺的坝陵河大桥,某兴趣小组受到该桥的启示,设计了一座桥的模型,它的两桥塔AD,BC之间的悬索DPC是抛物线型(如图②所示),悬索上设置有若干条垂直于水平线AB的吊索,图中,AD=BC=10 cm, AB=32 cm,悬索上最低点P到AB的垂直距离PO=2 cm,(悬索DPC与AB在同一平面内)
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系,求此抛物线的函数表达式;
(2)根据设计要求,从抛物线的顶点P开始,每相隔2 cm有一条吊索,当吊索高度大于或等于4 cm时,需加固.求此条抛物线有多少条吊索需要加固;
(3)若抛物线经过两点E(m,y1),F(m+2,y2),抛物线在E,F之间的部分为图象G(包括E,F两点),图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t,当t=1时,求m的值.
【解析】见全解全析
24.(12分)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中.
(1)若它的图象过点(2,1),则t的值为多少
(2)当0≤x≤3时,y的最小值为-2,求t的值;
(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上,且a【解析】(1)将(2,1)代入y=x2-2tx+3得:1=4-4t+3,解得:t=;
(2)抛物线y=x2-2tx+3的对称轴为直线x=t.
若0解得t=;若t>3,则当x=3时函数取最小值,∴9-6t+3=-2,
解得t=(不符合题意,舍去);综上所述,t的值为;
(3)见全解全析
25.(12分)(2024·黔南州期末)抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和B(4,0),与y轴交于点C,连接BC.点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交BC于M,交x轴于N.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)过点C作CH⊥PN于点H,BN=3CH.
①求点P的坐标;
②连接CP,在y轴上是否存在点Q,使得△CPQ为直角三角形 若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)把A(-2,0)和B(4,0)代入y=ax2+bx-4得:
,解得,∴y=x2-x-4;
(2)①如图①:
在y=x2-x-4中,令x=0得y=-4,∴C(0,-4),
设P,则H(m,-4),N(m,0),
∵B(4,0),∴BN=4-m,CH=m,∵BN=3CH,
∴4-m=3m,解得m=1,∴P;
②见全解全析