第四章锐角三角函数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·黔西南州册亨县期末)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sin A的是( )
A. B. C. D.
2.(2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距( )
A.米 B.米 C.x·sin α米 D.x·cos α米
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则tan B的值为( )
A. B. C. D.
4.一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形.已知BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为( )
A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m
C. (4+)m D. (4+)m
5.如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为( )
A. B. C. D.
6.如果∠A为锐角,sin A=,那么( )
A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
7.如图,已知菱形ABCD,AC=10 cm,BD=6 cm,那么tan等于( )
A. B. C. D.
8.如图,某购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡AD与地平线的夹角为20°,地下停车场层高CD=3米,如果在停车场的入口处设置一块限高牌,则限高牌上的限高数值比较恰当的是(参考数据:
sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94)( )
A.3.2米 B.3米 C.2.75米 D.2.6米
9.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=10,tan∠B=,则BC的长为( )
A.6 B.8 C.12 D.16
10.如图,要测量一条河两岸相对的两点A,B之间的距离,我们可以在岸边取点C和D,使点B,C,D共线且直线BD与AB垂直,测得∠ACB=56.3°,∠ADB=45°,CD=
10 m,则AB的长约为( )
(参考数据sin56.3°≈0.8,cos56.3°≈0.6,tan56.3°≈1.5,sin45°≈0.7,cos45°≈0.7,tan45°=1)
A.15 m B.30 m C.35 m D.40 m
11.如图,在△ABC中,AB=2,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转,使得点B恰好落在BC的中点B'处,得到△AB'C'.若tan∠CB'C'=,则BC的长为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
12.(2023·杭州中考)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE, △ABF, △BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>
∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan2β,则n=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·贵州一模改编)计算|-5|-sin45°+(-4)0= .
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,若cosA=,则BC的长为 .
15.(2023·枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 米.(结果保留根号)
16.(2023·广元中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),点B(0,-3),点C在x轴上,且点C在点A右方,连接AB,BC,若tan∠ABC=,则点C的坐标为 .
三、解答题(共98分)
17.(10分)若在锐角△ABC中,(tanC-)2+|-2sinB|=0,那么∠A的度数为多少
18.(10分)如图,△ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2.求BC的长.
19.(10分)如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若BE=5,OF=2,求tan∠OBE的值.
20.(10分)(2023·达州中考)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示,秋千链子的长度为3 m,当摆角∠BOC恰为26°时,座板离地面的高度BM为0.9 m,当摆动至最高位置时,摆角∠AOC为50°,求座板距地面的最大高度为多少米 (结果精确到0.1 m;参考数据:sin 26°≈0.44,
cos 26°≈0.9,tan 26°≈0.49,sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2)
21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与BC,AB的交点分别为D,E.若AD=10,sin∠ADC=,求AC的长和tan B的值.
22.(12分)(2023·临沂中考)如图,灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处,测得灯塔A在北偏西58°方向上,继续航行6海里后到达C处,测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行,有没有触礁的危险
(参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625,sin 58°≈0.848,
cos 58°≈0.530,tan 58°≈1.6)
23.(12分)如图是一种机器零件的侧面示意图,测得∠D=30°,∠A=75°,BD⊥AC于点B,CD=16 cm,AB=28 cm,AE=25 cm,求顶端E到底部CD的距离EF.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,≈1.732)
24.(12分)(2023·随州中考)某校学生开展综合实践活动,测量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡长CD=10米,坡角α=30°,小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°,在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,D在同一平面内,B,C在同一水平线上)
(1)求点D到地面BC的距离;
(2)求该建筑物的高度AB.
25.(12分)如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,点B,C,E三点在同一直线上,连接BD,AD,BD交AC于点F.
(1)若AD2=DF·DB,求证:AD=BF;
(2)若∠BAD=90°,BE=6.
①求tan∠DBE的值;②求DF的长.第四章锐角三角函数
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.(2024·黔西南州册亨县期末)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列线段的比中不等于sin A的是(D)
A. B. C. D.
2.(2023·南充中考)如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处,已知∠BAC=α,则A,C两处相距(B)
A.米 B.米 C.x·sin α米 D.x·cos α米
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,则tan B的值为(D)
A. B. C. D.
4.一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形.已知BC=6 m,∠ABC=α,则房顶A离地面EF的高度为(B)
A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m
C. (4+)m D. (4+)m
5.如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点P,则cos∠APC的值为(B)
A. B. C. D.
6.如果∠A为锐角,sin A=,那么(A)
A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
7.如图,已知菱形ABCD,AC=10 cm,BD=6 cm,那么tan等于(A)
A. B. C. D.
8.如图,某购物广场要修建一个地下停车场,停车场的入口设计示意图如图所示,其中斜坡AD与地平线的夹角为20°,地下停车场层高CD=3米,如果在停车场的入口处设置一块限高牌,则限高牌上的限高数值比较恰当的是(参考数据:
sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94)(C)
A.3.2米 B.3米 C.2.75米 D.2.6米
9.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=10,tan∠B=,则BC的长为(D)
A.6 B.8 C.12 D.16
10.如图,要测量一条河两岸相对的两点A,B之间的距离,我们可以在岸边取点C和D,使点B,C,D共线且直线BD与AB垂直,测得∠ACB=56.3°,∠ADB=45°,CD=
10 m,则AB的长约为(B)
(参考数据sin56.3°≈0.8,cos56.3°≈0.6,tan56.3°≈1.5,sin45°≈0.7,cos45°≈0.7,tan45°=1)
A.15 m B.30 m C.35 m D.40 m
11.如图,在△ABC中,AB=2,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转,使得点B恰好落在BC的中点B'处,得到△AB'C'.若tan∠CB'C'=,则BC的长为(C)
A.4 B.6 C.8 D.10
12.(2023·杭州中考)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形(△DAE, △ABF, △BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>
∠BAF,连接BE.设∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1∶n,tan α=tan2β,则n=(C)
A.5 B.4 C.3 D.2
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·贵州一模改编)计算|-5|-sin45°+(-4)0= 5 .
14.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,若cosA=,则BC的长为 8 .
15.(2023·枣庄中考)如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 (3+) 米.(结果保留根号)
16.(2023·广元中考)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),点B(0,-3),点C在x轴上,且点C在点A右方,连接AB,BC,若tan∠ABC=,则点C的坐标为 (,0) .
三、解答题(共98分)
17.(10分)若在锐角△ABC中,(tanC-)2+|-2sinB|=0,那么∠A的度数为多少
【解析】∵(tanC-)2+|-2sinB|=0,∴tanC=,sinB=,
∴∠C=60°,∠B=45°,∴∠A=75°.
18.(10分)如图,△ABC中,∠A=30°,tanB=,AC=2.求BC的长.
【解析】如图,过点C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠CDB=90°,∵∠A=30°,AC=2,∴CD=AC=.
∵在Rt△BCD中,∠CDB=90°,tanB==,
∴BD=2,∴BC===.
19.(10分)如图,在 ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若BE=5,OF=2,求tan∠OBE的值.
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠OEB=∠OFD=90°,
在△OEB和△OFD中,,
∴△OEB≌△OFD(AAS),∴OE=OF;
(2)由(1)得:OE=OF,∵OF=2,∴OE=2,∵BE⊥AC,∴∠OEB=90°,在Rt△OEB中,tan∠OBE==.
20.(10分)(2023·达州中考)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一,里面的秋千深受孩子们喜爱.如图所示,秋千链子的长度为3 m,当摆角∠BOC恰为26°时,座板离地面的高度BM为0.9 m,当摆动至最高位置时,摆角∠AOC为50°,求座板距地面的最大高度为多少米 (结果精确到0.1 m;参考数据:sin 26°≈0.44,
cos 26°≈0.9,tan 26°≈0.49,sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2)
【解析】过B作BT⊥ON于T,过A作AK⊥ON于K,如图:
在Rt△OBT中,OT=OB·cos 26°≈3×0.9=2.7(m),
∵∠BMN=∠MNT=∠BTN=90°,
∴四边形BMNT是矩形,∴TN=BM=0.9 m,
∴ON=OT+TN=3.6(m).
在Rt△AOK中,OK=OA·cos 50°≈3×0.64=1.92(m),
∴KN=ON-OK=3.6-1.92≈1.7(m),
∴座板距地面的最大高度为1.7 m.
21.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与BC,AB的交点分别为D,E.若AD=10,sin∠ADC=,求AC的长和tan B的值.
【解析】见全解全析
22.(12分)(2023·临沂中考)如图,灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处,测得灯塔A在北偏西58°方向上,继续航行6海里后到达C处,测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行,有没有触礁的危险
(参考数据:sin 32°≈0.530,cos 32°≈0.848,tan 32°≈0.625,sin 58°≈0.848,
cos 58°≈0.530,tan 58°≈1.6)
【解析】如图,过点A作AD⊥BC于D,
设AD=x海里,由题意得,∠ABD=32°,∠ACD=45°,BC=6海里,
在Rt△ACD中,∠ACD=∠CAD=45°,∴AD=CD=x海里.
在Rt△ABD中,tan∠ABD=,
∴BD=≈=6+x,解得x=10.∵10>9,
∴如果渔船不改变航线继续向西航行,没有触礁的危险.
23.(12分)如图是一种机器零件的侧面示意图,测得∠D=30°,∠A=75°,BD⊥AC于点B,CD=16 cm,AB=28 cm,AE=25 cm,求顶端E到底部CD的距离EF.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27,≈1.732)
【解析】见全解全析
24.(12分)(2023·随州中考)某校学生开展综合实践活动,测量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡长CD=10米,坡角α=30°,小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°,在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,D在同一平面内,B,C在同一水平线上)
(1)求点D到地面BC的距离;
(2)求该建筑物的高度AB.
【解析】(1)过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,
∵cos α===,解得CE=5米,
∴DE==5(米).∴点D到地面BC的距离为5米.
(2)过点D作DF⊥AB于点F,则BF=DE=5米,
设BC=x m,则BE=DF=(5+x) 米,
在Rt△ABC中,tan 60°===,解得AB=x米,
∴AF=(x-5)米,
在Rt△ADF中,tan 30°===,解得x=5,
经检验,x=5是原方程的解且符合题意,∴AB=×5=15(米).
∴该建筑物的高度AB为15米.
25.(12分)如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,点B,C,E三点在同一直线上,连接BD,AD,BD交AC于点F.
(1)若AD2=DF·DB,求证:AD=BF;
(2)若∠BAD=90°,BE=6.
①求tan∠DBE的值;②求DF的长.
【解析】(1)∵AD2=DF·DB,∴=,∵∠ADF=∠BDA,
∴△ADF∽△BDA,∴∠ABD=∠FAD,
∵△ABC,△DCE都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACD=60°,∴∠ACD=∠BAF,
∴△ACD≌△BAF(ASA),∴AD=BF.
(2)①过点D作DG⊥BE于G.∵∠BAD=90°,∠BAC=60°,
∴∠DAC=30°,∵∠ACD=60°,∴∠ADC=90°,
∴DC=AC,∴CE=BC,∵BE=6,∴CE=2,BC=4,
∴CG=EG=1,BG=5,DG=,∴tan∠DBE==.
②在Rt△BDG中,∵∠BGD=90°,DG=,BG=5,
∴BD===2,
∵∠ABC=∠DCE=60°,∴CD∥AB,
∴△CDF∽△ABF,∴==,∴=,∴DF=.
