小升初应用题专项突破：图形问题（含答案）-数学六年级下册北师大版

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小升初应用题专项突破：图形问题-数学六年级下册北师大版
典型例题
1．王老师参观博物馆，看到一枚古铜钱。（如图）铜钱直径40毫米，中间的正方形边长为6毫米。这枚铜钱的面积是多少？
【答案】1220平方毫米
【分析】这枚铜钱的面积可以由直径为40毫米的圆的面积减去边长为6毫米的正方形面积，根据圆的面积＝πr2，正方形的面积＝边长×边长，代入相应数值计算即可解答。
【详解】3.14×（40÷2）2－6×6
＝3.14×202－36
＝3.14×400－36
＝1256－36
＝1220（平方毫米）
答：这枚铜钱的面积是1220平方毫米。
2．一个圆柱形的蓄水池，从里面量底面直径10米，深2.4米，在它的内壁与底面抹上水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？蓄水池能蓄水多少吨？（每立方米水重1吨）
【答案】153.86平方米；188.4吨
【分析】求抹水泥的面积，就是求这个圆柱形蓄水池的一个底面积与侧面积的和，根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积＋侧面积，代入数据，即可解答；
先根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形蓄水池的体积，再乘1，即可求出蓄水池能蓄水的重量，据此解答。
【详解】3.14×（10÷2）2＋3.14×10×2.4
＝3.14×52＋31.4×2.4
＝3.14×25＋75.36
＝78.5＋75.36
＝153.86（平方米）
3.14×（10÷2）2×2.4×1
＝3.14×52×2.4×1
＝3.14×25×2.4×1
＝78.5×2.4×1
＝188.4×1
＝188.4（吨）
答：抹水泥部分的面积是153.86平方米，蓄水池能蓄水188.4吨。
3．一个长方体玻璃容器长是20厘米，宽和高都是15厘米。里面盛有12厘米深的水。
（1）与水接触的玻璃面积有多大？
（2）如果把这些水倒入一个底面直径是16厘米，高是20厘米的圆柱形玻璃容器中，水面高约多少厘米？（得数保留整数）
【答案】（1）1140平方厘米
（2）18厘米
【分析】（1）根据题意可知，与水接触的玻璃面积相当于一个无盖的长为20厘米、宽为15厘米、高为12厘米的长方体5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算即可。
（2）把长方体容器里的水倒入圆柱形玻璃容器中，那么水的体积不变；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出水的体积；再根据圆柱的高h＝V÷S，其中S＝πr2，代入数据计算求出圆柱形容器中水面的高度。
【详解】（1）20×15＋20×12×2＋15×12×2
＝300＋480＋360
＝1140（平方厘米）
答：与水接触的玻璃面积有1140平方厘米。
（2）水的体积：
20×15×12
＝300×12
＝3600（立方厘米）
圆柱的底面积：
3.14×（16÷2）2
＝3.14×82
＝3.14×64
＝200.96（平方厘米）
水面高度：
3600÷200.96≈18（厘米）
答：水面高约18厘米。
【点睛】（1）观察图形得出与水接触的面是长方体的哪些面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
（2）本题考查长方体、圆柱体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键。
跟踪训练
1．如图，希望小学扩建操场，扩建部分的面积是原面积的15%。
（1）扩建后的操场面积是多少？
（2）扩建部分每平方米需投入200元，共需投入多少元？
2．如下图，一个正方体木块的表面积是40平方厘米，如果把它截成体积相等的8个小正方体木块，每个小正方体木块的表面积是多少平方厘米？
3．在建筑工地把54根圆木堆成如下图所示的梯形形状，顶层有2根。共堆了9层，底层有几根圆木？
4．钟楼上的大钟时针长1.6米，从上午10点到下午4点，时针扫过的面积是多少平方米？
5．小明的爸爸在郊区租了一块长方形菜地。长是12.8米，宽是长的。这块长方形菜地的占地面积是多少平方米？
6．用铁皮做一根直径是50厘米，高是3米的圆柱形通风管（中空），铁皮接口处为5厘米，4根这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？
7．一个圆柱形蓄水池，底面周长是25.12米，高是4米，沿着这个圆柱形蓄水池的侧面及底部抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？
8．在比例尺为1∶200的地图上，小明家的客厅长为3厘米，宽为2厘米，爸爸在装修时想用一种浅白色的方砖铺地面，经询问商店，这种方砖铺18平方米需要618块，那么请你计算一下，在不浪费的情况下，爸爸买多少块这种方砖正好够用？
9．一个粮食基地的打谷场上有一个近似圆锥形的小麦堆，它的底面周长是37.68米，高是3米。如果把这些小麦全部装入底面半径是2米，高是1.5米的圆柱形粮仓里，可以装满几个？
10．一个高为20厘米的圆柱形容器中，原有4厘米深的水，把一个底面周长是12.56厘米的圆柱形钢材底面向下竖直放入容器后，现在水深6厘米，钢材没入水中的部分和露在外面的部分长度比为3∶5，钢材的体积是多少立方厘米？
11．一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽1.5米，直径2米，压路机的前轮每分钟转动20周，1分钟后前轮压过的路面是多少平方米？
12．如图，从一张长方形纸上剪下两个圆和一个小长方形，正好拼成一个圆柱形包装盒。求包装盒的表面积和体积分别是多少？
13．一个周长为40厘米的正方形，它的边长与一个圆的直径相等。你知道这个正方形的面积比圆的面积大多少平方厘米吗？
14．公园中有一个半圆形的花坛（如右图所示），沿着花坛的一周围上篱笆，张红计算后认为篱笆长25.7米，半圆形花坛的占地面积是39.25平方米，你认为张红计算的结果正确吗？请写出你的思考过程。
15．如图，正方形的边长是2厘米，四个圆的圆心分别是正方形的顶点。正方形中被圆盖住的面积是多少平方厘米？
16．体育王老师告诉他们：“为确保健康和安全，沙子要选环保、颜色不刺眼、粒型圆整、粒径适中的。”有这样一堆形状近似圆锥的沙子（如图），如果将这堆沙子平铺在底面积是15平方米的长方体沙坑中，沙坑中的沙子约有多高？（得数保留一位小数）
17．如图所示茶杯。
（1）茶杯中的一圈装饰，是为防烫手贴上的，这条装饰带宽5厘米，长至少是多少厘米？（接头忽略不计）
（2）这个茶杯的容积大约是多少毫升？
18．如图1，一种卷纸中间硬纸轴的直径是4厘米，卷纸环的厚度是4厘米，高度是10厘米。

（1）制作中间的硬纸轴需要多少平方厘米的硬纸板？
（2）如图2，纸箱正好可放入24个卷纸，这个纸箱的容积至少是多少立方厘米？
（3）此品牌卷纸有两种包装，规格及价格如图3所示，如果它们的纸质相同，你觉得买哪一种更划算？请通过计算说明。
参考答案：
1．（1）5520平方米；（2）144000元
【分析】（1）根据长方形的面积＝长×宽，用60×80即可求出原来操场的面积，把原来操场的面积看作单位“1”，根据百分数乘法的意义，用原来操场的面积乘15%，即可求出扩建部分的面积，然后用原来操场的面积加上扩建部分的面积，即可求出现在操场的面积。
（2）根据单价×数量＝总价，用扩建部分的面积乘200元，即可求出总价。
【详解】（1）60×80＝4800（平方米）
4800×15%＝720（平方米）
4800＋720＝5520（平方米）
答：扩建后的操场面积是5520平方米。
（2）720×200＝144000（元）
答：共需投入144000元。
2．10平方厘米
【分析】把正方体截成8个相等的小正方体，可以看出切了三刀，每切一刀就增加两个相同的截面，一共增加了6个原正方体的面，也就是8个小正方体的表面积是2个原正方体的表面积，先用40乘2计算出2个原正方体的表面积，也就是8个小正方体的表面积和，再除以8即可；据此解答。
【详解】
＝80÷8
＝10（平方厘米）
答：每个小正方体木块的表面积是10平方厘米。
【点睛】本题考查的是对正方体特征的实际应用，注意切开后一共增加了6个原正方体的面是解答本题的关键。
3．10根
【分析】通常把圆木或钢管堆成梯形的形状，应用梯形的面积公式可以求出总根数＝（顶层根数＋底层根数）×层数÷2，这道题是梯形的面积公式的反用；可以先求出顶层根数与底层根数的和，用总根数乘2再除以层数即可；最后减去顶层的根数，计算出底层的根数；据此解答。
【详解】54×2÷9－2
＝108÷9－2
＝12－2
＝10（根）
答：底层有10根圆木。
4．4.0192平方米
【分析】从上午10点到下午4点，时针扫过的面积是一个扇形；钟面上一共有12大格，钟面上中心的周角为360°，用360°除以12计算出1大格所表示的度数为：；先将两个时间转换为24时计时法，再用末尾时间减去开始时间，计算出经过的时间，进而求出大格数。计算发现从上午10点走到下午4点共走了6格，即30°×6＝180°，也就是说这个扇形的圆心角是180°，半径是时针的长度；由扇形的面积公式：，可求得时针扫过的面积；据此解答。
【详解】上午10点为10时，下午4点为16时
16时－10时＝6（小时）
经过了6大格。
扇形的圆心角：
扇形的面积：
答：时针扫过的面积是4.0192平方米。
5．122.88平方米
【分析】先把长方形的长看作单位“1”，已知宽是长的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出长方形的宽；
再根据长方形的面积＝长×宽，求出这块长方形菜地的面积。
【详解】宽：12.8×＝9.6（米）
面积：12.8×9.6＝122.88（平方米）
答：这块长方形菜地的占地面积是122.88平方米。
6．19.44平方米
【分析】圆柱形通风管只有一个侧面，圆柱的侧面积＝底面周长×高＝πdh。铁皮接口处为5厘米，则一根通风管所需铁皮的底面周长应是（3.14×50＋5）厘米，再根据圆柱的侧面积公式求出一根通风管所需铁皮的面积，最后乘4，即可求出4根这样的通风管至少需要铁皮多少平方米。
【详解】3.14×50＋5
＝157＋5
＝162（厘米）
162厘米＝1.62米
1.62×3×4
＝4.86×4
＝19.44（平方米）
答：至少需要铁皮19.44平方米。
7．150.72平方米
【分析】沿着这个蓄水池的四周及底部抹水泥，抹水泥的部分是圆柱的侧面积加上圆柱的底面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆的面积公式：π×半径2，代入数据，即可求出抹水泥部分的面积。
【详解】圆柱侧面积：（平方米）
底面积：
（平方米）
抹水泥面积：（平方米）
答：抹水泥的面积是150.72平方米。
【点睛】本题考查圆柱的侧面积，解答本题的关键是掌握圆柱的侧面积计算公式。
8．824块
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出客厅实际长和宽，长方形面积＝长×宽，据此求出客厅面积，铺的面积÷用的方砖块数＝每块方砖面积，客厅面积÷每块方砖面积＝方砖块数，据此列式解答。
【详解】3÷＝3×200＝600（厘米）＝6（米）
2÷＝2×200＝400（厘米）＝4（米）
6×4÷（18÷618）
＝24÷
＝24×
＝824（块）
答：爸爸买824块这种方砖正好够用。
9．6个
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥形小麦的底面半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形小麦的体积；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱形粮仓的体积；再用圆锥形小麦的体积÷圆柱形粮仓的体积，即可解答。
【详解】37.68÷3.14÷2
＝12÷2
＝6（米）
（3.14×62×3×）÷（3.14×22×1.5）
＝（3.14×36×3×）÷（3.14×4×1.5）
＝（113.04×3×）÷（12.56×1.5）
＝（339.12×）÷18.84
＝113.04÷18.84
＝6（个）
答：可以装满6个。
10．200.96立方厘米
【分析】已知圆柱形钢材的底面周长是12.56厘米，根据r＝C÷π÷2，由此求出圆柱形钢材的底面半径；
已知钢材没入水中后水深6厘米，即钢材没入水中的长度是6厘米；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出钢材没入水中部分的体积；
根据钢材没入水中的部分和露在外面的部分长度比为3∶5，可知钢材没入水中部分的体积和露在外面的部分的体积比也是3∶5，那么钢材没入水中部分的体积占这根钢材体积的，把这根钢材的体积看作单位“1”，单位“1”未知，用钢材没入水中部分的体积除以，即可求出这根钢材的体积。
【详解】圆柱形钢材的底面半径：
12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
钢材没入水中部分的体积：
3.14×22×6
＝3.14×4×6
＝75.36（立方厘米）
钢材的体积：
75.36÷
＝75.36÷
＝75.36×
＝200.96（立方厘米）
答：钢材的体积是200.96立方厘米。
【点睛】解题的关键是先求出圆柱形钢材没入水中部分的体积，然后把比转化成分数，找出单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义解答。
11．188.4平方米
【分析】压路机前轮是圆柱形，先根据圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，压路机前轮的侧面积，再乘20，即可解答。
【详解】3.14×2×1.5×20
＝6.28×1.5×20
＝9.42×20
＝188.4（平方米）
答：1分钟后前轮压过的路面是188.4平方米。
12．125.6平方厘米；100.48立方厘米
【分析】根据图意可知，圆柱的高为厘米，根据圆柱的表面积公式：，圆柱的体积公式：，代入数据计算即可。
【详解】圆柱的高：
（厘米）
表面积：
（平方厘米）
体积：
（立方厘米）
答：包装盒的表面积是125.6平方厘米，体积是100.48立方厘米。
13．21.5平方厘米
【分析】正方形的周长＝边长×4，据此用40除以4即可求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据求出正方形的面积；求出的正方形的边长即是圆的直径，根据圆的面积＝πr2即可求出圆的面积。最后把它们相减即可解答。
【详解】40÷4＝10（厘米）
10×10－3.14×（10÷2）2
＝100－3.14×52
＝100－3.14×25
＝100－78.5
＝21.5（平方厘米）
答：这个正方形的面积比圆的面积大21.5平方厘米。
14．正确
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×直径，代入数据，求出直径是10米的圆的周长，再除以2，求出圆的周长的一半，再加上直径的长度，即可求出这个半圆形花坛的周长，也就是用篱笆的长度，再进行比较即可；
根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出圆的面积，再除以2，即可求出半圆形花坛的面积，再进行比较即可。
【详解】3.14×10÷2＋10
＝31.4÷2＋10
＝15.7＋10
＝25.7（米）
25.7米＝25.7米，篱笆长度的计算结果正确。
3.14×（10÷2）2÷2
＝3.14×52÷2
＝3.14×25÷2
＝78.5÷2
＝39.25（平方米）
39.25平方米＝39.25平方米，面积计算结果正确。
张红的计算结果对正确。
答：张红的计算结果正确。
15．3.14平方厘米
【分析】根据题意可知，正方形中被圆盖住的面积就是一个半径是（2÷2）厘米的圆的面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×（2÷2）2
＝3.14×12
＝3.14×1
＝3.14（平方厘米）
答：方形中被圆盖住的面积是3.14平方厘米。
16．0.4米
【分析】由题意可知，题目中沙子的体积是保持不变的，所以可先根据圆锥的体积公式算出沙子的体积，再用体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高，即沙坑中沙子的高度。据此解答。
【详解】×3.14×（4÷2）2×1.5÷15
＝×3.14×4×1.5÷15
＝6.28÷15
≈0.4（米）
答：沙坑中的沙子约有0.4米。
17．（1）31.4厘米（2）1177.5毫升
【分析】（1）装饰带的长就是圆柱的底面周长，根据圆的周长C＝πd，代入数据计算，即可求出这条装饰带长至少是多少厘米。
（2）根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据计算，即可求出这个茶杯的容积。据此解答。
【详解】（1）10×3.14＝31.4（厘米）
答：长至少是31.4厘米。
（2）10÷2＝5（厘米）
3.14×52×15
＝3.14×25×15
＝1177.5（立方厘米）
1177.5立方厘米＝1177.5毫升
答：这个茶杯的容积大约是1177.5毫升。
18．（1）125.6平方厘米
（2）34560立方厘米
（3）规格②；计算说明见详解
【分析】（1）求制作中间的硬纸轴需要硬纸板的面积，就是求底面直径4厘米、高10厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh即可求解。
（2）每卷纸的底面外圆直径是4＋4＋4＝12厘米；纸箱正好可放入24个卷纸，从图中可知，一层放了12个卷纸，所以放了2层；纸箱的长放了4个卷纸，宽放了3个卷纸，高放了2个卷纸，由此可知这个纸箱的长是（12×4）厘米、宽是（12×3）厘米、高是（10×2）厘米；根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，求出这个纸箱的容积。
（3）比较哪种纸更划算，求1元钱可以买到哪种纸多，这种纸就划算。圆柱形卷纸的底面是圆环，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出圆柱的底面积；再根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出两种卷纸的体积，再除以各自的价格，即是1元钱可以买到多少纸，比较大小，即可得出结论。
【详解】（1）3.14×4×10
＝12.56×10
＝125.6（平方厘米）
答：制作中间的硬纸轴需要125.6平方厘米的硬纸板。
（2）每层放了：3×4＝12（个）
24÷12＝2（层）
每卷纸的底面外圆直径是：4＋4＋4＝12（厘米）
长方体的长：12×4＝48（厘米）
长方体的宽：12×3＝36（厘米）
长方体的高：10×2＝20（厘米）
长方体的容积：
48×36×20
＝1728×20
＝34560（立方厘米）
答：这个纸箱的容积至少是34560立方厘米。
（3）规格①：
底面的内圆半径：4÷2＝2（厘米）
底面的外圆半径：2＋4＝6（厘米）
体积：
3.14×（62－22）×10
＝3.14×（36－4）×10
＝3.14×32×10
＝1004.8（立方厘米）
1004.8÷3≈334.93（立方厘米）
规格②：
底面的内圆半径：4÷2＝2（厘米）
底面的外圆半径：2＋8＝10（厘米）
3.14×（102－22）×10
＝3.14×（100－4）×10
＝3.14×96×10
＝3014.4（立方厘米）
3014.4÷8＝376.8（立方厘米）
376.8＞334.93
答：规格②更划算。
【点睛】（1）本题考查圆柱侧面积公式的应用。
（2）关键是结合图形，确定长方体纸箱的长、宽、高，再运用长方体的体积（容积）公式解答。
（3）求出底面是圆环的两种圆柱卷纸的体积是解题的关键。
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