第二章一元二次方程
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2023·毕节期中)在下列方程中,属于一元二次方程的是(D)
A.x2-=2 B.ax2-bx+c=0
C.3x2-2xy+y2=0 D. (x-)2=0
2.一元二次方程2x2+x-1=0的二次项系数为(A)
A.2 B.1 C.0 D.-1
3.用配方法解方程x2-8x+5=0,将其化为(x+a)2=b的形式,正确的是(C)
A.(x+4)2=11 B.(x+4)2=21
C.(x-4)2=11 D.(x-8)2=11
4.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-2m=0的常数项为0,则m的值为(D)
A.1 B.2 C.1或2 D.0
5.(2023·河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
6.若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx+9=0的一个根,则m的值为(D)
A.10 B.9 C.-6 D.-10
7.方程x2-2x-24=0的根是(B)
A.x1=6,x2=4 B.x1=6,x2=-4
C.x1=-6,x2=4 D.x1=-6,x2=-4
8.“庆祝二十大,永远跟党走”,某市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)共进行了36场比赛,设有x个代表队参加比赛,则列方程正确的是(D)
A.x(x+1)=36 B.x(x+1)=36
C.x(x-1)=36 D.x(x-1)=36
9.在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是(B)
A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0
C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0
10.(2023·菏泽中考)一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别为x1,x2,则+的值为(C)
A. B.-3 C.3 D.-
11.已知(a2+b2+2)(a2+b2)=8,那么a2+b2的值是(A)
A.2 B.-4 C.2或-4 D.不确定
12.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调,得到的两位数比原来的两位数小27,则原来的两位数是(D)
A.36 B.63 C.47 D.74
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·宁夏中考)方程x2-4x-m=0有两个相等的实数根,则m的值为 -4 .
14.已知三角形的两边长是方程x2-5x+6=0的两个根,则该三角形的周长L的取值范围是 615.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙且墙长为18 m,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35 m,所围的面积为150 m2,则此长方形鸡场的长为 15 m.
16.(2024·遵义红花岗区质检)已知:m2-2m-1=0,n2+2n-1=0且mn≠1,则的值为 3 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)解方程:(1)x2-4x+2=0;
(2)(x-2)2=3x-6.
【解析】(1)x2-4x+2=0,
x2-4x=-2,
x2-4x+4=-2+4,即(x-2)2=2,
∴x-2=±,
∴x1=2+,x2=2-;
(2)(x-2)2=3x-6,
(x-2)2-3(x-2)=0,
(x-2)(x-2-3)=0,
∴x1=2,x2=5.
18.(10分)(2023·杭州中考)设一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①b=2,c=1;
②b=3,c=1;
③b=3,c=-1;
④b=2,c=2.
注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分.
【解析】∵使这个方程有两个不相等的实数根,
∴b2-4ac>0,即b2>4c,
∴②③均可.
选②解方程,则这个方程为x2+3x+1=0,
∴x==,
∴x1=,x2=;
选③解方程,则这个方程为x2+3x-1=0,
∴x1=,x2=.
19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0.
(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)当t为何值时,方程的两个根互为倒数
【解析】(1)∵a=1,b=-(t-1),c=t-2,
∴Δ=b2-4ac=[-(t-1)]2-4×1×(t-2)=t2-6t+9=(t-3)2≥0,
∴对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)设方程的两个根分别为m,n,则mn=t-2,
∵方程的两个根互为倒数,
∴mn=1,即t-2=1,
解得t=3,
∴当t=3时,方程的两个根互为倒数.
20.(10分)如图1,计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②(图中阴影部分),设道路①、②的宽为x米,剩余部分为绿化.
(1)道路①的面积为 平方米;道路②的面积为 平方米(都用含x的代数式表示);
(2)如图2,根据实际情况,将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③(图中阴影部分),若道路的宽依然为x米,剩余部分为绿化,且绿化面积为551平方米,求道路的宽度.
【解析】(1)道路①的面积为20x平方米;道路②的面积为20x平方米;
答案:20x 20x
(2)根据题意,得(30-x)(20-x)=551,
解得x1=1,x2=49(不符合题意,舍去),
答:道路的宽度为1米.
21.(10分)向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下列问题:
(1)是否存在m的值,使方程为一元二次方程 若存在,求出m的值,并解此方程;
(2)是否存在m的值,使方程为一元一次方程 若存在,求出m的值,并解此方程.
【解析】(1)根据一元二次方程的定义可得,解得m=1,此时方程为2x2-x-1=0,解得x1=1,x2=-;
(2)由题可知m2+1=1或m+1=0或m2+1=0时方程可能为一元一次方程,当m2+1=1时,解得m=0,此时方程为-x-1=0,解得x=-1;
当m+1=0时,解得m=-1,此时方程为-3x-1=0,解得x=-;当m2+1=0时,方程无解.
22.(12分)已知 ABCD的两邻边AB,AD的长是关于x的方程4x2-4mx+(2m-1)=0的两个实数根.
(1)当m为何值时, ABCD是菱形
(2)若AB的长为2,那么 ABCD的周长是多少
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,
∵AB,AD的长是关于x的一元二次方程4x2-4mx+(2m-1)=0的两个实数根,
∴Δ=(-4m)2-4×4×(2m-1)=16m2-32m+16=0,解得m=1,∴当m为1时, ABCD是菱形;
(2)将x=2代入4x2-4mx+(2m-1)=0中,得16-8m+2m-1=0,解得m=,
∵AB,AD的长是关于x的一元二次方程4x2-4mx+(2m-1)=0的两个实数根,
∴AB+AD=m=,
∴ ABCD的周长为2(AB+AD)=2×=5.
23.(12分)某水果专卖店销售樱桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每千克降低1元,则平均每天的销售量可增加10千克,若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2 240元,请回答:
(1)每千克樱桃应降价多少元
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售
【解析】(1)设每千克樱桃应降价x元,根据题意,得(60-x-40)(100+10x)=2 240,解得x1=4,x2=6,
答:每千克樱桃应降价4元或6元;
(2)由(1)可知每千克樱桃可降价4元或6元,
因为要尽可能让利于顾客,所以每千克樱桃应降价6元,
此时售价为:60-6=54(元),×100%=90%.
答:该店应按原售价的九折出售.
24.(12分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b(a(1)求a,b;
(2)P,Q两点分别从A,C出发,分别以每秒2个单位,1个单位的速度沿边AC,CB向终点C,B运动(有一个点达到终点则停止运动),求经过多长时间后PQ=2
【解析】(1)∵a,b是方程x2-(m-1)x+(m+4)=0的两个根,
∴a+b=m-1,ab=m+4,
又∵a2+b2=c2,∴(m-1)2-2(m+4)=52,
∴m=8,m=-4(舍去),∴原方程为x2-7x+12=0,
解得a=3,b=4;
(2)设经过x秒后PQ=2,则CP=4-2x,CQ=x,由题意得(4-2x)2+x2=22,解得x1=,x2=2,
答:经过秒或2秒后PQ=2.
25.(12分)2022年某园林绿化公司购入一批香樟树,全部售出后利润率为20%.
(1)求2022年每棵香樟树的售价与成本的比值;
(2)2023年该公司购入香樟树的数量增加的百分数与每棵香樟树的成本降低的百分数均为a,经测算,若每棵香樟树的售价不变,则总成本将比2022年的总成本减少8万元;若每棵香樟树的售价提高的百分数也为a,则销售这批香樟树的利润率将达到4a,求a的值及相应的2023年购买香樟树的总成本.
【解析】(1)设2022年每棵香樟树的成本为x万元,则每棵树的售价为(1+20%)x万元,
∴每棵香樟树的售价与成本的比值为=1.2;
(2)设2022年该公司购入香樟树的数量为m棵,每棵香樟树的成本为x万元,则每棵树的售价为1.2x万元,总成本为mx万元;2023年该公司购入香樟树的数量为m(1+a)棵,每棵香樟树的成本为x(1-a)万元,则每棵树的售价为1.2x万元,总成本为mx(1+a)(1-a)万元,
由题意得:mx-mx(1+a)(1-a)=8①,
1.2x(1+a)=x(1-a)(1+4a)②,
整理①得:mxa2=8,
整理②得:20a2-9a+1=0,解得a=或a=,
当a=时,mx=128,2023年购买香樟树的总成本为128-8=120(万元),
当a=时,mx=200,2023年购买香樟树的总成本为200-8=192(万元),
答:a的值为或,相应的2023年购买香樟树的总成本为120万元或192万元.第二章一元二次方程
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2023·毕节期中)在下列方程中,属于一元二次方程的是( )
A.x2-=2 B.ax2-bx+c=0
C.3x2-2xy+y2=0 D. (x-)2=0
2.一元二次方程2x2+x-1=0的二次项系数为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
3.用配方法解方程x2-8x+5=0,将其化为(x+a)2=b的形式,正确的是( )
A.(x+4)2=11 B.(x+4)2=21
C.(x-4)2=11 D.(x-8)2=11
4.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-2m=0的常数项为0,则m的值为( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
5.(2023·河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
6.若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx+9=0的一个根,则m的值为( )
A.10 B.9 C.-6 D.-10
7.方程x2-2x-24=0的根是( )
A.x1=6,x2=4 B.x1=6,x2=-4
C.x1=-6,x2=4 D.x1=-6,x2=-4
8.“庆祝二十大,永远跟党走”,某市工会组织篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)共进行了36场比赛,设有x个代表队参加比赛,则列方程正确的是( )
A.x(x+1)=36 B.x(x+1)=36
C.x(x-1)=36 D.x(x-1)=36
9.在解一元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两个根是-3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5,-4,则原来的方程是( )
A.x2+2x-3=0 B.x2+2x-20=0
C.x2-2x-20=0 D.x2-2x-3=0
10.(2023·菏泽中考)一元二次方程x2+3x-1=0的两根分别为x1,x2,则+的值为( )
A. B.-3 C.3 D.-
11.已知(a2+b2+2)(a2+b2)=8,那么a2+b2的值是( )
A.2 B.-4 C.2或-4 D.不确定
12.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调,得到的两位数比原来的两位数小27,则原来的两位数是( )
A.36 B.63 C.47 D.74
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2023·宁夏中考)方程x2-4x-m=0有两个相等的实数根,则m的值为 .
14.已知三角形的两边长是方程x2-5x+6=0的两个根,则该三角形的周长L的取值范围是 .
15.如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙且墙长为18 m,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35 m,所围的面积为150 m2,则此长方形鸡场的长为 m.
16.(2024·遵义红花岗区质检)已知:m2-2m-1=0,n2+2n-1=0且mn≠1,则的值为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)解方程:(1)x2-4x+2=0;
(2)(x-2)2=3x-6.
18.(10分)(2023·杭州中考)设一元二次方程x2+bx+c=0.在下面的四组条件中选择其中一组b,c的值,使这个方程有两个不相等的实数根,并解这个方程.
①b=2,c=1;
②b=3,c=1;
③b=3,c=-1;
④b=2,c=2.
注:如果选择多组条件分别作答,按第一个解答计分.
19.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-(t-1)x+t-2=0.
(1)求证:对于任意实数t,方程都有实数根;
(2)当t为何值时,方程的两个根互为倒数
20.(10分)如图1,计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②(图中阴影部分),设道路①、②的宽为x米,剩余部分为绿化.
(1)道路①的面积为 平方米;道路②的面积为 平方米(都用含x的代数式表示);
(2)如图2,根据实际情况,将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③(图中阴影部分),若道路的宽依然为x米,剩余部分为绿化,且绿化面积为551平方米,求道路的宽度.
21.(10分)向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)+(m-2)x-1=0提出了下列问题:
(1)是否存在m的值,使方程为一元二次方程 若存在,求出m的值,并解此方程;
(2)是否存在m的值,使方程为一元一次方程 若存在,求出m的值,并解此方程.
22.(12分)已知 ABCD的两邻边AB,AD的长是关于x的方程4x2-4mx+(2m-1)=0的两个实数根.
(1)当m为何值时, ABCD是菱形
(2)若AB的长为2,那么 ABCD的周长是多少
23.(12分)某水果专卖店销售樱桃,其进价为每千克40元,按每千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每千克降低1元,则平均每天的销售量可增加10千克,若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2 240元,请回答:
(1)每千克樱桃应降价多少元
(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售
24.(12分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b(a(1)求a,b;
(2)P,Q两点分别从A,C出发,分别以每秒2个单位,1个单位的速度沿边AC,CB向终点C,B运动(有一个点达到终点则停止运动),求经过多长时间后PQ=2
25.(12分)2022年某园林绿化公司购入一批香樟树,全部售出后利润率为20%.
(1)求2022年每棵香樟树的售价与成本的比值;
(2)2023年该公司购入香樟树的数量增加的百分数与每棵香樟树的成本降低的百分数均为a,经测算,若每棵香樟树的售价不变,则总成本将比2022年的总成本减少8万元;若每棵香樟树的售价提高的百分数也为a,则销售这批香樟树的利润率将达到4a,求a的值及相应的2023年购买香樟树的总成本.
