第三章图形的相似
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列四组线段中,是成比例线段的是( )
A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm B.4 cm,6 cm,3 cm,5 cm
C.5 cm,15 cm,2 cm,6 cm D.3 cm,4 cm,5 cm,6 cm
2.(2024·铜仁期末)如图是某景区大门部分建筑,已知AD∥BE∥CF,AC=16 m,当DF∶DE=4∶3时,则AB的长是( )
A.10 m B.11 m C.12 m D.13 m
3.(2023·重庆中考)若两个相似三角形周长的比为1∶4,则这两个三角形对应边的比是( )
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
4.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE与BC不平行,那么下列条件中,不能判断△ADE∽△ACB的是( )
A.∠ADE=∠C B.∠AED=∠B
C.= D.=
5.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,若AC=6,则EC=( )
A. B. C. D.
6.如图,点E是 ABCD的边BC延长线上的一点,AE和CD交于点G,AC是 ABCD的对角线,则图中相似三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
7.如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是( )
8.如图,把一个矩形分割成四个全等的小矩形,要使小矩形与原矩形相似,则原矩形的长与宽之比为( )
A.2∶1 B.4∶1 C.∶1 D.1∶2
9.如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m, CE=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于( )
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
10.(2023·恩施州中考)如图,在△ABC中,DE∥BC分别交AC,AB于点D,E,EF∥AC交BC于点F,=,BF=8,则DE的长为( )
A. B. C.2 D.3
11.(2023·烟台中考)如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,……,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为( )
A.(31,34) B.(31,-34) C.(32,35) D.(32,0)
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,在边AB上取一点D,作DE⊥AB交BC于点E.现将△BDE沿DE折叠,使点B落在线段DA上,对应点记为B1;BD的中点F的对应点记为F1.若△EFB∽△AF1E,则B1D=( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如果=,那么= .
14.如图,在边长为1的3×3网格中,A,B,C,D四点均在格点上,且AB与CD相交于点E,则线段AE的长是 .
15.如图,把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转180°,点D运动到点F的位置,则S△ADE∶S四边形DBCF= .
16.(2023·绥化中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C'的坐标为
.(结果用含a,b的式子表示)
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图所示,两个四边形相似,求未知数x,y和∠α的大小.
18.(10分)如图,一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后,剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等,求原矩形的长与宽的比.
19.(10分)(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
20.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,4), B(-2,1),C(-5,2).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出△A2B2C2.
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比.
21.(10分)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.
22.(12分)(2023·眉山中考)如图, ABCD中,点E是AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:AF=AB;
(2)点G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H,若AG=2,FG=6,求GH的长.
23.(12分)(2024·黔南州惠水县质检)一块直角三角形形状的铁皮材料,两直角边长分别为30 cm,40 cm,现要把它加工成一个面积最大的正方形,两种加工方法如图①、②,请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求
24.(12分)如图①,在△ABC中,点P是AB边上的一个动点(点P不与A,B重合),过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP=∠B.
(1)试判断△ABC与△AEP的关系,并说明理由.
(2)若把满足(1)的直线PE称作“△ABC的一条相似线”,在图②的△ABC中,
∠A=36°,AB=AC,且点P在AC的垂直平分线上,请问过点P的“△ABC的相似线”有几条 并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”.
25.(12分)(2024·贵州一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点B在直线l上,直线l与BC的夹角为∠CBD,且∠CBD=∠ABC,分别过点C,A作直线l的垂线,垂足分别为D,E.
(1)【问题解决】
如图①,若∠CBD=30°,则∠BAC的度数为 ,的值为 ;
(2)【问题探究】
如图②,若0°<∠CBD<90°,判断的值是否发生变化 并说明理由;
(3)【拓展延伸】
如图③,CE,AB交于点F,点F在线段AB上,若=,CD=2,求线段BD的长.第三章图形的相似
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列四组线段中,是成比例线段的是(C)
A.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm B.4 cm,6 cm,3 cm,5 cm
C.5 cm,15 cm,2 cm,6 cm D.3 cm,4 cm,5 cm,6 cm
2.(2024·铜仁期末)如图是某景区大门部分建筑,已知AD∥BE∥CF,AC=16 m,当DF∶DE=4∶3时,则AB的长是(C)
A.10 m B.11 m C.12 m D.13 m
3.(2023·重庆中考)若两个相似三角形周长的比为1∶4,则这两个三角形对应边的比是(B)
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16
4.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE与BC不平行,那么下列条件中,不能判断△ADE∽△ACB的是(C)
A.∠ADE=∠C B.∠AED=∠B
C.= D.=
5.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,若AC=6,则EC=(C)
A. B. C. D.
6.如图,点E是 ABCD的边BC延长线上的一点,AE和CD交于点G,AC是 ABCD的对角线,则图中相似三角形共有(C)
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
7.如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是(B)
8.如图,把一个矩形分割成四个全等的小矩形,要使小矩形与原矩形相似,则原矩形的长与宽之比为(A)
A.2∶1 B.4∶1 C.∶1 D.1∶2
9.如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m, CE=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于(B)
A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m
10.(2023·恩施州中考)如图,在△ABC中,DE∥BC分别交AC,AB于点D,E,EF∥AC交BC于点F,=,BF=8,则DE的长为(A)
A. B. C.2 D.3
11.(2023·烟台中考)如图,在直角坐标系中,每个网格小正方形的边长均为1个单位长度,以点P为位似中心作正方形PA1A2A3,正方形PA4A5A6,……,按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P(-3,0),A1(-2,1),A2(-1,0),A3(-2,-1),则顶点A100的坐标为(A)
A.(31,34) B.(31,-34) C.(32,35) D.(32,0)
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,在边AB上取一点D,作DE⊥AB交BC于点E.现将△BDE沿DE折叠,使点B落在线段DA上,对应点记为B1;BD的中点F的对应点记为F1.若△EFB∽△AF1E,则B1D=(C)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.如果=,那么= .
14.如图,在边长为1的3×3网格中,A,B,C,D四点均在格点上,且AB与CD相交于点E,则线段AE的长是 .
15.如图,把一张三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后,在平面上将△ADE绕着点E顺时针旋转180°,点D运动到点F的位置,则S△ADE∶S四边形DBCF= 1∶4 .
16.(2023·绥化中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°,则点C'的坐标为
(6-2a,-2b) .(结果用含a,b的式子表示)
三、解答题(共98分)
17.(10分)如图所示,两个四边形相似,求未知数x,y和∠α的大小.
【解析】∵两个四边形相似,∴8∶y=x∶9=20∶15,∠C=∠C'=50°,解得y=6,x=12.∵四边形内角和等于360°,∴∠α=∠D=360°-∠A-∠B-∠C=125°.∴x=12,y=6,
∠α=125°.
18.(10分)如图,一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后,剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等,求原矩形的长与宽的比.
【解析】设原矩形的长是a,宽是b,则DE=CF=a-b,已知=,即=,整理,得a2-ab-b2=0,两边同除以b2,得()2--1=0,解得=或(舍去).∴长与宽的比为.
19.(10分)(2023·湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
【解析】(1)∵AD是斜边BC上的高,∴∠BDA=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC,又∵∠B为公共角,
∴△ABD∽△CBA;
(2)见全解全析
20.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,4), B(-2,1),C(-5,2).
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2,得到对应的点A2,B2,C2,请画出△A2B2C2.
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比.
【解析】见全解全析
21.(10分)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.
【解析】∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF,∵∠AOD=∠EFG=90°,∴△AOD∽△EFG,∴=,即=,∴AO=15,
同理得△BOC∽△AOD,∴=,即=,∴BO=12,
∴AB=AO-BO=15-12=3(米),
答:旗杆的高AB是3米.
22.(12分)(2023·眉山中考)如图, ABCD中,点E是AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.
(1)求证:AF=AB;
(2)点G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H,若AG=2,FG=6,求GH的长.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,CD∥AB,
∴∠DCE=∠F,∠D=∠FAD,∵E是AD的中点,
∴DE=AE,∴△CDE≌△FAE(AAS),∴CE=FE,
∵AE∥BC,∴==1,∴AF=AB;
(2)见全解全析
23.(12分)(2024·黔南州惠水县质检)一块直角三角形形状的铁皮材料,两直角边长分别为30 cm,40 cm,现要把它加工成一个面积最大的正方形,两种加工方法如图①、②,请你用学过的知识说明哪种加工方法符合要求
【解析】在图①中设正方形的边长为x,则DE=x,AD=30-x,
∵∠A=∠A,∠ADE=∠C=90°,
∴△ADE∽△ACB,∴=,即=,解得x=.
在图②中过点C作CP⊥AB,垂足为P,CP交DG于Q.
∵S△ABC=AC·BC=AB·CP,∴CP===24.
∵DG∥AB,∴∠CDG=∠A,∠CGD=∠B,
∴△CDG∽△CAB,∴=.设DG=y,=,
解得y=.∵<,∴y24.(12分)如图①,在△ABC中,点P是AB边上的一个动点(点P不与A,B重合),过点P的直线PE与AC交于点E使∠AEP=∠B.
(1)试判断△ABC与△AEP的关系,并说明理由.
(2)若把满足(1)的直线PE称作“△ABC的一条相似线”,在图②的△ABC中,
∠A=36°,AB=AC,且点P在AC的垂直平分线上,请问过点P的“△ABC的相似线”有几条 并在图②中作出所有过点P的“△ABC的相似线”.
【解析】(1)△ABC∽△AEP,∵∠AEP=∠B,∠A=∠A,∴△ABC∽△AEP;
(2)共有3条,如图所示,作∠ACB的平分线交AB于P,过点P分别作PM∥AC,PN∥BC,
∴PM,PC,PN所在直线即为所求作相似线.
25.(12分)(2024·贵州一模)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点B在直线l上,直线l与BC的夹角为∠CBD,且∠CBD=∠ABC,分别过点C,A作直线l的垂线,垂足分别为D,E.
(1)【问题解决】
如图①,若∠CBD=30°,则∠BAC的度数为 ,的值为 ;
(2)【问题探究】
如图②,若0°<∠CBD<90°,判断的值是否发生变化 并说明理由;
(3)【拓展延伸】
如图③,CE,AB交于点F,点F在线段AB上,若=,CD=2,求线段BD的长.
【解析】(1)60°
(2)不变.理由:如图,延长AC交l于点Q.
∵∠ACB=90°,
∴∠BCQ=90°.
又∵∠ABC=∠CBD,BC=BC,
∴△ABC≌△QBC.
∴AC=CQ=AQ.
又∵AE⊥l,CD⊥l,
∴AE∥CD,
∴=,
∴=.
(3)见全解全析
