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《圆》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《圆》单元是图形与几何领域第三学段“图形的认识与测量”和“图形的位置与运动”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“认识圆和扇形，会用圆规画圆；认识圆周率；探索圆的周长和面积计算公式，能解决简单的实际问题。能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，能借助方格纸设计简单图案，感受数学美，形成空间观念。”在“学业要求”中指出：“会用圆规画圆，能描述圆和扇形的特征；知道圆的周长、半径和直径，了解圆的周长与其直径之比是一个定值，认识圆周率；会计算圆的周长和面积，能用相应公式解决简单的实际问题。对给定的简单图形，能用平移、旋转和轴对称的方法，在方格纸上设计图案，并能说出设计图案与简单图形的关系。”
（二）单元教材内容分析
本单元是在学生认识了圆，会计算长方形、正方形、三角形、梯形面积的基础上来学习的。本单元主要包括：单元主题图、圆的认识、圆的周长、圆的面积以及整理与复习等内容。在“圆的认识”中包含认识圆各部分的名称、对称性，知道直径与半径的关系以及圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，还涉及到扇形的相关知识及利用圆的相关知识设计图案等；在“圆的周长”中理解圆周率的意义，掌握圆周长的计算方法，并能正确运用圆的周长知识解决简单的实际问题；在“圆的面积”中包括圆面积公式的推导过程以及运用圆的面积知识解决简单的实际问题，还包括求一些与圆有关的组合图形的周长和面积，以及求圆环的面积等知识。
（三）学生认知情况
在低年级，学生已经对圆、正方形、长方形等平面图形有了初步的认识，到了后面，学生学会计算线段图形的周长与面积，这为学习本单元的知识奠定了一定的基础。在此之前，学生对圆的认识只是直观的，并没有对圆的知识形成系统的认识，所以学生在学习圆的特征、圆的周长以及圆的面积还是有一定难度的。由于六年级的学生经过小学五年的学习，已经积累了一定的知识基础和解决问题的策略，所以可以帮助学生顺利的学习这部分知识。
二、单元目标拟定
1.学会用圆规画圆，认识圆的特征，了解圆的对称性以及圆的半径和直径之间的关系。
2.了解扇形的概念，初步认识弧、圆心角和扇形。
3.能利用直尺和圆规设计一些与圆有关的简单图案。
4.理解圆周率的意义，推导并掌握圆的周长计算公式，感受“化曲为直”的数学思想。
5.理解圆面积的意义，推导并掌握圆的面积计算公式，感受“等积变形”“转化”“割补”等数学思想方法。
6.能运用圆的周长和面积公式，结合已有的生活经验，从不同的角度分析、解决生活中的实际问题。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.掌握圆的特征以及圆的半径与直径的关系。
2.推导并理解圆的周长和面积计算公式，并能解决一些相关的实际问题。
（二）教学难点
1.认识扇形，能利用圆设计一些美丽的图案。
2.经历推导圆的周长与面积的计算公式过程，体会转化等数学思想。
3.能运用圆面积计算公式计算组合图形和圆环的面积。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》在第三学段的“学段目标”中指出：“会计算常见平面图形的周长和面积，初步形成空间观念和几何直观。”《标准(2022版) 》也指出：数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.重视从现实生活中引入学习内容。
2.在推导圆周长和圆面积公式时，教材注重学生的操作活动， 让学生经历猜想、实验、探究、发现和归纳等数学活动，体会“化曲为直”、“等积变形”、“极限”、“转化”、“割补”等数学思想，渗透数学方法，帮助积累一定的数学活动经验。
3.重视数学价值的体现，教材在编排上注重让学生运用所学的知识解决实际问题，感受数学与生活的紧密联系。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 2
单元主题 单元名称 主要内容 课时
图形与几何 圆 圆的认识 1
认识扇形 1
设计图案 1
圆的周长（一） 1
圆的周长（二） 1
圆的面积（一） 1
圆的面积（二） 1
求与圆有关的组合图形的面积（1） 1
求与圆有关的组合图形的面积（2） 1
读故事 学数学 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
2.1《圆的认识》 目标： 感受并发现圆的有关特征，知道什么是圆的圆心、半径和直径，能借助圆规画圆，会应用圆的知识解释一些日常生活现象。 任务一：用圆规画圆 → 任务二：认识圆 → 任务三：课堂活动 → 1.会用圆规画圆。 2.知道圆各部分的名称，了解圆的对称性以及直径与半径的关系。 3.能用圆规画出指定大小、不同位置的圆，并画出圆的对称轴。
2.2《认识扇形》 目标： 认识弧、圆心角以及他们之间的对应关系，在此基础上认识扇形，并能准确判断圆心角和扇形。理解扇形的概念以及圆心角的大小决定扇形的大小。 任务一：认识扇形 → 任务二：扇形的大小 → 任务三：课堂活动 → 1.认识扇形，知道扇形的组成部分。 2.知道扇形的大小与圆心角的关系。 3.能找出每个圆的圆心和直径，并圆内画出扇形。
2.3《设计图案》 目标： 进一步巩固画圆的方法，并能利用圆设计一些简单的图案。 任务一：欣赏由圆组成的图案 → 任务二：设计用线段绕成圆的图案 → 任务三：课堂活动 → 1.能说出图案的绘画过程，并尝试画一画。 2.能在正方形中用线段绕成圆。 3.能利用圆设计自己喜欢的图案。
2.4《圆的周长（一）》 目标： 理解圆周率的意义，掌握圆周长的计算方法，并能正确运用圆的周长知识解决简单的实际问题。 任务一：圆周长公式的推导 → 任务二：圆周长公式的应用 → 任务三：课堂活动 → 1.知道圆周长的意义，并推导出圆周长的计算公式。 2.能利用圆的周长公式解决问题。 3.能利用圆的周长公式比较图形的周长，还能根据测量出的周长计算出直径和半径。
2.5《圆的周长（二）》 目标： 进一步熟悉圆的周长与直径、半径的关系，掌握圆周长的计算方法，利用圆周长的计算公式灵活解决简单的实际问题。 任务一：利用圆的面积公式解决问题 → 任务二：课堂活动 → 1.能用方程和算术法解决已知圆的周长求直径和半径的问题。 2.能利用圆的周长解决实际问题。
2.6《圆的面积（一）》 目标： 通过观察、操作、分析和推理等活动，让学生掌握圆的面积计算公式，并能正确计算圆的面积。 任务一：探究圆面积和正方形面积之间的关系 → 任务二：圆面积公式的推导 → 任务三：课堂活动 → 1.能估一估圆的面积与正方形的面积的关系，然后通过数格子的方法进行验证。 2.能找到所拼长方形与圆的关系，进而推导出圆的面积公式。 3.能利用所学的知识解决问题。
2.7《圆的面积（二）》 目标： 进一步掌握圆的面积计算公式，能根据圆的直径、周长计算圆的面积。 任务一：已知半径求圆的面积 → 任务二：已知周长求圆的面积 → 任务三：课堂活动 → 1.能解决已知半径求圆面积的实际问题。 2.能解决已知周长求圆面积的实际问题。 3.能利用所学的知识解决问题。
2.8《求与圆有关的组合图形的面积（1）》 目标： 通过计算窗户的面积，掌握求组合图形面积或周长的方法；通过计算花坛周围小路的面积，掌握求圆环面积的方法。 任务一：探究求与圆有关的组合图形的面积的方法 → 任务二：探究圆环的面积 → 1.探索求组合图形面积的基本策略，掌握求与圆有关的组合图形的面积的方法。 2.能解决有关圆环面积的实际问题，掌握解决问题的策略。
2.9《求与圆有关的组合图形的面积（2）》 目标： 通过计算折叠圆桌的面积，掌握把正方形面积转化成两个三角形面积 计算的方法。 任务一：探究外圆内方中正方形和圆之间部分的面积 → 任务二：课堂活动 → 1.能计算圆桌折叠的面积，掌握把正方形面积转化成两个三角形面积计算的方法。 2.辨别圆与正方形的关系，正确计算阴影部分的面积和周长。
2.10《读故事 学数学》 目标： 通过读故事，了解故事中所蕴含的基本的数学思想和方法，综合运用 所学知识解决实际问题。 任务一：巧用牛皮 → 任务二：设计制作 → 任务三：活动拓展 → 1.通过说一说，知道把面变成线，剪得越细得到的绳子会越长。 2.通过议一议、算一算，知道周长相等的长方形、正方形和圆形中，圆的面积最大。 3.通过读故事，知道《曹冲称象》故事中的数学知识——等量代换。
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2.9
求与圆有关的组合图形的面积（2）
（西师大版）六年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
任务一
04
任务二
05
拓展延伸
06
课堂练习
07
课堂小结
08
作业布置
09
板书设计
01
教学目标
通过计算折叠圆桌的面积，掌握把正方形面积转化成两个三角形面积 计算的方法。
01
02
学会从不同的角度去分析解决生活中的现实问题，思考解决问题的不同策略和方案，体会学习圆的面积的现实意义和价值。
03
通过学生自主解决问题并以小组合作的方式解决圆的面积与正方形面积间的关系，激发学生对学习数学的乐趣。
02
新知导入
在我们的生活中，到处都能看见数学的影子。
你们从图中发现了什么？
这些物体都是由一个正方形和一个圆组成的。
02
新知导入
说一说：
你还知道生活中有哪些圆形的物体？它们给我们的生活带来了怎样的变化？
02
新知导入
可折叠的圆桌是我们常见的家具之一， 使用非常方便。
学习任务一
探究外圆内方中正方形和圆之间部分的面积
一张可折叠的圆桌，半径是0.6m，折叠后成了正方形。折叠部分的面积约是多少平方米 （得数保留两位小数。）
03
任务一
03
任务一
观察图形，折叠部分有4块，算出每块面积再相加，行吗？
要求折叠部分的面积约是多少平方米？怎么求？
03
任务一
每一块是不规则图形，也没有相关数据，算不出来。
能不能从图形的整体上来考虑？
03
任务一
一张可折叠的圆桌，半径是0.6m，折叠后成了正方形。折叠部分的面积约是多少平方米 （得数保留两位小数。）
折叠部分的面积=圆的面积－正方形的面积
正方形的边长找不到。
03
任务一
分组交流：
正方形的边长不知道，不能用边长的平方直接计算面积，我们是否可以把正方形分割成其他图形呢？
03
任务一
一张可折叠的圆桌，半径是0.6m，折叠后成了正方形。折叠部分的面积约是多少平方米 （得数保留两位小数。）
正方形看作两个三角形。
0.6m
三角形的底是圆的直径，高是圆的半径。
03
任务一
一张可折叠的圆桌，半径是0.6m，折叠后成了正方形。折叠部分的面积约是多少平方米 （得数保留两位小数。）
正方形的面积是4 个等腰直角三角形的面积之和。
你能解决这个问题吗？
03
任务一
一张可折叠的圆桌，半径是0.6m，折叠后成了正方形。折叠部分的面积约是多少平方米 （得数保留两位小数。）
正方形的面积：0.6×0.6÷2×4
=0.18×4
=0.72（m2）
圆桌面的面积：3.14×0.62=1.1304（m2）
折叠部分的面积：1.1304－0.72=0.4104≈0.41（m2）
答：折叠部分的面积约是0.41m2。
03
任务一
求正方形面积常用的方法是找边长，用公式“边长×边长=正方形的面积”来解决，如果无法找到边长，就换个角度思考，把正方形的面积转化成三角形面积来解决。
学习任务二
课堂活动
04
任务二
1.议一议。
04
任务二
2个半圆正好可组合成一个圆。
4个扇形正好可组合成一个圆。
04
任务二
从正方形里截去一个最大的圆
转化
04
任务二
阴影部分的面积=正方形的面积－圆的面积
这3个图中的阴影部分的面积相等。
它们的周长呢？
04
任务二
圆的周长+正方形的周长
圆的周长+两条边长
圆的周长
这三个图形的阴影部分怎么计算？
04
任务二
它们的周长不相等。
图一的周长最大，图三的周长最小。
05
课堂练习
基础题：
1.计算涂色部分的面积。
d=10cm
3.14×（10÷2）2÷2-10×（10÷2）÷2
=3.14×25÷2-10×5÷2
=39.25-25
=14.25（平方厘米）
答：涂色部分的面积是14.25平方厘米。
05
课堂练习
基础题：
2.计算涂色部分的面积。（单位：厘米）
3
7
7×3－3.14×32÷4
=21-7.065
=13.935（平方厘米）
答：涂色部分的面积是13.935平方厘米。
05
课堂练习
提高题：
3.在等边三角形中，BC=16cm。求空白部分的面积。
3.14×（16÷2）2÷2
=3.14×64÷2
=100.48（cm2）
答：空白部分的面积是100.48平方厘米。
r=20cm
05
课堂练习
拓展题：
4.三角形的面积是4平方厘米，你能求出圆的面积吗？
r2=4×2=8（平方厘米）
3.14×8=25.12（平方厘米）
答：圆的面积是25.12平方厘米。
06
课堂小结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我会解决有关圆的组合图形面积了。
我还知道阴影部分的面积等于总面积减去空白部分的面积。
07
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.求涂色部分的的面积。
6分米
3.14×62÷2－3.14×（6÷2）2÷2
=56.52-14.13
=42.39（平方分米）
答：涂色部分的面积是42.39平方厘米。
【知识技能类作业】
必做题：
2.在一块半径是5米的圆形草地的中间修一个最大的正方形花坛后，草地面积还剩下多少平方米？
07
作业设计
3.14×52-（5×2）×5÷2×2
=78.5－50
=28.5（m2）
答：草地面积还剩下28.5平方米。
07
作业设计
【知识技能类作业】
选做题：
1.求出阴影部分的面积。（单位：厘米）
3.14×（10÷2）2×2－10×10
=157－100
=57（cm2）
答：涂色部分的面积是57平方厘米。
【知识技能类作业】
选做题：
2.计算涂色部分的面积。（单位：厘米）
07
作业设计
d=8
12
12×（8÷2）÷2
=12×4÷2
=24（平方厘米）
答：涂色部分的面积是24平方厘米。
08
作业布置
【综合实践类作业】
找找身边有关圆的组合图形。
09
板书设计
求与圆有关的组合图形的面积（2）
正方形的面积=4个直角三角形面积之和
正方形的面积：0.6×0.6÷2×4=0.72（m2）
圆桌面的面积：3.14×0.62=1.1304（m2）
折叠部分的面积：1.1304－0.72=0.4104≈0.41（m2）
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《2.9 求与圆有关的组合图形的面积（2）》教学设计
课题 求与圆有关的组合图形的面积（2） 单元 第二单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 例6是圆桌的折叠，涉及多个图形。计算正方形面积通常要找边长，本例没有边长， 突破了学生的常规思维，是教学难点。难就难在要换一个视角看，把正方形看作两个三角形。 直径与半径相交成直角，涉及等腰三角形的问题，也是学生理解的一个难点。教材用小男孩的对话框强调折叠部分的面积=圆面积－正方形面积，和上节课学习的例5不同的是，前一题是组合方式，后一题是挖开的方式。
学习目标 1.学习目标描述：通过计算圆桌折叠的面积，掌握把正方形面积转化成两个三角形面积计算的方法。探索正方形与内切圆、圆与内接正方形的面积关系，学会从不同的角度去分析解决问题。2.学习内容分析：本节课是在学生学习了圆的面积计算之后安排的，学生在以前已经学习了长方形与正方形的面积计算，在此基础上学习与圆有关的组合图形面积的计算，一方面可以巩固已学的基本图形，另一方面则能将所学的知识进行综合，提高学生综合能力。让学生自主探索计算组合图形的基本方法，并在交流、讨论中开阔思路，修正想法，从而更好地解决生活中有关组合图形的实际问题。3.学科核心素养分析：经历解决问题的过程，学会从不同的角度去分析解决生活中的现实问题，思考解决问题的不同策略和方案，体会学习圆的面积的现实意义和价值。通过学生自主解决问题并以小组合作的方式解决圆的面积与正方形面积间的关系，激发学生对学习数学的乐趣。
重点 能用转化的方法求图形的面积。
难点 掌握求简单组合图形面积的方法， 能将组合图形分解成基本图形。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：在我们的生活中，到处都能看见数学的影子。课件出示： 师：这些都是日常生活中的一些物体，你们从图中发现了什么？ 师：你还知道生活中有哪些圆形的物体？它们给我们的生活带来了怎样的变化？师：可折叠的圆桌是我们常见的家具之一， 使用非常方便，可你知道吗？它里面也包含了重要的数学知识，这节课我们就一起来研究。 板书课题：求与圆有关的组合图形的面积（2） 学生自由说说。 学生：这些物体都是由一个正方形和一个圆组成的。 学生结合实际自由说说。 通过交流引入新课，使学生知道所研究的数学知识跟生活紧密联系，激发学生的学习积极性，从而为新课的开展奠定基础。
讲授新课 任务一：探究外圆内方中正方形和圆之间部分的面积课件出示：一张可折叠的圆桌，半径是0.6m，折叠后成了正方形。折叠部分的面积约是多少平方米 （得数保留两位小数。）师：同学们一定看见过这种桌子吧？你知道是怎样的桌子吗？ 师：你能用图形表示出桌面吗？师巡视指导，然后出示：师：要求折叠部分的面积约是多少平方米？怎么求？展示：师：你们觉得这样做如何？师：能不能从图形的整体上来考虑？师：现在你能算算折叠部分的面积了吗？在练习本上尝试算算。师巡视，发现问题并及时提问：你们遇到什么困难了？ 师：正方形的边长不知道，不能用边长的平方直接计算面积，我们是否可以把正方形分割成其他图形呢？分组交流。师巡视指导并了解情况，然后提问：大家找到办法了吗？反馈：正方形看作两个三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，从而把正方形的面积转化成4 个等腰直角三角形的面积之和。 师：观察的真仔细！现在你能解决这个问题了吗？ 反馈：正方形的面积：0.6×0.6÷2×4 =0.18×4 =0.72（m2）圆桌面的面积：3.14×0.62=1.1304（m2）折叠部分的面积：1.1304－0.72=0.4104≈0.41（m2）答：折叠部分的面积约是0.41m2。 师：求正方形面积常用的方法是找边长，用公式“边长×边长=正方形的面积”来解决，如果无法找到边长，就换个角度思考，把正方形的面积转化成三角形面积来解决。 学生：可折叠的圆桌，折叠后便成了正方形。学生尝试画图。学生：观察图形，折叠部分有4块，算出每块面积再相加，行吗？学生：每一块是不规则图形，也没有相关数据，算不出来。学生独自观察，然后回答：折叠部分的面积正好是圆面积减去正方形面积的差。学生独自计算。学生：正方形的边长找不到。学生分组交流。学生根据自己的理解自由说说。学生独自完成，然后展示反馈。 在教师的引导下，帮助学生理解问题，使学生在不断完善认识的过程中，学会倾听、学会吸纳他人的意见，享受积 极思考获得的快 乐。将问题抛给学生，让学生通过观察、交流找到计算正方形面积的方法，渗透迁移的思想，同时通过交流解答思路，增强学生语言表达能力，让学生体会数学中的一题多解的数学思维。
任务二：课堂活动1.议一议。 师：观察上图，你能发现什么？师：这3个图中的阴影部分的面积怎么计算？请同学们小组内相互交流，找出解决问题的方案。师巡视指导并了解情况，然后提问：谁来说说？师：也就是说阴影部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积对吗？师：那么这3个图中的阴影部分的面积有什么关系？师：那它们的周长呢？师：大家的猜测对吗？请同学们小组内相互交流，找出解决问题的方案。师巡视指导，然后提问：这三个图形的阴影部分的周长怎么计算？师：那么你们能得出什么结论？ 学生1：第2图中的2个半圆正好可组合成一个圆。学生2：第3图中的4个扇形正好可组合成一个圆。学生分组交流。学生1：3个图中的阴影都可以转化成同样的情况：都是从正方形里截去一个最大的圆。学生：对。 学生：这3个图中的阴影部分的面积相等。 学生独自观察，然后回答：它们的周长不一样大。 学生分组交流。 学生1：图一阴影部分的周长等于圆的周长加正方形的周长。 学生2：图二阴影部分的周长等于圆的周长加两条边长。 学生3：图三阴影部分的周长等于圆的周长。 学生：它们的周长不相等，其中图一的周长最大，图三的周长最小。 本环节的设计， 激发了学生的学习兴趣、有效的巩固了新知，增强了学生的数学的应用意识，提高了分析问题解决问题的能力。
课堂练习 基础题：1.计算涂色部分的面积。2.计算涂色部分的面积。（单位：厘米） 学生独自完成，然后再集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.在等边三角形中，BC=16cm。求空白部分的面积。
拓展题 4.三角形的面积是4平方厘米，你能求出圆的面积吗？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 求与圆有关的组合图形的面积（2） 正方形的面积=4个直角三角形面积之和正方形的面积：0.6×0.6÷2×4=0.72（m2）圆桌面的面积：3.14×0.62=1.1304（m2）折叠部分的面积：1.1304－0.72=0.4104≈0.41（m2） 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.求涂色部分的面积。2.在一块半径是5米的圆形草地的中间修一个最大的正方形花坛后，草地面积还剩下多少平方米？ 选做题：1.求出阴影部分的面积。（单位：厘米）2.计算涂色部分的面积。（单位：厘米）
【综合实践类作业】找找身边有关圆的组合图形。
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