小升初应用题专项突破：比与比例（含答案）-数学六年级下册北师大版

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小升初应用题专项突破：比与比例-数学六年级下册北师大版
典型例题
1．在一次绘画比赛中，有60名选手，结果有38人获奖，获二等奖人数与获一等奖人数的比是5∶1，获一等奖的人数是获三等奖人数的。有几人获一等奖？
【答案】2人
【分析】由题可知，获一等奖的人数是获三等奖的人数的，则获一等奖的人数与获三等奖的人数的比是1∶13，所以获一、二、三等奖的人数比是1∶5∶13，由此可知获一等奖的人数占获奖总人数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出有几人获一等奖，据此解答。
【详解】由题可得：获一等奖的人数与获三等奖的人数的比是1∶13，因此获一、二、三等奖的人数比是1∶5∶13。
（人）
答：有2人获一等奖。
2．某校合唱队原来男、女生人数比是5∶3，后来又增加了14名女生，这时男、女生人数比是6∶5，原来合唱队一共有多少人？
【答案】96名
【分析】根据题意可知，原来女生人数是男生人数的，增加14名女生后，女生人数是男生人数的，先求出女生人数增加的比例，即－，再用增加的女生人数除以求出的女生人数增加的比例，计算出男生人数，把男生人数看作单位“1”，即原来总人数为1＋，用男生人数乘上1＋。据此求出答案。
【详解】原来女生人数是男生人数的，增加14名女生后，女生人数是男生人数的。
－
＝
＝
男生人数：14÷
＝
＝60（名）
原来总人数：（1＋）×60
＝
＝96（名）
答：原来合唱队一共有96人。
3．在一幅比例尺是1∶20000000的地图上，量得甲乙两地的距离是4.2厘米。一辆客车和一辆货车同时从甲乙两地相对开出，经过4小时相遇。已知客车和货车的速度比是11∶10，客车每小时行多少千米？
【答案】110千米
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，即可求出两地的实际距离。再根据“速度和＝相遇路程÷相遇时间”，可求出两车的速度和，两车的速度比已知，利用按比例分配的方法就能求出客车速度是多少。
【详解】4.2÷
＝4.2×20000000
＝84000000（厘米）
84000000厘米＝840千米
840÷4＝210（千米/时）
（千米/时）
答：客车每小时行110千米。
跟踪训练
1．学校将2000本练习本分给四、五、六三个年级，四年级分得其中的，五、六年级分得的练习本本数的比是2∶3。五、六年级各分得多少本？
2．在新农村的建设中，小强到修路现场做调查。他问工人叔叔要修的路有多长，工人叔叔说：“已修长度是未修长度的，如果再修510米，这时已修长度与未修长度的比是4∶1”要修的路总长多少米？
3．当人的下半身的长度与身高的比大约为3∶5时（接近黄金比），身材显得最美。王阿姨未穿鞋时量得身高是160厘米，下半身的长度是94厘米。她穿的高跟鞋的最佳高度为多少厘米？
4．将66厘米长的铁丝按2∶3∶6剪成三段。这样的三段能围成一个三角形吗？如果不能，怎样改变其中一段的长度，使它与另外两段可以围成一个三角形？
5．植物园种了三种树，共有1230棵，其中杉树与樟树的棵数比是4∶5，樟树与柳树的棵数比是15∶14，三种树各种了多少棵？
6．用240米的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3：2：1，这个长方体的长、宽、高各是多少？
7．六（1）班图书管理员清理图书，学习辅导资料的本数与文艺书的本数的比是1：5．复查时发现文艺书中混有6本学习辅导资料，实际学习辅导资料的本数是文艺书本数的．六（1）班实际有学习辅导资料多少本？
8．某校做一块水泥浇灌的乒乓球桌面，其中公分石和沙的比是7：3，公分石比沙多用了160千克，水泥用了200千克，这块桌面重多少千克？
9．运输公司3天内运完一批货物，第一天运了48吨，占这批货物的，第二天与第三天运的重量的比是3：5，第三天运货多少吨？
10．周末，爸爸带明明去一条健身步道散步，走了全程的后，在一个休息亭休息。爸爸告诉明明：“如果再走2.7千米，已经走的路程和剩下的路程比是5∶18。”你能帮明明计算出这条健身步道的总长吗？
11．一辆汽车从甲地到乙地，计划每小时行40千米，6小时到达。实际2小时就行了100千米，照这样的速度，从甲地到乙地实际要用多长时间？（用比例解）
12．用边长30厘米的方砖给教室铺地，需要1200块，如果改用边长40厘米的方砖铺地，需要多少块？
13．一张奖状长40厘米，宽30厘米，笑笑把它的平面图画在纸上，平面图的长是10厘米，宽是2厘米，笑笑画得像吗？
14．在一张比例尺是1∶1500000的地图上，量得甲地到乙地的距离是3厘米。则两地间的实际距离是多少千米？一列火车从甲地到乙地用了3小时，那么火车的平均速度是多少？
15．按要求画一画，填一填。
（1）画出图形①的另一半，使它成为一个轴对称图形。
（2）把图形②绕点A顺时针旋转90°。
（3）先把图形③向左平移2格，再在适当位置按2∶1的比画出图形③放大后的图形。
（4）点O的位置用数对表示是（ ）。在平面图中，如果以点O为观测点，点B在点O的（ ）（ ）°方向（ ）厘米处。
16．下面是新鲜橙子中维生素C的含量情况。
新鲜橙子的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 …
维生素C的含量/g 0 0.5 1 …
（1）将上表填写完整。
（2）根据表中的数据，在下图中描出新鲜橙子的质量和维生素C的含量所对应的点，再按顺序连接起来。

（3）新鲜橙子的质量和维生素C的含量成正比例吗？你是根据什么判断的？
（4）根据图像判断，4.5kg新鲜橙子中维生素C的含量是（ ）克。
参考答案：
1．五年级600本，六年级900本。
【分析】由题意知：四年级分的练习本数量是2000本的，即500本，五、六年级分的练习本数量是2000－500＝1500本，再根据比的意义，求得一份是多少，再分别乘份数，即可得五、六年级分的数量。据此解答。
【详解】四年级：2000×＝500（本）
1份：（2000－500）÷（2＋3）
＝1500÷5
＝300（本）
五年级：300×2＝600（本）
六年级：300×3＝900（本）
答：五年级分600本、六年级分900本。
【点睛】掌握分数乘法的意义和比意义是解答本题的关键。
2．1200米
【分析】现在已修长度是未修长度的，所以已修长度占3份，未修长度占5份，所以现在已修的长度是总长度的几分之几＝，再修510米已修长度是总长度的几分之几＝，所以要修的路的总长＝再修的510米÷（再修510米已修长度是总长度的几分之几－现在已修的长度是总长度的几分之几），据此代入数值作答即可。
【详解】510÷（）
＝510÷（）
＝510÷
＝1200（米）
答：要修的路总长1200米。
【点睛】此题考查了比的应用
3．5厘米
【分析】王阿姨未穿鞋时身高－下半身长度＝上半身长度，当人的下半身的长度与身高的比大约为3∶5时（接近黄金比），上半身对应（5－3）份，上半身长度÷对应份数，求出一份数，一份数×下半身对应份数＝下半身身材最美的长度，下半身身材最美的长度－下半身实际长度＝高跟鞋最佳高度，据此列式解答。
【详解】160－94＝66（厘米）
66÷（5－3）×3
＝66÷2×3
＝99（厘米）
99－94＝5（厘米）
答：她穿的高跟鞋的最佳高度为5厘米。
【点睛】关键是理解比的意义，将比的前后项看成份数，通过上半身长度确定身材最美的下半身长度，进而求出高跟鞋的高度。
4．不能；把最长的一段剪去7厘米。
【详解】66÷（2+3+6）
＝66÷11
＝6（厘米）
6×2＝12（厘米）
6×3＝18（厘米）
6×6＝36（厘米）
12+18＝30（厘米）
30＜36，所以这三段不能围成三角形；
36﹣30＝6（厘米）
要想能围成三角形，最长的一段应剪去6厘米以上（不包括6厘米），可以是剪去7厘米等；
答：这样的三段不能围成一个三角形，把最长的一段剪去7厘米，这样它与另外两段可以围成一个三角形。
5．杉树360棵；樟树450棵；柳树420棵
【分析】杉树与樟树的棵数比是4∶5，樟树与柳树的棵数比是15∶14，根据比的基本性质，把杉树与樟树的棵数比是4∶5的前、后项都乘3就是12∶15，这样杉树、樟树、柳树的比就是12∶15∶14，把1230棵树平均分成（12＋15＋14）份，根据除法求出1份的棵树，再根据分数乘法，求出12份（杉树）、15份（樟树）、14份（柳树）的棵树。
【详解】杉树与樟树的棵数比是4∶5＝（4×3）∶（5×3）＝12∶15，樟树与柳树的棵数比是15∶14，所以杉树、樟树、柳树的比就是12∶15∶14。
1230÷（12＋15＋14）
＝1230÷41
＝30（棵）
30×12＝360（棵）
30×15＝450（棵）
30×14＝420（棵）
答：杉树种了360棵，樟树种了450棵，柳树种了420棵。
【点睛】解答此题的关键是求出三种树棵树的比，然后再根据按比例分配解答。
6．长、宽、高分别是30米，20米，10米．
【详解】试题分析：首先求得一条长、宽、高的和：240÷4=60厘米，进而求出长、宽、高的总份数，再求得长、宽、高所占总数的几分之几，最后求得长方体的长、宽、高分别是多少，列式解答即可．
解：一条长、宽、高的和：
240÷4=60（米）
总份数：3+2+1=6（份）
长：60×=30（米）
宽：60×=20（米）
高：60×=10（米）
答：这个长方体的长、宽、高分别是30米，20米，10米．
【点评】此题主要考查按比例分配应用题的特点：已知两个数的比（三个数的比），两个数的和（三个数的和），求这两个数（三个数），用按比例分配解答．
7．36本
【分析】根据题意设出实际有学习辅导资料x本，根据“实际学习辅导资料的本数是文艺书本数的”可得出文艺书本书是4x，复查时发现文艺书中混有6本学习辅导资料，所以当时清点数目时以为有学习辅导资料（x－6）本，文艺书有（4x＋6）本，从而的出比例是1：5，可列方程计算．
【详解】解：设实际有学习辅导资料x本，则文艺书有4x本．
＝
5（x－6）＝4x＋6
5x－30＝4x＋6
x＝36
答：六（1）班实际有学习辅导资料36本．
【点睛】“复查时发现文艺书中混有6本学习辅导资料”从而判断出清点时文艺书多加了4本，但做比时，容易忘记从学习辅导资料中减掉6本．
8．这块桌面重600千克
【详解】试题分析：首先根据其中公分石和沙的比是7：3，公分石比沙多用了160千克，求出1份的量是160÷（7﹣3）=40千克，然后再求出7+3=10份的量是40×10=400千克，最后加上200千克就是这块桌面的重量，列式解答即可．
解：160÷（7﹣3）×（7+3）
=160÷4×10，
=40×10，
=400（千克）；
400+200=600（千克）．
答：这块桌面重600千克．
点评：此题知道两个量的比和两个量的差，先求出1份的量是多少千克，进而求出公分石和沙的和，再加上水泥的千克数即可．
9．45
【详解】试题分析：已知第二天与第三天运的重量的比是3：5，要求第三天运货多少吨，应求出第二天与第三天共运的重量．根据题意，第一天运了48吨，占这批货物的，那么这批货物重（48÷）吨，则第二天与第三天共运（48÷﹣48）吨，然后根据按比例分配的方法，解答即可．
解：（48÷﹣48）×，
=（120﹣48）×，
=72×，
=45（吨）；
答：第三天运货45吨．
点评：此题解答的关键是先求出这批货物的重量，然后再求第二天与第三天共运货物的重量，进一步解决问题．
10．23千米
【分析】把这条健身步道的总长看作单位“1”，已经走的路程和剩下的路程比是5∶18，已经走的路程占全程的，减去走了的全程的，即所走的2.7千米正好对应（－），根据量÷对应的分率＝单位“1”的量，列出算式即可求出这条健身步道的总长。
【详解】2.7÷（－）
＝2.7÷（－）
＝2.7÷（－）
＝2.7÷
＝2.7×
＝23（千米）
答：这条健身步道的总长是23千米。
【点睛】本题考查比的应用以及分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。
11．4.8小时
【分析】根据“照这样的速度”可知，汽车的速度不变，那么行驶路程∶行驶时间＝汽车的速度（一定），比值一定，则行驶路程和行驶时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。
【详解】解：设从甲地到乙地实际要用小时。
（40×6）∶＝100∶2
240∶＝100∶2
100＝2×240
100＝480
＝480÷100
＝4.8
答：从甲地到乙地实际要用4.8小时。
【点睛】先确定汽车的速度不变，再根据速度、时间、路程之间的关系，得出路程和时间成正比例关系，据此列出相应的比例方程。
12．675块
【分析】根据题意可知，教室的面积一定，那么每块方砖的面积×块数＝教室的面积（一定），积一定，则每块方砖的面积和块数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】解：设需要块。
（40×40）＝30×30×1200
1600＝1080000
＝1080000÷1600
＝675
答：需要675块。
【点睛】关键是判断题目中的两种相关联的量成什么比例关系，据此列出相应的比例方程。
13．不像
【分析】根据比例尺的公式：比例尺＝图上距离∶实际距离，把图形按照比例放大或缩小，才能保证奖状整体形状不变，只是大小变化，据此即可解答。
【详解】40∶10
＝（40÷10）∶（10÷10）
＝4∶1
30∶2
＝（30÷2）∶（2÷2）
＝15∶1
由于长的图上距离和实际距离的比值与宽的图上距离和实际距离不相等。
答：笑笑画得不像。
【点睛】熟练掌握比例尺的意义是解题的关键。
14．15千米/时
【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用3÷即可求出甲、乙两地的实际距离，然后把结果化为千米作单位，再根据速度＝路程÷时间，用甲、乙两地的实际距离除以3小时，即可求出火车的平均速度。
【详解】3÷
＝3×1500000
＝4500000（厘米）
4500000厘米＝45千米
45÷3＝15（千米/时）
答：火车的平均速度是15千米/时。
【点睛】本题主要考查了图上距离和实际距离的换算。
15．（1）（2）（3）见详解
（4）（15，4）；东偏北；60；2；
【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对称点到对称轴的距离相等，对称轴是对称点的连线的垂直平分线，在对称轴的右边画出关键的几个对称点，然后首尾连接各对称点即可。
（2）根据作旋转一定角度后的图形的方法，找出图形②以绕点A顺时针旋转90°后的图形②的对应点的位置，然后顺次连接即可。
（3）根据平移的特征，把图形③的三个顶点分别向左平移2格，首尾连接即可画面出向左平移2格后的图形，图形③是一个底为2格、高为3格的直角三角形，根据图形放大与缩小的意义，按2∶1放大的后的图形是对应的底为4格、高为6格，对应角大小不变的直角三角形，据此画图即可。
（4）根据用数对表示物体位置的方法，数对一个数表示列，数对第二个数表示行，即可表示出点O的数对。根据观察图中的圆是以O为中心，OC为半径画成的圆，每个小格代表是1厘米，所以OC是2厘米，从O到圆上任意一点都是2厘米，所以OB的长度也是2厘米。再根据观察∠BCO是60°，所以三角形OBC是等边三角形，等边三角形的每个角都是60°，再根据上北下南左西右东的方位即可得出结果。
【详解】（1）画出图形①的另一半，使它成为一个轴对称图形（图中红色部分）。
（2）把图形②绕点A顺时针旋转90°（图中绿色部分）。
（3）先把图形③向左平移2格（图中蓝色部分），再在适当位置按2∶1的比画出图形③放大后的图形（图中黄色部分）。
（4）点O的位置用数对表示是（15，4）。
每个小格代表是1厘米，所以OC是2厘米，从O到圆上任意一点都是2厘米，所以OB的长度也是2厘米，OB＝BC。
因为∠BCO＝60°，OB＝BC，所以三角形OBC是等边三角形，∠BOC＝60°。
所以以点O为观测点，点B在点O的东偏北60°方向2厘米处。
【点睛】此题考查了作轴对称图形和作平移后的图形以及作旋转一定角度后的图形的方法，还考查了根据图形的放大与缩小画图的方法以及用数对表示物体位置的方法，考查了学生的空间观念和数据分析观念。
16．（1）1.5；2；2.5；3；
（2）见详解；
（3）成正比例；因为每千克新鲜橙子含维生素0.5克，是一定的，也就是新鲜橙子的质量和维生素C的含量的商（比值）是一定的。
（4）2.3
【分析】（1）观察表格可知，每千克新鲜橙子含维生素0.5克，用每千克新鲜橙子含维生素的量分别乘新鲜橙子的质量，求出王叔叔的含量，并填表；
（2）观察图可知，纵轴表示维生素C的含量，横轴表示新鲜橙子的质量，根据表中的数据依次在图中描出各个点并按顺序连接各个点即可。
（3）观察表格发现，每千克新鲜橙子含维生素0.5克，即：05.∶1＝1∶2＝0.5（一定），新鲜橙子的质量和维生素C的含量的商（比值）是一定的，据此可以判断：新鲜橙子的质量和维生素C的含量成正比例关系。
（4）新鲜橙子的质量和维生素C的含量成正比例关系，正比例的图像是一条直线。根据图像估测4.5kg新鲜橙子中维生素C的含量大约是2.3克。
【详解】（1）0.5÷1＝0.5（克）
0.5×3＝1.5（克）
0.5×4＝2（克）
0.5×5＝2.5（克）
0.5×6＝3（克）
填表如下：
新鲜橙子的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 …
维生素C的含量/g 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
（2）作图如下：

（3）0.5÷1＝0.5
1÷2＝0.5
……
所以，每千克新鲜橙子含维生素0.5克，是一定的。
即：新鲜橙子的质量和维生素C的含量的商（比值）是一定的，所以，新鲜橙子的质量和维生素C的含量成正比例关系。
答：新鲜橙子的质量和维生素C的含量成正比例关系，因为每千克新鲜橙子含维生素0.5克，是一定的，也就是新鲜橙子的质量和维生素C的含量的商（比值）是一定的。
（4）根据分析，我估测4.5kg新鲜橙子中维生素C的含量大约是2.3克。
【点睛】两种相关联的量，一种量变化， 另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，正比例的图像是一条直线。
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