2025届新高三开学摸底联合教学质量检测
数学试卷
本试卷共4页 满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．若且，则x取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．24 B．12 C．20 D．15
4．设向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.1 B． C． D．
6．已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，
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，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．22
8．已知，，设函数，若，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若随机变量，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（ ）
A．的图象不关于直线对称
B．的最小正周期为
C．的图像关于原点对称
D．在单调递减
11．如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在某个位置，使得
B．翻折过程中，CN的长是定值
C．若，则
D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ．
13．设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 .
14．对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求的值．
16.（本小题15分）
某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
(1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率；
(2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
17.（本小题15分）
如图，在三棱锥中，，，．
(1)证明：平面；
(2)若，E是棱上一点且，求平面与平面的夹角．
18.（本小题17分）
已知函数，，．
(1)讨论：当时，的极值点的个数；
(2)当时，，使得，求实数a的取值范围．
19.（本小题17分）
已知椭圆过点，且．
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值．2025届新高三开学摸底联合教学质量检测解析版
数学试卷
满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，
所以，
所以，
即图中阴影部分表示的集合为.
故选：A
2．若且，则x取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
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因，则，即，
可得，，解得，或7．
故选：C．
3．已知首项为1的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．24 B．12 C．20 D．15
【答案】D
【详解】设等比数列 的公比为，显然，否则，此等式不成立，
则，由，整理得，即，
因此，所以.
故选：D
4．设向量，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在方向上的投影向量为
.
故选：C.
5．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.1 B． C． D．
【答案】A
【详解】因为随机变量服从正态分布，
所以随机变量的均值,
所以随机变量的密度曲线关于对称，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
故选：A.
6．已知某圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，
由题意可得：，解得，
设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，
可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为.
故选：C.
7．设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．22
【答案】B
【详解】设抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，
设直线的方程为，，，
联立，可得，所以，，
则．因为，，所以，，
则，解得或．因为，所以．
故选：B
8．已知，，设函数，若，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【详解】由可得，，即，也即，
因，①当时，可得，即得；
②当时，可得，即得，
综上可得，，即，因
故由，
当且仅当时，取得最小值,等于4.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．若随机变量，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】因为，所以，
整理得，解得，
则，，.
故选：AC
10．如图，函数的图象与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，为线段的中点，，，，则（ ）
A．的图象不关于直线对称
B．的最小正周期为
C．的图像关于原点对称
D．在单调递减
【答案】ACD
【详解】由题可，，，则，
有，
，，
把代入上式，得，解得（负值舍去），
，，由，解得，
解得，，
对A，，故A正确；
对B：的最小正周期为，故B错误；
对C：，为奇函数，故C正确；
对D：当时，，在单调递减，为奇函数，故D正确.
故选：ACD.
11．如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在某个位置，使得
B．翻折过程中，CN的长是定值
C．若，则
D．若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是
【答案】ABD
【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于F，则四边形为平行四边形，如图，
F为MD的中点，由于N为的中点，则，
如果，则，
由于，则，
由于共面且共点，故不可能有，同时成立，
即不存在某个位置，使得，A正确
对于B，结合A的分析可知，且，
在中，，
由于均为定值，故为定值，
即翻折过程中，CN的长是定值，B正确；
对于C，如图，取AM中点为O，由于，即，则，
若，由于平面，故平面，
平面，故，则，
由于，故，，则,
故，与矛盾，故C错误；
对于D，由题意知，只有当平面平面时，三棱锥的体积最大；
设AD中点为E，连接，由于，则，
且，而平面平面，平面，
故平面，平面，故，
则，
从而，则,
即AD的中点E即为三棱锥的外接球球心，球的半径为1，
故外接球的表面积是，D正确，
故选：ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】，
，
，
，
，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：
13．设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 .
【答案】3
【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标，
根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限，
设，其中，
因为，则，
根据勾股定理知，
即，解得（负舍），
则，则面积为.
故答案为：3.
14．对于任意的，函数满足，函数满足.若，，则 .
【答案】2
【详解】令，得，则或（与矛盾舍去）.
令，得，则，
则，则，则.
又因为，所以，则，
从而.
故答案为：2
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题13分）
在中，角，，所对的边分别为，，．已知．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）由余弦定理以及，
则，
，
；
（2）由正弦定理，以及，，，可得；
（3）由，及，可得，
则，
，
．
16.（本小题15分）
某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透明的袋子中装有个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球，摸完后全部放回袋中，球上所标的面值之
和为该员工所获得的红包数额．
(1)若，，当袋中的球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元时，在员工所获得的红包数额不低于元的条件下，求取到面值为元的球的概率；
(2)若，，当袋中的球中有1个所标面值为元，2个为元，1个为元，1个为元时，求员工所获得红包数额的数学期望与方差．
【答案】(1)
(2)期望为；方差为
【详解】（1）记事件：员工所获得的红包数额不低于90元，事件：取到面值为60元的球，
因为球中有个所标面值为元，1个为元，1个为元，且
，，，所以，
又，所以．
（2）设X为员工取得的红包数额，则可能取值为，
所以，，
，，
所以，
．
17.（本小题15分）
如图，在三棱锥中，，，．
(1)证明：平面；
(2)若，E是棱上一点且，求平面与平面的夹角．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）连接，因为，，所以，
因为，，所以，
因为，所以，则，所以，
因为，平面，
所以平面．
（2）易知，O为的中点，所以，
由（1）可知，两两垂直，以O为坐标原点，所在直线
分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，因为，所以为正三角形，
所以，，，
因为，所以，所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量为，
所以，即平面PAE与平面PAC的夹角为．
18.（本小题17分）
已知函数，，．
(1)讨论：当时，的极值点的个数；
(2)当时，，使得，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【详解】（1），，
①当时，为增函数，
因为时，；时，，
所以有唯一的零点，当时，，当时，，
所以有一个极小值点，无极大值点．
②当时，令，则，
令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，即，所以的极值点的个数为0．
综上所述，当时，的极值点个数为1，
当时，的极值点个数为0．
（2），
由，得，由，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为当时，，使得，
所以只需成立，即不等式成立．
令，则，
则，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
又，所以，
故实数a的取值范围为．
19.（本小题17分）
已知椭圆过点，且．
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为椭圆过点，所以.
因为，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为.
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即.
直线的方程为，即.
所以.
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由，得.
依题意，.
设，，则，.
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，同理.
所以
.
综上，为定值，定值为.
